黃 銳，鄭 東

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引 言

經(jīng)國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)永磁體磁極進(jìn)行優(yōu)化，采用不等厚永磁體結(jié)構(gòu)，不僅可以節(jié)省永磁體材料、簡(jiǎn)化磁極加工，而且可以有效降低電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩，但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致電磁轉(zhuǎn)矩性能下降。文獻(xiàn)[1]采用磁極分段的方法，將Bread-Loaf型磁鋼等效成一系列同圓心角磁極結(jié)構(gòu)的組合，并利用該模型分析了偏心距與極弧系數(shù)對(duì)電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的影響。文獻(xiàn)[2]分析了偏心磁極結(jié)構(gòu)對(duì)磁場(chǎng)分布的影響，利用等效槽表面虛擬電流的方法，進(jìn)一步考慮了開(kāi)槽的影響，結(jié)果表明，采用偏心磁極結(jié)構(gòu)能夠降低齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[3]針對(duì)含偏心磁極的永磁同步電機(jī)，采用離散思想和磁場(chǎng)疊加原理，建立了氣隙磁場(chǎng)、齒槽轉(zhuǎn)矩、反電動(dòng)勢(shì)以及電磁轉(zhuǎn)矩解析模型，并進(jìn)一步分析了不等厚磁極參數(shù)對(duì)電磁性能的影響。

電機(jī)性能優(yōu)化目前國(guó)內(nèi)研究比較多，大多都是以電機(jī)性能為優(yōu)化目標(biāo)，以電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)為自變量，通過(guò)優(yōu)化算法來(lái)找到最優(yōu)的參數(shù)組合。文獻(xiàn)[4]以異步起動(dòng)永磁電機(jī)為研究對(duì)象，利用響應(yīng)面法，建立了轉(zhuǎn)子尺寸與效率和起動(dòng)轉(zhuǎn)矩之間的響應(yīng)模型，利用布谷鳥(niǎo)算法得到了最優(yōu)結(jié)果。文獻(xiàn)[5]分析了電機(jī)各項(xiàng)參數(shù)對(duì)電機(jī)性能的影響，以此構(gòu)建了多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，得到了多目標(biāo)優(yōu)化下最優(yōu)控制參數(shù)組合。文獻(xiàn)[6]將Kriging代理模型應(yīng)用于直線感應(yīng)電機(jī)的性能優(yōu)化，減少了仿真時(shí)間。

雖然目前很多研究認(rèn)為不等厚永磁體可以降低齒槽轉(zhuǎn)矩，但其忽略了不等厚永磁體也會(huì)導(dǎo)致平均電磁轉(zhuǎn)矩降低。本文將通過(guò)建立Kriging代理模型、結(jié)合多目標(biāo)粒子群算法，找到最優(yōu)的參數(shù)組合，不僅可以有效降低齒槽轉(zhuǎn)矩，也能使電機(jī)有較高的平均電磁轉(zhuǎn)矩，而且還能節(jié)省永磁體材料。

1 磁極參數(shù)對(duì)電機(jī)性能的影響

等厚磁極模型如圖1(a)所示，從圖1(a)中可以看出,等厚磁極模型的內(nèi)弧圓圓心和外弧圓圓心位于同一點(diǎn)O，永磁體厚度hm的值也保持不變。Rm為內(nèi)弧圓半徑，Rr為外弧圓半徑，O為圓心。

不等厚磁極模型如圖1(b)所示，相比于傳統(tǒng)的等厚磁極結(jié)構(gòu)，內(nèi)弧圓圓心和外弧圓圓心不在同一個(gè)點(diǎn)上，永磁體內(nèi)圓弧中心O′偏離圓心O距離為d，半徑為Ri，hm為永磁體中心處厚度。

如圖1(b)所示，根據(jù)三角函數(shù)推導(dǎo)圓心O到內(nèi)弧圓距離Rrj:

(1)

由式(1)可以看出,Rrj是關(guān)于Ri、d、θ的一個(gè)函數(shù)。其中磁極內(nèi)弧圓是以O(shè)′為圓心，半徑為Ri的圓，磁極外弧圓是以O(shè)為圓心，半徑為Rr的圓，因此Ri又可表示：

Ri=Rr+d-hm

(2)

將式(2)代入式(1)，可得：

(3)

