胡悅, 朱家明, 鳳君儀

“同心協(xié)力”項(xiàng)目多因素分析研究

胡悅1, 朱家明2, 鳳君儀3

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 會(huì)計(jì)學(xué)院, 安徽 蚌埠, 233030; 2. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 大數(shù)據(jù)學(xué)院, 安徽 蚌埠, 233030; 3. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院, 安徽 蚌埠, 233030)

運(yùn)用能量守恒、動(dòng)量定理等物理原理, 借助赫茲函數(shù)、脈沖規(guī)律以及觸覺共享控制模式對(duì)“同心鼓”項(xiàng)目策略進(jìn)行研究, 綜合運(yùn)用了各類繪圖軟件及MATLAB等編程軟件, 對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行多角度受力分析, 構(gòu)建了基于非合作博弈論的“同心鼓”項(xiàng)目策略研究模型, 得出不同發(fā)力時(shí)機(jī)以及用力大小對(duì)該項(xiàng)目結(jié)果的影響, 為鼓面傾斜情況制定了調(diào)整策略并進(jìn)行了方案實(shí)施效果評(píng)估。

同心鼓; 博弈論; 動(dòng)能守恒定律; MATLAB

“同心鼓”也叫擊鼓顛球, 這是一個(gè)以團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)為主的項(xiàng)目, 挑戰(zhàn)團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力?！巴膮f(xié)力”項(xiàng)目的完成度是團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力的體現(xiàn), 項(xiàng)目道具是一面雙面鼓, 鼓壁中間固定多根繩子, 繩子在鼓壁上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布。每根繩子長度相同, 團(tuán)隊(duì)成員每人牽拉一根繩子, 維持鼓面的水平。項(xiàng)目開始時(shí), 球從鼓面中心上方豎直落下, 隊(duì)員合力使球在鼓面上連續(xù)顛起, 顛球過程中, 隊(duì)員只可接觸繩子末端, 不可觸碰其他部分。該項(xiàng)目需要考慮每個(gè)隊(duì)員的用力方向、時(shí)機(jī)和力度。精確控制這3大因素, 可使其順利而持久地進(jìn)行下去。

石富強(qiáng)[1]在Hertz單性接觸和Thornton理想彈塑性接觸的接觸上, 綜合考慮材料的應(yīng)變率敏感性、應(yīng)變強(qiáng)化特征等引起屈服后應(yīng)力應(yīng)變非線性關(guān)系的因素, 提出出新的碰撞接觸力模型, 更加準(zhǔn)確地揭示了碰撞過程的詳細(xì)信息。但由于是基于碰撞過程的理論建模, 未進(jìn)行實(shí)證分析, 不能證明模型的可行性。溫奇生[2]對(duì)一般平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的沖量關(guān)系、一般平面機(jī)構(gòu)碰撞系統(tǒng)動(dòng)定性、碰撞分析方法進(jìn)行了探討研究, 并結(jié)合曲柄搖桿機(jī)構(gòu)受小球碰撞這一實(shí)例, 進(jìn)行分析求解, 最后采用ADAMS進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析驗(yàn)證。針對(duì)目前平面機(jī)構(gòu)碰撞分析方法(如高斯最小約束原理法、基于罰函數(shù)連續(xù)接觸力法)中存在的一些問題, 提出采用基于動(dòng)量定理和恢復(fù)因數(shù)法來對(duì)一般平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行碰撞分析。這種碰撞分析雖然更加合理, 但要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行多次調(diào)整, 增加了碰撞過程選擇時(shí)間。

總而言之, 現(xiàn)有的文獻(xiàn)或多或少都有其不足之處, 相關(guān)研究大多基于理論層面, 缺乏經(jīng)驗(yàn)及數(shù)據(jù)支持, 需要加以完善。

1 數(shù)據(jù)來源及模型假設(shè)

本文數(shù)據(jù)來源于2019年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題, 為了更好地分析并解決同心鼓的受力問題, 提出以下假設(shè):(1)假設(shè)排球和鼓面的材料均勻, 且二者碰撞為完全彈性碰撞; (2)假設(shè)排球在上升及下降過程中, 空氣阻力忽略不計(jì); (3)假設(shè)鼓表面是理想的光滑表面, 不存在摩擦力; (4)假設(shè)不考慮排球和鼓面自身的彈力; (5)假設(shè)排球與鼓面碰撞過程中, 隊(duì)員對(duì)繩子的拉力恒定不變。

