盧 鵬，王 璐，徐昌貴，張興元

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610031)

每一個(gè)大學(xué)生在畢業(yè)時(shí)都面臨著就業(yè)選擇這一問題，但大多數(shù)學(xué)生都覺得就業(yè)非常的困難，究其原因網(wǎng)絡(luò)上有這樣一個(gè)觀點(diǎn)就是大學(xué)擴(kuò)招，我國從1999 年開始進(jìn)行大學(xué)擴(kuò)大招生，每年招收大學(xué)生的數(shù)量逐步增加，近兩年達(dá)到峰值[1].2019 年，全國高校畢業(yè)生人數(shù)約830 萬[2]，求職現(xiàn)場異常火爆.但是這種觀點(diǎn)是片面的，隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速增長，各行各業(yè)需要的崗位數(shù)量也是相當(dāng)多的，國家發(fā)展與改革委員會主任何立峰曾說：經(jīng)濟(jì)每增長一個(gè)百分點(diǎn)，可創(chuàng)造新增就業(yè)崗位170 萬左右.而近5 年來我國經(jīng)濟(jì)平均增長率[3]約為7%，每年足以提供上千萬新增崗位，所以并不是因?yàn)楣ぷ鲾?shù)量不夠，而是大學(xué)生在擇業(yè)時(shí)的不確定性和多變性，可以從以下兩點(diǎn)進(jìn)行說明：①價(jià)值觀——很多大學(xué)生找工作時(shí)最關(guān)注就是年薪多少，工作所在地是否是大城市等等；②招聘制度——現(xiàn)有招聘方式是單位分批來校招人，很多大學(xué)生還沒等到最滿意的單位來就已簽約；久而久之我們的大學(xué)生就覺得就業(yè)非常的困難.

本文并不從定性方面考慮大學(xué)生的就業(yè)問題[4-9]，而是針對現(xiàn)有招聘制度，運(yùn)用數(shù)學(xué)中概率論[10]的知識對大學(xué)生如何選擇工作這一過程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模[11-13]，得到大學(xué)生的最優(yōu)選擇策略，并對結(jié)果進(jìn)了驗(yàn)證、應(yīng)用與改進(jìn).

1 問題分析

1.1 問題假設(shè)

(1)假設(shè)大學(xué)生參與若干個(gè)單位招聘，其中有部分單位以不同的先后順序向該學(xué)生提供就業(yè)協(xié)議.假定對提供就業(yè)協(xié)議單位按滿意度從小到大進(jìn)行編號：1，2，…，N，即編號為N的單位最滿意. 每個(gè)學(xué)生根據(jù)自身?xiàng)l件，并結(jié)合以往經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)確定自己的N值.

(2)面對提供就業(yè)協(xié)議的單位，大學(xué)生只能做出接受和拒絕兩種選擇，已經(jīng)被拒絕的單位不會再次招聘這位大學(xué)生.

1.2 具體分析

基于上述假設(shè)，想要找到這樣一種策略，使得大學(xué)生以最大的可能在第一次選擇接受的那個(gè)單位就是N.最簡單的一種策略：一旦有單位向該學(xué)生提供就業(yè)協(xié)議，學(xué)生就選擇接受.在此策略下以1/N的概率找到自己的N，顯然不是一種好的策略.我們提出這樣一種策略：對于先提供的M個(gè)單位，無論學(xué)生感覺如何都選擇拒絕；從第M+1 個(gè)單位開始，只要這個(gè)單位的比前面M個(gè)單位都好，那么選擇接受，否則選擇拒絕.

特殊情況：以N= 3 為例說明：三個(gè)單位招聘大學(xué)生，共有六種排列方式：

123，132，213，231，312，321

如果學(xué)生采用上述最簡單的策略，那么只有最后兩種排列方式選擇到“3”，概率為2/3! =1/3.采用剛剛提出的策略，并取M=1.基于這種策略，“132”、“213”、“231”這三種順序下學(xué)生都會在第一次做出選擇接受時(shí)遇到“3”，這樣就把概率增大到3/3! =1/2.

1.3 明確的數(shù)學(xué)問題

對于一般的N，什么樣的M才會使大學(xué)生選到最滿意單位的概率達(dá)到最大值?

