陳濱霞,吳群英

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院,廣西 桂林541004)

1.引言與預(yù)備知識(shí)

極限定理是概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要研究課題,但隨著極限理論在統(tǒng)計(jì)、金融風(fēng)險(xiǎn)度量等領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛和深入,只能用于確定性模型的經(jīng)典極限理論逐漸顯現(xiàn)其局限性,因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中,不確定性現(xiàn)象往往不能用確定性模型來(lái)建模解釋.因此,PENG[1?3]在實(shí)踐建模不確定性的激勵(lì)下,引入了次線性期望的概念,將傳統(tǒng)的概率和期望轉(zhuǎn)化為容度和次線性期望.目前,次線性期望下的極限理論得到了越來(lái)越多的關(guān)注和研究,例如: ZHANG[4?6]深入研究了次線性期望空間,建立了指數(shù)不等式、Rosenthal不等式、強(qiáng)大數(shù)定律(SLLN)等一系列重要的不等式,WU和JIANG[7]也對(duì)次線性期望下的SLLN進(jìn)行了系統(tǒng)性的研究.

在經(jīng)典的概率空間背景下,Marcinkiewicz SLLN 結(jié)果為：對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,任意p ∈(0,2) ,存在著有限常數(shù)a,使當(dāng)1≤p <2時(shí),a=EX1;當(dāng)0

2.主要結(jié)果

3.主要結(jié)果的證明

推論1的證明顯然,f(x),φ(x)滿足假設(shè)A的條件(i)和(ii),對(duì)于r ∈[1,+∞),

推論2的證明顯然,f(x),φ(x)滿足假設(shè)A的條件(i)和(ii),對(duì)于r ∈[2,+∞),

當(dāng)定理2的(i)成立時(shí),根據(jù)式(3.16)和式(3.17)得到:

推論3的證明如果0

由于在p=1情況下,用定理2的方法不能證明的收斂性,因此沒(méi)有給出當(dāng)p=1時(shí)Marcinkiewicz SLLN的證明.WU和JIANG[7]給出了在次線性期望空間中,當(dāng)p=1時(shí)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的Marcinkiewicz SLLN的證明,值得注意的是,其文章所設(shè)定“為連續(xù)次可加”的條件只用在推導(dǎo)當(dāng)p階上積分發(fā)散時(shí)的情形,在推導(dǎo)當(dāng)p階上積分收斂的情形時(shí)仍用“為可數(shù)次可加”的條件.因此與本文定理2所采用的條件是一致的,故p=1時(shí)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的Marcinkiewicz SLLN也成立.綜上所述,結(jié)合我們已經(jīng)證明的p≠1時(shí)的Marcinkiewicz SLLN情況,最終得到:

成立,推論3證畢.