李冬梅 付玉立 高添奇 李晨辰

摘要：考慮了病毒自發(fā)變異對傳染病流行的影響，建立了具有自發(fā)病毒變異的時滯SIR傳染病模型，給出無病平衡點，單株地方病平衡點和地方病平衡點的存在性、局部穩(wěn)定充分條件。通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)，證明了無病平衡點、單株地方病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定性。借助數(shù)值模擬的方法，分析了病毒自發(fā)變異對疾病傳播的影響。

關(guān)鍵詞：病毒自發(fā)變異;平衡點;穩(wěn)定性

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.022

中圖分類號：0175.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-2683（2020）02-0166-07

0引言

傳染病動力學(xué)模型在了解疾病的傳播規(guī)律和預(yù)測疾病流行趨勢中發(fā)揮著極其特殊的作用。針對病原體為病毒類型的傳染病，可借助病毒動力學(xué)傳染病模型的定量分析來了解疾病的變化趨勢，制定疾病防控策略已取得諸多的結(jié)果。但是，病毒在其傳播過程中受到多因素的影響，可能會發(fā)生自身變異現(xiàn)象，從而改變原有的傳播規(guī)律和治愈率，病毒變異感染者會再次傳播疾病可能會導(dǎo)致疾病流行。無變異病毒動力學(xué)模型的研究結(jié)果無法了解更多的病毒變異后疾病流行趨勢，如乙肝病毒、狂犬病毒。通過研究帶有病毒變異后的傳染病模型，將有助于了解疾病感染者數(shù)量的最終演變趨勢，可為制定防控措施提供一定理論依據(jù)。有關(guān)病毒變異傳染病傳播問題的研究結(jié)果不多。文考慮病毒感染者和病毒變異感染者兩類人群均具有傳染性，經(jīng)過治愈后不具有免疫性，建立了如下分段傳播的無免疫一類的傳染病S賜模型，研究了兩類人群存在平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性。

文考慮病毒變異感染者是由病毒感染者經(jīng)過一定時間時滯轉(zhuǎn)移而來的，建立了如下無免疫的一類具有時滯的病毒變異的5/s模型，研究了模型的無病平衡點和地方病的穩(wěn)定性。

本文考慮了病毒侵人感染者體內(nèi)經(jīng)過治療，部分感染者治愈而獲得免疫。還有部分感染者會在一段時間內(nèi)發(fā)生病毒變異，成為新的一類感染者，這類人群可以采取新的治療措施，治愈后也獲得免疫。在此治療期間這兩類患者均具有感染能力。因而建立了如下帶有雙線性發(fā)生率的具有免疫的病毒自身變異的時滯傳染病SIX模型。

其中S（t），I₁（t），I₂（t），R（t）分別是t時刻易感人數(shù)、病毒自身變異前的患者、病毒自身變異后的患者和恢復(fù)的人數(shù);A是輸入率;β₁和β₂分別表示病毒自身變異前患者和病毒自身變異后患者的傳染率系數(shù);ε為變異前患者變?yōu)樽儺惡蠡颊叩乃俾?d為死亡率;γ₁為病毒自身變異前的恢復(fù)率;γ₂為病毒自身變異后的恢復(fù)率;τ為病毒自身變異時間。假設(shè)ε

顯然區(qū)域Ω={（S，I₁，I₂）|S（t）≥0，I₁（t）≥0，I₂（t）≥0，S（t）+I₁（t）+I₂（t）≤A/d|是模型（2）正向不變集。

1 主要結(jié)果

1.1 模型平衡點的局部穩(wěn)定性

模型（2）的平衡點滿足下列方程

2 數(shù)值模擬

取模型（1）中的參數(shù)A=10，d=1，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.1，τ=0.01，γ₁=0.02，γ₂=0.04.經(jīng)計算滿足R₂≤R₁≤1，定理3可知無病平衡點E₀全局漸近穩(wěn)定，其數(shù)值模擬圖見圖1.

若取模型（1）的參數(shù)為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.02，β₂=0.04，變異前的恢復(fù)率γ₁，變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.2，γ₂=0.5.

經(jīng)計算，均滿足R₁<1，R₂>1，由定理4，知單株地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的，其數(shù)值模擬圖見圖2（a），2（b）。

取模型（1）中的參數(shù)為A=8，d=0.4，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.09，τ=0.1，變異前的恢復(fù)率γ₁變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.02，γ₂=0.5;γ₁=0.1，γ₂=0.4，經(jīng)計算均滿足R₂<1，R₁>1，由定理6，模型（1）存在地方病平衡點E₂全局漸近穩(wěn)定，其數(shù)值模擬圖見圖3（a），圖3（b），圖3（c），圖3（d）。

若取模型（1）中的參數(shù)為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.05，β₂=0.03，變異前的恢復(fù)率γ₁變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.2，γ₂=0.5;γ₁=0.3，γ₂=0.2.經(jīng)計算，滿足R₁>R₂>1，由定理1知，模型（1）存在單株地方病平衡點E₁，地方病平衡點E₂。模型（1）的數(shù)值模擬圖如圖4（a），4（b）所示。發(fā)現(xiàn)地方病平衡點是穩(wěn)定的，單株地方病平衡點是不穩(wěn)定的。