2 模型的建立與求解

2.1 模型建立

1 到N個(gè)數(shù)字排列共有N!種可能.當(dāng)在第i位置(M ＜i≤N)學(xué)生第一次選擇接受時(shí)遇到的就是最滿意單位(編號為N)，排列需要滿足下面兩個(gè)條件：

①N在第i位置：概率為1/N；

②從1 到i-1 個(gè)位置中的最大數(shù)字必須落在前面M個(gè)位置，概率為M/(i-1) ；

數(shù)學(xué)模型為：

2.2 模型求解

2.2.1 離散方式求解

先用數(shù)學(xué)軟件對模型進(jìn)行簡單分析，利用N與M之間的關(guān)系畫出圖1，從圖中可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解出現(xiàn)在N的中部，而且規(guī)律先增后減，單峰模式.

圖1 不同N 值下最優(yōu)解M 出現(xiàn)的位置Fig.1 The location of the optimal solution M under different N values

為了簡化方程組的計(jì)算，可等價(jià)為：M= min{M≥1：P(M)＞P(M+1)} ，

又由于當(dāng)x ＞0 時(shí)， 有 ln(1+x)＜x，則

結(jié)果：當(dāng)M取[N/e]時(shí)，該表達(dá)式取得最大值.

2.2.2 連續(xù)方式求解

令x等于M/N的值，并假設(shè)N充分大，這樣就把離散模型連續(xù)化，其幾何意義代表圖2 中的陰影面積，則上述概率公式可以近似表示為積分形式：

結(jié)果：1/e大約等于37%，即M/N= 37%

圖2 離散求和積分形式Fig.2 Discrete summation integral form

2.3 結(jié)果說明

經(jīng)過對比可以發(fā)現(xiàn)，離散方式與連續(xù)方式求解結(jié)果相同.由此可得如下策略：如果招聘單位共有20 個(gè)，估計(jì)自己的N為10，則拒絕前3 個(gè)(37%原則，另外拒絕前四個(gè)最大概率稍小于拒絕前3 個(gè))的招聘單位，從第4 個(gè)招聘單位開始選擇，如果比前面更滿意則接受，否則拒絕.其中出現(xiàn)了三個(gè)37%準(zhǔn)則.

第一：前面37%的單位不選；

第二：選到最滿意單位的概率為37%(需把最優(yōu)解帶回模型算出最大概率)；

第三：一個(gè)單位都選不到的概率為37%.

2.4 結(jié)果檢驗(yàn)

運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真[14-15]來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，取N= 20 ，則產(chǎn)生1 到20 隨機(jī)排列的整數(shù)數(shù)列，再取M為不同的值，利用提出的策略，模擬整個(gè)招聘過程，結(jié)果如表1 所示：

表1 取N=20，重復(fù)1000000 次，計(jì)算時(shí)間約130 秒Table 1 Take N = 20 and repeat 1000000 times. The calculation time is about 130 seconds.

圖3 P(M)與M 的直方圖Fig.3 Histograms of P(M) and M

根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)，畫出P與M的直方圖，由圖3 所示，圖3 中左邊圖形為模型計(jì)算結(jié)果，右邊圖形為仿真計(jì)算結(jié)果，從表格中可以看出最大絕對誤差為0.0006，非常的小.從圖形中也基本看不出兩副圖形之間的差別，所以結(jié)果是相當(dāng)可靠的.

2.5 模型應(yīng)用

2.5.1 鉆石問題(著名微軟面試題)

一到十樓每層電梯口都放著一顆大小不一的鉆石.你乘電梯從一到十樓，每層電梯門會開一次，并且你只能拿一次鉆石.請問你如何能拿到最大的一顆?

實(shí)施方案：電梯前三層不選，從第四層開始比較，如果比前面的都大就選擇，否則繼續(xù)下一層.這樣能選到最大鉆石的概率為40%左右.

2.5.2 旅游景點(diǎn)物品購買策略

隨著生活水平的不斷提高，出國旅游的人們是越來越多，大家來到一個(gè)陌生的地方(亞洲、非洲、歐洲)，想買些紀(jì)念品給國內(nèi)的好友，如何進(jìn)行購買呢?

策略方案：先不要著急在第一時(shí)間購買，而是先逛過去，了解一個(gè)大概的價(jià)錢，在差不多走過街道三分之一的時(shí)候才開始(比較)購買， 這樣最不容易被訛到.

2.5.3 相親節(jié)目中女嘉賓的最優(yōu)選擇

現(xiàn)在我國相親節(jié)目眾多，比較有影響力的有中國式相親、新相親時(shí)代、非誠勿擾，如果非誠勿擾的女嘉賓想讓我們給她一種選男嘉賓的策略，你會如何給她建議?

策略方案：如果女嘉賓打算上10 期節(jié)目，估計(jì)自己的N為20，則拒絕前7 個(gè)(37%)的追求者，從第8 個(gè)追求者開始選擇，如果比前面更適合則接受，否則拒絕.