2 基于理想狀態(tài)的團(tuán)隊(duì)最佳協(xié)作策略研究

2.1 模型的準(zhǔn)備與分析

在每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度的理想狀態(tài)下,要討論團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略, 并給出該策略下的顛球高度。通過對(duì)不同同心鼓顛球視頻的觀察, 發(fā)現(xiàn)每一個(gè)團(tuán)隊(duì)出力的時(shí)刻皆為球向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻, 鼓向上彈起, 并且在鼓由最低點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)間的某一點(diǎn)與小球碰撞, 然后雙方同向運(yùn)動(dòng)。雖然鼓的最佳時(shí)機(jī)與小球碰撞的點(diǎn)沒有直接關(guān)系, 但通過運(yùn)用物理定理分析, 可以得出它們之間的關(guān)系。

2.2.1 脈沖規(guī)律

小球與鼓面的每次碰撞作用完全相同, 因而鼓面對(duì)小球的作用力與脈沖有相近的規(guī)律。小球與鼓面的每次碰撞作用時(shí)間非常短, 可以認(rèn)為是瞬時(shí)完成的, 于是鼓面對(duì)小球的作用力用脈沖函數(shù)表示為=

2.2.2 赫茲公式

赫茲公式是提出有關(guān)彈性固體接觸的理論, 以用于研究2個(gè)曲面體之間的接觸面及相互作用的關(guān)系。此類接觸在接觸瞬間都是點(diǎn)接觸, 但由于材料的彈性變形, 接觸點(diǎn)變成了接觸面。而本題的排球和同心鼓的接觸為彈性接觸, 此過程雙方皆有不同程度的彈性形變, 故此理論適用于本題求解接觸面的壓力分布和接觸區(qū)域的應(yīng)力分布[3]。

將其中1個(gè)曲面體的半徑設(shè)為無窮大即可假設(shè)球體與平面接觸, 可用于本題球體與鼓平面的接觸應(yīng)力關(guān)系[4]。

式中:為球體半徑;、E為彈性系數(shù);為接觸中心壓力;為接觸圓半徑;為曲面體間的距離;為接觸中心壓力。

結(jié)合圖1, 由式(3)–(5)可得, 最大接觸應(yīng)力與載荷的立方根成正比。且接觸應(yīng)力與材料的彈性模量及泊桑比有關(guān), 因?yàn)榻佑|面積大小與接觸物體的彈性變形有關(guān)。

2.2.3 動(dòng)能守恒定理

動(dòng)能定理[5]反映了力對(duì)空間的累積效應(yīng)。

2.2.4 動(dòng)量定理

動(dòng)量定理[7]==2-1, 動(dòng)量定理反映了力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)。

2.3 模型的求解

2.3.1 繩的動(dòng)態(tài)移動(dòng)對(duì)鼓運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的能量變化

①繩的靜態(tài)加載公式=,是繩受的力,是繩的剛度(由繩長決定),是繩子受力過程中位置變量。剛度計(jì)算公式K =/,為繩長,是繩模量。由文獻(xiàn)[8], 在已知載荷條件下, 繩改變的長度決定, 定義為單位伸長的力=/, = /L=–/cos。同心鼓項(xiàng)目所使用的繩為2 m長引繩, 即PMI拉繩, 據(jù)表1可知其模量。

表1 不同種類繩索的靜態(tài)模量

②繩長的動(dòng)載荷

繩的伸長可以控制同心鼓運(yùn)動(dòng)超過加載距離時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。停止距離越短, 減速度越大。故在繩與鼓的系統(tǒng)中, 計(jì)算繩的最大動(dòng)態(tài)力可使用能量守恒定理, 鼓下落時(shí)的總能量與繩的應(yīng)變能相平衡。在鼓下落到最低點(diǎn)時(shí), 鼓的瞬時(shí)速度為0, 其下落過程的所有能量都存儲(chǔ)在繩的應(yīng)變能中。

