李 紅，王春梅，陸蘊香

(貴州師范大學(xué) 機械與電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基[1]。隨著電子、信息等高新技術(shù)的不斷發(fā)展和市場需求個性化與多樣化的要求，先進(jìn)制造技術(shù)是向精密化、柔性化、網(wǎng)絡(luò)化、智能化、集成化的方向發(fā)展。以數(shù)控技術(shù)為基礎(chǔ)的數(shù)控機床是現(xiàn)代制造業(yè)的核心裝備，而數(shù)控機床的數(shù)量和技術(shù)水平是體現(xiàn)國家綜合國力、衡量國家制造工業(yè)現(xiàn)代化的重要標(biāo)志之一[2]。為滿足國防、航空、航天、船舶、能源等制造裝備大型化發(fā)展，要求數(shù)控機床向高速、高精度、大型化等方向發(fā)展，對大行程、高精度的大型數(shù)控機床的應(yīng)用需求越來越多[3]。

數(shù)控機床在加工時，是根據(jù)計算機數(shù)控裝置發(fā)出的指令進(jìn)行自動加工，加工過程中不允許人工進(jìn)行測量和補償，這就要求機床結(jié)構(gòu)具有高剛度、高耐磨性和高可靠性，同時要提高結(jié)構(gòu)的熱穩(wěn)定性[4]。提高進(jìn)給系統(tǒng)的剛度并消除間隙，減小反向死區(qū)誤差，消除爬行，可以有效地避免因振動、熱變形、間隙等對工件加工精度的影響，提高傳動精度和定位精度。而當(dāng)大型數(shù)控機床的行程超過6～10 m時，為了提高傳動精度及支承剛度，實現(xiàn)超大行程(齒條分段拼接)，進(jìn)給傳動機構(gòu)采用齒輪齒條來代替滾珠絲杠螺母副，并使用消隙齒輪箱結(jié)構(gòu)來消除齒輪齒條傳動中的反向間隙[5]。由于在大行程數(shù)控機床進(jìn)給傳動中，通常齒條是固定不動的，而輸出齒輪和消隙齒輪箱是隨著進(jìn)給部件一起移動，因此，在設(shè)計中應(yīng)盡量減小消隙齒輪箱的體積和重量，為便于安裝，同時也要滿足強度、剛度等條件要求。本文利用Matlab軟件對消隙齒輪箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得出消隙齒輪的優(yōu)化參數(shù)及消隙齒輪箱的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。結(jié)果表明優(yōu)化后的參數(shù)和結(jié)構(gòu)更加合理，箱體體積更小和重量更輕，從而減小了進(jìn)給部件的總重量，便于安裝和提高傳動效率。

1 雙齒輪彈簧消隙齒輪箱結(jié)構(gòu)及其工作原理

雙齒輪消隙箱的結(jié)構(gòu)展開圖如圖1所示，中間軸為輸入軸，其余兩軸為輸出軸，斜齒輪1、2、3、4為消隙齒輪，齒輪5、6為輸出齒輪。齒輪1、3是旋向相反，其他參數(shù)相同的斜齒輪，加工成一個整體；斜齒輪2、4分別與斜齒輪1、3嚙合，除旋向外，其他參數(shù)相同；齒輪5、6與同一齒條嚙合傳動，兩齒輪完全相同，可采用直齒圓柱齒輪或斜齒圓柱齒輪[4]。

圖1 雙齒輪消隙齒輪箱的展開圖及工作原理圖Fig.1 Developed view and principle of anti-backlash gear box

雙齒輪彈簧消隙原理是通過彈簧在中間軸上施加載荷F，在F的作用下，齒輪1、3發(fā)生微小的軸向位移，使兩輸出軸向相反的方向旋轉(zhuǎn)一個較小的角度，在輸出齒輪5、6上產(chǎn)生相反的轉(zhuǎn)矩，使輸出齒輪5、6與齒條兩相反齒面緊貼，從而消除換向進(jìn)給時的反向間隙(如圖2所示)。由于彈簧預(yù)緊力的作用，工作過程中，即使齒側(cè)間隙發(fā)生變化，兩齒面也始終保持緊貼[5]。

2 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型

工程設(shè)計中，通常需要先將所設(shè)計的工程問題按優(yōu)化設(shè)計指定的計算格式轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行描述，然后再采用適當(dāng)?shù)膬?yōu)化設(shè)計計算方法進(jìn)行求解。優(yōu)化設(shè)計的一般數(shù)學(xué)模型為[6]：

minf(x)=f(x1,x2,…,xn)x∈R

受約束于gu(x)≤0或gu(x)≥0,u=1,2,…,m

hv(x)=0,v=1,2,…,p,p

a)消隙箱軸線布置示意圖 b)展開示意圖 圖2 消隙齒輪箱示意圖Fig.2 Shape and schematic diagram of anti-backlash gear box

1)建立優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)函數(shù)