由于本文是內(nèi)弧偏心的電機(jī)結(jié)構(gòu)，因此Rr是一個(gè)定值，從上式可以看出,Rrj其實(shí)是一個(gè)關(guān)于hm、d、θ的一個(gè)函數(shù)，隨著角度θ的不同，內(nèi)弧圓半徑Rrj的大小也不同，因此形成了不等厚磁極結(jié)構(gòu)。因此,接下來(lái)研究不同的永磁體中心厚度hm和磁極偏心距離d對(duì)電機(jī)性能的影響。

圖2為磁極參數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。從圖2中可以看出，磁極偏心距離d對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響較大，永磁體中心厚度對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響較小。圖3為磁極參數(shù)對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩的影響。磁極偏心距離d越小，永磁體中心厚度hm越小，相應(yīng)的電磁轉(zhuǎn)矩就越??；同時(shí)磁極參數(shù)的改變也會(huì)導(dǎo)致永磁體體積的改變。圖4為磁極參數(shù)對(duì)永磁體體積的影響。從圖4中可以看出，磁極偏心距離d越小，永磁體中心厚度hm越大，相應(yīng)的永磁體體積就越大。因此，需要通過(guò)優(yōu)化算法來(lái)求得小齒槽轉(zhuǎn)矩，大電磁轉(zhuǎn)矩，小永磁體體積的最優(yōu)磁極參數(shù)組合。

圖4 磁極參數(shù)對(duì)永磁體體積的影響

圖3 磁極參數(shù)對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩的影響

圖2 磁極參數(shù)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

2 Kriging代理模型的建立

不等厚磁極參數(shù)對(duì)電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積都有很大的影響。但是不同的hm和d有非常多的組合，每一個(gè)hm和d的組合都需要對(duì)電機(jī)模型進(jìn)行修改，再重新仿真，這樣的過(guò)程需要花費(fèi)大量的時(shí)間。因此，本文將利用有限的樣本數(shù)據(jù)，通過(guò)建立Kriging代理模型，來(lái)預(yù)測(cè)不同的hm和d的組合對(duì)電機(jī)性能的影響。

代理模型可以利用有限點(diǎn)的響應(yīng)來(lái)構(gòu)造近似的函數(shù)表達(dá)式，以此對(duì)未知區(qū)域的響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)[7]，Kriging代理模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、響應(yīng)面模型相比，具有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，不受隨機(jī)誤差的影響，構(gòu)建模型需要很少的樣本點(diǎn)，而且具有較高的精度，是一種對(duì)空間分布的數(shù)據(jù)求線性最優(yōu)、無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)的插值方法[8]。

將磁極參數(shù)hm和d用矩陣x表示，電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩、永磁體體積用矩陣y表示。

(4)

式中：n為樣本數(shù)；xi為第i個(gè)樣本點(diǎn)的磁極偏心距離d，永磁體厚度hm；yi為當(dāng)永磁體不等厚參數(shù)為xi時(shí)的電機(jī)性能；Tcogi,Teleci,Vi分別為第i個(gè)樣本點(diǎn)的電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩和永磁體體積。

xi和yi之間的關(guān)系可以寫成多項(xiàng)式回歸模型F(β,x)與零均值正態(tài)分布隨機(jī)過(guò)程ε(xi)的疊加：

yi(xi)=F(β,x)+ε(xi)

(5)

ε(xi)的協(xié)方差矩陣：

cov[ε(xi),ε(xj)]=σ2R[ε(xi),ε(xj)]

(6)

式中：σ2為隨機(jī)過(guò)程的方差；R[ε(xi),ε(xj)]為樣本i,j之間的相關(guān)函數(shù)；i,j=1,2,3，…,n。對(duì)于一個(gè)K維變量空間，Kriging函數(shù)表示：

(7)

式中：θh表示第h個(gè)變量對(duì)目標(biāo)的貢獻(xiàn)度；Ph為表征函數(shù)平滑性的參數(shù)。消除建模誤差的可能性的概率密度函數(shù)：

I為n×1階單位矩陣，等式兩邊去自然對(duì)數(shù)有：

R為所有正交采集樣本的相關(guān)矩陣：

(10)

(11)

將式(11)代入式(9)，忽略常數(shù)項(xiàng)可得：

(12)

式(12)的取值僅和θh和Ph相關(guān)，因此建立代理模型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋最優(yōu)的θh和Ph使式(12)取得最大值。