在鼓的重力作用下, 其下落產(chǎn)生的所有能量, 都轉(zhuǎn)化為繩的應(yīng)變能[8]。由此可得E=E。

設(shè)手作用在繩上的定點(diǎn)0(0,0), 鼓在垂直方向上運(yùn)動(dòng)的直線設(shè)為++= 0。由圖2可得

在鼓豎直運(yùn)動(dòng)方向的位移變化即勢(shì)能等于應(yīng)變能, 又E=, 其中是在豎直方向運(yùn)動(dòng)的位移。

圖2 繩位移示意圖

在理想條件中, 忽略空氣阻力和繩摩擦產(chǎn)生的能量損耗, 得勢(shì)能公式[10]E=鼓+鼓, = L(1-cos1/cos2)。

2.3.2 鼓面對(duì)小球的撞擊力

鼓受到繩對(duì)其釋放的應(yīng)變能, 產(chǎn)生豎直方向的位移, 此時(shí)其動(dòng)能與勢(shì)能變化, 鼓面與小球接觸時(shí)作為1個(gè)系統(tǒng), 以向上為正軸, 向下為負(fù)軸, 得其動(dòng)量公式為:鼓1-球2=鼓3+球4, 其中:1是鼓與球碰撞前的瞬時(shí)速度;2是球與鼓碰撞瞬間前的瞬時(shí)速度;3是鼓與球碰撞后的瞬時(shí)速度;4是球與鼓碰撞后的瞬時(shí)速度。

將題給數(shù)據(jù)代入以上公式, 可得= 40.96 cm。

2.4 模型的優(yōu)化

原有同心鼓模型只適用于完全理想狀態(tài)下, 此時(shí)每個(gè)人都可精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和高度。結(jié)合上述結(jié)果及實(shí)際情況, 對(duì)原有同心鼓策略模型進(jìn)行調(diào)整與優(yōu)化。

優(yōu)化后的同心鼓模型的最佳策略是使排球在限定時(shí)間內(nèi), 盡可能多次進(jìn)行穩(wěn)定的周期往返運(yùn)動(dòng), 彈起高度不可過高, 并且假設(shè)8名隊(duì)員對(duì)繩子的拉力恒定, 以及手持繩子的位置是定點(diǎn)。初始狀態(tài), 排球從高處落下時(shí), 雙面鼓由水平位置垂直運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn), 將雙面鼓的動(dòng)能和勢(shì)能轉(zhuǎn)化為繩子的應(yīng)變能, 雙面鼓速度為0時(shí), 繩子與鼓面的傾角最大。隨著排球的下降, 隊(duì)員通過腕部調(diào)整, 使傳導(dǎo)給繩子的拉力轉(zhuǎn)化為雙面鼓向上的彈力, 使雙面鼓向上運(yùn)動(dòng), 繩子的應(yīng)變能再次轉(zhuǎn)化為雙面鼓的動(dòng)能和勢(shì)能, 使其在上升過程中某一時(shí)刻與排球發(fā)生碰撞, 碰撞至鼓面時(shí), 排球達(dá)到速度最大值。在碰撞的瞬間, 雙面鼓的動(dòng)量一部分維持自身運(yùn)動(dòng), 另一部分轉(zhuǎn)化為排球反向運(yùn)動(dòng)的沖量, 給予排球向上運(yùn)動(dòng)的初始速度, 使排球先是加速至最大速度再做勻減速運(yùn)動(dòng)為0, 達(dá)到最高點(diǎn)。在這個(gè)過程, 雙面鼓先是向上運(yùn)動(dòng)至水平狀態(tài), 再由于繩子具有彈性, 故雙面鼓在達(dá)到水平狀態(tài)時(shí)仍會(huì)繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)一段高度。

將同心鼓運(yùn)動(dòng)按3種情況分類進(jìn)行分析: a. 用力大小不同; b. 發(fā)力時(shí)機(jī)不同; c. 多因素混合不同。