如圖2所示，當(dāng)齒輪1、2的設(shè)計參數(shù)不同及各軸線的布置方式不同時，輸出齒輪5、6的中心距L和消隙齒輪傳動中心距a12、a34不同，消隙齒輪箱的總體長、寬、高就不同，使其總重量也就不同。因此，進(jìn)行消隙齒輪箱的設(shè)計時，可按使消隙齒輪箱的體積最小對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，即以使消隙齒輪箱體積最小建立目標(biāo)函數(shù)。由圖2所示的結(jié)構(gòu)估算消隙齒輪箱的體積，建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型。具體如下：

設(shè)輸入軸的功率為P，轉(zhuǎn)速為n1，輸出齒輪的參數(shù)分別為z5、mn5、和β5，求在滿足強度等條件下，使消隙齒輪箱體積最小時，齒輪1、2的模數(shù)mn、齒數(shù)z1、螺旋角β,以及軸線位置的布置和輸出齒輪中心距L。由圖2可知，輸入軸及輸出軸的軸線位置布置不同，中心距a及中心距L就不同，箱體的長和高就不同；各齒輪的齒寬b不同，箱體的寬就不同。因此，a、L、d、b等是決定消隙齒輪箱體積的主要因素，根據(jù)整體機構(gòu)設(shè)計要求等可得箱體的體積V可近似表示為[7]：

(1)

其中n：輸出齒輪5、6與齒條嚙合齒廓之間齒條的齒個數(shù)(n=1，2，3，…)；mn：齒輪1的模數(shù);z1：齒輪1的齒數(shù);β：齒輪1的螺旋角;z2：齒輪2的齒數(shù);u：齒輪1、2的齒數(shù)比，即u=z2/z1;φd：齒寬系數(shù)。

由(1)式可知，使體積V最小的獨立設(shè)計變量為：

X=[x1,x2,x3,x4]T=[n,z1,mn,β]T

目標(biāo)函數(shù)為f(x)=V→min

由上可知：

2)確定參數(shù)約束條件[6]

①齒面接觸疲勞強度條件為：

②齒跟彎曲疲勞強度條件為：

③不干涉條件為：

④展成法加工斜齒輪不產(chǎn)生根切現(xiàn)象的條件為：

⑤根據(jù)齒輪傳動設(shè)計等要求，對獨立設(shè)計變量的限制條件為：

4≤mn≤10

14≤z1≤24

8°≤β≤25°

n=1、2、3、…

3 優(yōu)化求解實例

建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型后，需要利用各種優(yōu)化設(shè)計計算方法和優(yōu)化設(shè)計軟件進(jìn)行求解。在此選用現(xiàn)有的優(yōu)化設(shè)計軟件Matlab來進(jìn)行求解。

1)設(shè)計實例的已知條件及要求

已知齒輪齒條進(jìn)給速度為10 m/min，主軸功率為30 kW，初取載荷系數(shù)為K=2，傳動比為i=2.5，齒寬系數(shù)為φd=0.8，輸出齒輪5的模數(shù)mn5=8、齒數(shù)z5=18、螺旋角β5=19.528 1°，消隙齒輪的許用應(yīng)力分別為為[σH]=1 200 MPa， [σF] =600 MPa。要求使消隙齒輪箱的體積最小，建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

2)建立目標(biāo)函數(shù)及參數(shù)約束條件[8]

將已知條件按齒輪傳動設(shè)計計算代入前面的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型得：

求X=[x1,x2,x3,x4]T=[n,z1,mn,β]T

s.t.

5.19-x1≤0

1.5x2x3+2x3cosx4-13.33(2x1+1)cosx4+37.5 cosx4≤0

17 cos3x4-x2≤0

x1=1、2、3、……

14≤x2≤24

4≤x3≤10

3)利用Matlab軟件優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解[9-10]

①求解過程如圖3所示：

圖3 優(yōu)化計算流程圖Fig.3 flow chart of optimization calculation

②編程并運行得優(yōu)化結(jié)果，如圖4所示：

圖4 求解結(jié)果Fig.4 Solution

③根據(jù)以上求解結(jié)果可知最優(yōu)解為：

X=[x1,x2,x3,x4]T=[6.459 6,14.106 1,6.038 4,0.349 1]T，經(jīng)圓整后得：X=[x1,x2,x3,x4]T=[n,z1,mn,β]T≈[6,16,6,20°]T,則

此時，如圖2所示：各軸的相對位置布置示意圖中，傾角θ為：

因此，消隙齒輪箱如果按上述優(yōu)化后的齒輪參數(shù)及軸線位置布置方式設(shè)計，其體積約為5.23×107mm3；但如果按照一般展開式水平位置布置方式(即θ=0°)設(shè)計消隙齒輪箱，其體積約為7.46×107mm3；由此可見，經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計后消隙齒輪箱的體積約減小30%，大大減輕了消隙齒輪箱的體積和重量。

4 結(jié)論

為在設(shè)計中應(yīng)盡量減小消隙齒輪箱的體積和重量，便于安裝和減小進(jìn)給部件的總重量等，本文利用Matlab軟件對消隙齒輪箱的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得出了消隙齒輪的優(yōu)化參數(shù)和各軸線的安裝位置，結(jié)果證明優(yōu)化后消隙箱的體積比一般水平展開分布布置方式的體積減小約30%，結(jié)構(gòu)更加合理緊湊。