當(dāng)獲得最優(yōu)的θh和Ph后，對(duì)于不同的hm和d的組合可通過(guò)式(13)預(yù)測(cè)相應(yīng)的電機(jī)性能，包括永磁體體積。

(13)

式中，r為待測(cè)未知hm和d的組合x(chóng)*與初始采集樣本的相關(guān)向量：

(14)

至此，不等厚永磁直流電機(jī)參數(shù)對(duì)電機(jī)性能影響的代理模型建立完畢，將表1中的數(shù)據(jù)代入模型中，便可得到任意hm和d組合下的電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩、齒槽轉(zhuǎn)矩和永磁體體積，節(jié)省了大量的仿真計(jì)算時(shí)間。

表1 樣本數(shù)據(jù)

3 多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的構(gòu)建

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題包含m個(gè)目標(biāo)函數(shù)，K個(gè)決策變量和n個(gè)約束條件，由于目標(biāo)函數(shù)間的矛盾性，使每個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)值的解是不存在的[9]。因此得到的解并不是所有子目標(biāo)的最優(yōu)解。本文中將齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積作為三個(gè)目標(biāo)函數(shù)，采用權(quán)重法將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，即:

式中：f為適應(yīng)度值，其大小介于0～1；λ1，λ2，λ3為對(duì)應(yīng)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，λ1+λ2+λ3=1；Tcog，Telec，V是隨機(jī)磁極厚度hm和偏心距離d組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積；Tcog_max，Telec_max，Vmax，Tcog_min，Telec_min，Vmin是滿足約束條件下的齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩、永磁體體積的最大值和最小值。

由于本文研究的是小型電機(jī)，通過(guò)查閱文獻(xiàn)，氣隙長(zhǎng)度需要在0.3～0.8 mm之間，同時(shí)當(dāng)磁極偏心距離d大于6 mm以后會(huì)導(dǎo)致電磁轉(zhuǎn)矩急劇下降，因此設(shè)置磁極參數(shù)約束條件：

(16)

電機(jī)最終的優(yōu)化目的為較小的齒槽轉(zhuǎn)矩、較高的電磁轉(zhuǎn)矩和較小的永磁體體積。通過(guò)觀察式(15)，需要目標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)越小越好，而第二項(xiàng)越大越好，因此，我們將式(15)改變一下形式，將第二項(xiàng)的分子和分母交換一下：

通過(guò)以上分析可知，f的值越小，說(shuō)明電機(jī)性能越好，因此最終將電機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲竽繕?biāo)函數(shù)的最小值問(wèn)題：

F(x)=minf(hm,d)

(18)

至此，電機(jī)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建完成。上述目標(biāo)函數(shù)不僅巧妙地將電機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲竽繕?biāo)函數(shù)的最小值問(wèn)題，而且還可以根據(jù)實(shí)際工程的不同需要，修改λ1、λ2、λ3的值。比如企業(yè)需要更多地考慮齒槽轉(zhuǎn)矩，那么可以將λ1的值設(shè)置得更大；如果要更多地考慮電磁轉(zhuǎn)矩，那么可以將λ2的值設(shè)置得更大。提高了該優(yōu)化函數(shù)在實(shí)際工程問(wèn)題的實(shí)用性。

4 粒子群算法優(yōu)化模型

粒子群算法是美國(guó)學(xué)者Kennedy和Eberhart在受到鳥(niǎo)類覓食活動(dòng)的啟發(fā)后而提出的一種群體智能算法[10]。粒子群算法與遺傳算法較類似，但區(qū)別在于，粒子群算法較為簡(jiǎn)單，沒(méi)有遺傳算法的交叉和變異，通過(guò)追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來(lái)向全局最優(yōu)解逼近。粒子群算法收斂速度快，其模型也更為簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，擅長(zhǎng)處理多極值函數(shù)全局優(yōu)化問(wèn)題。基于上述優(yōu)點(diǎn)，粒子群算法非常適合解決電機(jī)優(yōu)化這一類問(wèn)題。

粒子群優(yōu)化算法是根據(jù)個(gè)體的適應(yīng)度值(即目標(biāo)函數(shù)的值)，使種群一步一步朝著更好的區(qū)域移動(dòng)[11]。在算法的整個(gè)迭代過(guò)程中，粒子每更新一次位置，就計(jì)算一次適應(yīng)度值，通過(guò)比較新粒子的適應(yīng)度值、個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度值、群體最優(yōu)適應(yīng)度值來(lái)更新個(gè)體最優(yōu)極值和群體最優(yōu)極值，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化流程圖