對(duì)情況a進(jìn)行分析, 當(dāng)8個(gè)隊(duì)員作用于鼓面的力被分為8部分, 因每個(gè)作用點(diǎn)上作用力不同, 導(dǎo)致各點(diǎn)的高度也不相同, 故鼓面發(fā)生傾斜。情況b下, 其中有幾位隊(duì)員提前用力, 導(dǎo)致雙面鼓受力不均勻, 此時(shí)等于雙面鼓一邊受力, 而另一邊不受力, 故鼓面發(fā)生傾斜。對(duì)情況c進(jìn)行分析, 結(jié)合上述2種情況, 一部分隊(duì)員提前發(fā)力, 另一部分隊(duì)員施加的作用力較大, 故鼓面發(fā)生傾斜。

結(jié)合現(xiàn)實(shí)情況對(duì)理想狀態(tài)進(jìn)行分析與改進(jìn), 首先是隊(duì)員對(duì)拉力的控制程度, 每1個(gè)隊(duì)員在進(jìn)行每1次顛球運(yùn)動(dòng)時(shí), 無法保證若干次動(dòng)作是完全一致的, 即力度和手持繩子的位置既會(huì)發(fā)生輕微變化, 也不能保證每1次運(yùn)動(dòng)中所有人都可以同時(shí)進(jìn)行。

綜合以上情況, 可設(shè)計(jì)2個(gè)方案的調(diào)整策略: d. 8個(gè)隊(duì)員用力一致時(shí); e. 8個(gè)隊(duì)員用力不一致時(shí)。

對(duì)情況d進(jìn)行分析, 當(dāng)排球還未到達(dá)鼓面時(shí), 鼓面已保持水平狀態(tài), 無需調(diào)整; 若鼓面未保持水平狀態(tài), 則需對(duì)隊(duì)員對(duì)繩的作用力, 隊(duì)員的位置進(jìn)行調(diào)整。對(duì)情況e進(jìn)行分析, 若8人用力不一致, 則鼓面必然傾斜, 必須進(jìn)行調(diào)整使排球在下落至鼓面時(shí), 鼓面保持水平。

結(jié)合技巧和現(xiàn)實(shí)情況, 只有在排球落下前保持鼓面水平, 才可達(dá)到較為完整的顛球循環(huán)過程, 聯(lián)系題干中提供的數(shù)值及項(xiàng)目特征, 調(diào)整策略為:

(1) 擊鼓。不要靠鼓面擊打排球, 只需讓球借助鼓面的彈性和排球的彈性自然回彈即可。當(dāng)發(fā)現(xiàn)排球有要停下的趨勢(shì)時(shí)稍微用力, 且此時(shí)團(tuán)隊(duì)成員應(yīng)集體用力。

(2) 拉繩。要想保持鼓面平穩(wěn), 除隊(duì)員的自我控制外, 每名隊(duì)員的兩根繩子也應(yīng)間隔, 不能相鄰, 以盡可能保持對(duì)鼓面的控制。

(3) 下盤。兩腳間距一肩寬, 前后差半步, 用腰腹和臂力控制鼓繩。

(4) 平移。隨球移動(dòng)鼓面時(shí)一定要用力拉, 并保證與對(duì)應(yīng)的隊(duì)友一起平移, 否則鼓面將傾斜。

(5) 拋球。拋球時(shí)一定要保證在鼓面上升中讓球墜落在鼓面中心點(diǎn)。

(6) 角度。球的下落與垂線的角度不能大于10°。以鼓面40 cm直徑計(jì)算, 當(dāng)球的墜落角度出現(xiàn)10°傾斜時(shí), 若球的跳動(dòng)高度高于60 cm, 則球會(huì)落出鼓面。因此不僅要保證球的跳動(dòng)直上直下, 且球與鼓面的接觸點(diǎn)距鼓心20 cm內(nèi)最佳。

3 基于非合作博弈模型的隊(duì)員合作與鼓面傾角關(guān)系研究

考慮到隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的不可控造成的鼓面傾斜情況, 并構(gòu)建模型描述隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與鼓面傾角的關(guān)系。首先, 分組探討了發(fā)力時(shí)機(jī)與力度兩因素對(duì)鼓面傾角的影響; 其次選取合適的分析方法, 分別運(yùn)用物理學(xué)的受力分析、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理, 對(duì)各組鼓面傾斜角度進(jìn)行測(cè)度; 最后, 將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比, 構(gòu)建模型描述隊(duì)員發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與鼓面傾角間的關(guān)系。