3 模型的改進(jìn)

由前面結(jié)果可知，雖然有37%的概率選到最滿意單位，但是也有37%的概率一個(gè)都選不到.為了降低選不到單位的概率，提出一種方案：降低對解的要求(如：次優(yōu)解也能接受).

當(dāng)在第i位置第一次選擇接受時(shí)遇到的就是最滿意(編號為N)或次滿意單位(編號為N-1 )，排列需要滿足：

①N或N-1 在第i位置；

② 從1 到i-1 個(gè)位置中的最大數(shù)字必須落在前面M個(gè)位置；

③ 若選到N-1 ，還需滿足N落在i后面.

3.1 改進(jìn)的數(shù)學(xué)模型

3.2 模型求解與結(jié)果說明

要直接理論解出這個(gè)數(shù)學(xué)模型比較困難，但利用Matlab 軟件可以很輕松的給出結(jié)果，如表2 所示.

表2 模型結(jié)果與原模型結(jié)果Table 2 Model results and original model results

結(jié)果說明(比較原方案)：

① 前30%不選，選中概率約為51.3%(增加1%)；

②空手而歸的概率約為30%(降低7%)；

③選中最滿意單位概率降低約0.6%；

④選中次滿意單位概率增加約1.6% .

從結(jié)果可以看出此模型降低了風(fēng)險(xiǎn)，但最優(yōu)概率降低卻不大，是一個(gè)好的改進(jìn)方法.

3.3 模型驗(yàn)證

使用Matlab 進(jìn)行仿真檢驗(yàn)，其中N= 50 ，重復(fù)1000000 次，計(jì)算時(shí)間約660 秒.

圖4 模型結(jié)果與仿真結(jié)果對比圖Fig.4 Comparisons between model results and simulation results

圖5 兩種方法計(jì)算結(jié)果殘差圖Fig.5 Residual diagrams of the calculated results of two methods

從圖4 中可以看出模型結(jié)果與仿真結(jié)果幾乎一樣，從圖5 中也可以看出兩種方法之間的最大殘差為0.001，結(jié)合兩者說明了模型的正確性.

3.4 更一般的數(shù)學(xué)模型

為了進(jìn)一步減少空手而歸的概率，我們繼續(xù)改進(jìn)模型，共N人，前M個(gè)單位不選，對于排名靠前的K個(gè)單位都可以接受的數(shù)學(xué)模型為

3.5 結(jié)果說明

表3 N 取100 時(shí)，不同K 值下的各項(xiàng)概率Table 3 N =100 Various probabilities under different K values

根據(jù)表中數(shù)據(jù)我們畫出了總的選中概率、最滿意單位選中概率與滿意單位個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，如圖6 所示，也畫出了選不中的概率與滿意單位個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，如圖7 所示.

從結(jié)果可以看出，隨著K值的增加空手而歸的概率逐步減少，例如當(dāng)K為10 時(shí)，一個(gè)都選不到的概率約為15%；最優(yōu)概率隨著K值的增加而逐步減小，減小趨勢越來越慢；而選中的總概率隨著K值的增加而逐步增大，但增長趨勢也越來越緩慢.所以在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中也不能夠把K取得過于偏大.

圖6 總概率、最優(yōu)概率與K 之間的關(guān)系Fig.6 The relationship between total probability， optimal probability and K

圖7 空手而歸的概率與K 之間的關(guān)系Fig.7 The relationship between the probability of returning empty-handed and K

3.6 問題拓展

假設(shè)用人單位是一批一批來，每批來3 個(gè)，總共10 批，相同批次的單位可以同時(shí)考慮，不同批次的單位有順序之分，建立該問題的數(shù)學(xué)模型并得出最佳選擇方案.假設(shè)被拒絕的公司可能再次招聘這位大學(xué)生(原模型被再次招聘的概率為零)，加入此因素建立數(shù)學(xué)模型得出最佳選擇方案.這兩個(gè)問題留給大家繼續(xù)研究.

4 結(jié)束語

人的一生有許多重要的選擇，擇業(yè)便是其中之一.通過本文的模型和結(jié)果為同學(xué)們提供了一種擇業(yè)上的數(shù)學(xué)方法，希望對同學(xué)們今后有所幫助.也希望同學(xué)們在找工作時(shí)，除了理性選擇，實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值外，更應(yīng)該像老一輩科學(xué)家們學(xué)習(xí)，為了祖國的社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展貢獻(xiàn)自己的智慧和力量.