◇ 浙江 王加義

同一個數(shù)學(xué)問題，學(xué)生切入的角度不同，解答的方法也不盡相同，但有的方法煩瑣，有的方法簡捷，對于選擇題的求解，簡捷的方法往往可以“一望而答”.這些簡捷方法源于對題目條件的仔細審視，對問題本質(zhì)的深入挖掘，即通過“多想”達到“少算”的目的，這也是高考對考生的重要考查內(nèi)容.

1 利用函數(shù)性質(zhì)，局部判斷

①f(x)是偶函數(shù)；

③f(x)在[－π，π]有4個零點；

④f(x)的最大值為2.

A.①②④ B.②④

C.①④ D.①③

因為f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，f(x)在[－π，π]的圖象如圖1所示，故可利用x＞0時，f(x)的性質(zhì)進行判斷.

圖1

如圖1，因為f(0)＝f(π)＝f(－π)＝0，所以f(x)在[－π，π]有3個零點.故①④正確，選C.

本題若直接求解，分類討論的標準不易確定，而利用函數(shù)的奇偶性和周期性，只需對函數(shù)的局部性質(zhì)進行研究，從而簡化了思維過程.

2 利用圖形差異，過濾錯選

給出函數(shù)關(guān)系式，判斷函數(shù)圖象，是近年高考全國卷中的常考題型，此類問題求解中需先結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等進行判斷，再結(jié)合各選項所給圖象的差異特征進行篩選，得出正確圖象.

3 結(jié)合運算關(guān)系，以“形”破“數(shù)”

根據(jù)題目條件(a－b)⊥b 可構(gòu)造直角三角形(如圖2所示)，又因為|a|＝2|b|，所以a與b 的夾角為.故選B.

圖2

本題也可采用常規(guī)解法，由(a－b)⊥b 可知(a－b)b＝0，即ab－b2＝0，則所以a 與b 的夾角為.這種方法雖然難度也不大，但結(jié)合圖形進行計算更直觀.

4 引入特殊數(shù)值，準確判斷

A.a＜c＜b B.a＜b＜c

C.b＜c＜a D.c＜a＜b

綜上，b＞c＞a，故選A.

求解數(shù)的大小比較問題，常規(guī)方法是構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷，或通過作差、作商進行比較.本題求解中通過引入特殊值，方法更為簡捷.

5 把握極限位置，一望而答

圖3

圖4

由已知條件可知△ADQ 為等邊三角形，所以當點P 與A 或D 重合時，即，取得最大值.當點P 為AD 的中點時取得最小值.所以的取值范圍為[，8]，故選C.

本題若采用常規(guī)方法，設(shè)

所以

如圖5，過點D 作DE 垂直AB 于點E，由已知條件可得AE＝2，AD＝4，所以cos∠DAE＝，所以

所以

圖5

當然也可以采用坐標法求解，此處略.

總之，對學(xué)生“多想少算”能力的培養(yǎng)，既是高考要求，也是教學(xué)要求.教師要在平時的教學(xué)中，有針對地進行這方面的訓(xùn)練，才能保證學(xué)生在考試中有目的性地先思考，再計算.