3.1 模型的準(zhǔn)備與建立——鼓面傾角算法模型

3.1.1 同心鼓受力系統(tǒng)策略——非合作博弈模型

非合作博弈論是指參與者不可能達(dá)成具有約束力的協(xié)議的博弈模型[12]。由于同心鼓受力控制策略的拉力指令來源于隊(duì)員對(duì)其的控制系統(tǒng), 如何根據(jù)每個(gè)人不同的發(fā)力情況來控制鼓的傾斜角度成為一個(gè)難題。觸覺共享控制是一種模式, 當(dāng)觸覺共享控制的控制系統(tǒng)期望獲取主導(dǎo)權(quán)時(shí), 就會(huì)在方向盤上作用一個(gè)附加力矩來控制整個(gè)車系統(tǒng)。借用此套模式, 將鼓當(dāng)作車系統(tǒng), 每個(gè)部分的隊(duì)員通過觸覺共享控制, 來進(jìn)行鼓面位置的控制。為保持鼓面的平衡, 每個(gè)部分的隊(duì)員環(huán)環(huán)相接, 互相控制互相影響。

圖3 同心鼓控制系統(tǒng)模型流程圖

3.1.2 同心鼓控制系統(tǒng)

3.2 模型的求解——非合作同心鼓多人控制系統(tǒng)策略

圖4 鼓面受力分析側(cè)視圖

鼓面發(fā)生傾斜是由作用力的方向或大小不一致導(dǎo)致的, 此時(shí)力的作用點(diǎn)不是鼓的重心, 而是繩子與鼓鏈接的位置。在其他的情況中, 有部分隊(duì)員提前發(fā)力, 發(fā)力時(shí)機(jī)不同, 所以鼓面各部分的受力不同, 轉(zhuǎn)換為發(fā)力大小不同的問題。發(fā)力早的點(diǎn)由上升力瞬間作用, 此時(shí)鼓面就會(huì)傾斜。

4 結(jié)論

本文以“同心協(xié)力”項(xiàng)目為研究對(duì)象, 運(yùn)用能量守恒、動(dòng)量定理等物理原理, 借助赫茲函數(shù)、脈沖規(guī)律對(duì)“同心鼓”進(jìn)行多角度受力分析, 得到理想狀態(tài)下的團(tuán)隊(duì)最佳協(xié)作策略, 以及非合作模型下同心鼓多人控制系統(tǒng)的最佳傾角測(cè)算。其中, 非合作模型測(cè)算出的同心鼓運(yùn)動(dòng)參數(shù)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義, 對(duì)項(xiàng)目調(diào)整策略的優(yōu)化以及模型的改進(jìn)推廣有所幫助。

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Research on multi-factor analysis of "working together"

Hu Yue1, Zhu Jiaming2, Feng Junyi3

(1. School of Accounting, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China; 2. Big Data College of Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China; 3. School of Management Science and Engineering, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China)

Using the physical principles such as energy conservation and momentum theorem, the Hertz function, the pulse law and the tactile shared control mode to study the "Concentric Drum" project strategy, comprehensively using various types of drawing software and MATLAB and other programming software to carry out multiple perspectives on the project Force analysis, constructed a "concentric drum" project strategy research model based on non-cooperative game theory, obtained the impact of different force timing and force on the project results, formulated adjustment strategies and plans for the tilt of the drum surface Implement effectiveness evaluation.

concentric drums; game theory; law of conservation of kinetic energy; MATLAB

O 411.1

A

1672–6146(2020)03–0008–06

10.3969/j.issn.1672–6146.2020.03.002

胡悅, q3535174801@163.com。

2020–02–05

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目(19YJCZH069); 安徽省教研項(xiàng)目(2018jyxm1305); 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)校教研究項(xiàng)目(acxkjsjy201803zd); 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)校教研究項(xiàng)目(acjyyb2018006)。

(責(zé)任編校: 張紅)