每次迭代過(guò)程中，粒子通過(guò)個(gè)體極值和群體極值來(lái)更新自身速度和位置，更新公式如下：

(19)

(20)

粒子群算法參數(shù)設(shè)定完成以后，便可將目標(biāo)函數(shù)和粒子群算法結(jié)合起來(lái)，粒子群算法產(chǎn)生隨機(jī)初始粒子，然后通過(guò)Kriging代理模型預(yù)測(cè)相應(yīng)的電機(jī)性能參數(shù)，再將電機(jī)的各項(xiàng)性能參數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，如此循環(huán)下去，直到滿足迭代次數(shù)要求，并輸出目標(biāo)函數(shù)的最小值以及相應(yīng)的磁極厚度hm和磁極偏心距離d。

前文已經(jīng)提到過(guò)權(quán)重因子λ的大小反映了對(duì)某個(gè)目標(biāo)優(yōu)化的重視程度，λ的取值不同，最后優(yōu)化的結(jié)果也不同，因此本文根據(jù)λ的不同取值,設(shè)計(jì)兩個(gè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方案。方案一：目標(biāo)權(quán)重因子λ1=0.6,λ2=0.2,λ3=0.2;方案二：目標(biāo)權(quán)重因子λ1=0.2，λ2=0.6,λ3=0.2，粒子種群規(guī)模設(shè)置為20，最大迭代次數(shù)設(shè)置為200,ω=1,c1=c2=1.5。算法的收斂曲線如圖6所示。

(a) 方案一

在方案一的目標(biāo)函數(shù)下，算法得到的最優(yōu)組合為hm=8.2mm，d=5.5mm，目標(biāo)函數(shù)的最小值fmin=0.337；在方案二的目標(biāo)函數(shù)下，算法得到的最優(yōu)組合為hm=8.2 mm，d=3.5 mm，目標(biāo)函數(shù)的最小值fmin=0.875。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)有限元模型進(jìn)行修改，并在Maxwell進(jìn)行仿真，將兩種優(yōu)化方案和原始結(jié)構(gòu)(hm=8 mm，d=0)的電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行對(duì)比，電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩曲線如圖7和圖8所示，永磁體體積對(duì)比如表2所示。

表2 三種方案性能對(duì)比

圖8 齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比曲線

圖7 電磁轉(zhuǎn)矩對(duì)比曲線

從圖7、圖8、表2中可以看出,優(yōu)化方案一和優(yōu)化方案二相比，方案一齒槽轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了61%，方案二齒槽轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了50%，方案一的平均電磁電磁轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了4.1%，方案二的平均電磁電磁轉(zhuǎn)矩相比于原始方案下降了1.8%。雖然都是采取了不等厚永磁體結(jié)構(gòu)，但是因?yàn)闄?quán)重系數(shù)的不同，方案一更希望齒槽轉(zhuǎn)矩越小越好，而方案二更希望電磁轉(zhuǎn)矩越大越好，因此，方案一的齒槽轉(zhuǎn)矩要更小一些，方案二的電磁轉(zhuǎn)矩要更大一些。同時(shí)，無(wú)論是方案一，還是方案二，永磁體體積都小于原始方案，實(shí)現(xiàn)了本文的優(yōu)化目的，說(shuō)明了優(yōu)化算法的有效性。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文首先研究了不等厚永磁體磁極參數(shù)對(duì)電機(jī)性能的影響，然后將Kriging代理模型和多目標(biāo)粒子群算法相結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)的優(yōu)化，結(jié)果表明，本文的優(yōu)化算法不僅能夠有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩、降低轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，也能保證較高的電磁轉(zhuǎn)矩，同時(shí)還能節(jié)約永磁體材料。進(jìn)一步分析可知，增大磁極偏心距離d，會(huì)導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩減小，電磁轉(zhuǎn)矩減小，但同時(shí)增大永磁體中心厚度hm，可以彌補(bǔ)磁極偏心引起的電磁轉(zhuǎn)矩減小的問(wèn)題。同時(shí)本文的算法還可以根據(jù)不同的需要來(lái)改變優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)性能的靈活優(yōu)化，節(jié)約大量的仿真時(shí)間，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供參考依據(jù)。