王宗信
我們對數(shù)的認識是不斷深入的,同學們學習了自然數(shù)(零和正整數(shù))、分數(shù)、負整數(shù)、負分數(shù),知道了有理數(shù)的概念.本章將在有理數(shù)的基礎上學習無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),如π等),這樣數(shù)的概念就從有理數(shù)擴充到了實數(shù),實際上人類從發(fā)現(xiàn)無理數(shù)到正確認識無理數(shù),經(jīng)歷了漫長、曲折的歷史過程,相對于其他章的內容,本章內容雖說比較少,但都很重要,
一、從平方根、立方根去認識某些無理數(shù)
我們知道有理數(shù)的乘法法則是:兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘,積仍為0.數(shù)x的平方運算記為X2,就是這個數(shù)x自己乘以自己,即x2=x·x.要分三種情況考慮:①x<0;②x=0;③x>0.因為負數(shù)的平方是正數(shù),0的平方是0.正數(shù)的平方還是正數(shù),所以任何一個有理數(shù)的平方要么是正數(shù),要么是0.也就是說一個有理數(shù)的平方不可能是負數(shù),即x2≥0.
我們重點討論x2=a(a>0),那么符合條件的數(shù)x應該有兩個,它們互為相反數(shù)(比如x2=g,x可以是3.也可以是-3),這兩個數(shù)叫作a的平方根,記作±√a,其中正的平方根+ √a叫作正數(shù)a的算術平方根,并且二次根號“√ ”前的“+”可以省略不寫,比如3是9的算術平方根,即√9=3.
在生活中,人們經(jīng)常用多少平方米來表述建筑面積.同學們最熟悉的正方形的面積是邊長的平方,如果正方形的邊長分別是1.2,3,…,n,…,那么這些正方形的面積依次是1,4,9,…,n2,….如果正方形的面積是2,3,5,7,8等整數(shù),那么它們的邊長又分別是哪些數(shù)呢?
我們不妨具體研究一下面積為2的正方形,我們設其邊長為x,則x是2的算術平方根,即x=√2、√3是有理數(shù)嗎?如果它是有理數(shù),那么一定是介于1和2之間的一個有理數(shù),因為面積為1和4的正方形邊長分別為1和2.下面我們來進行探索.
假設√2是有理數(shù),那么存在兩個互質的正整數(shù)m,n,使得、√2=n/m,去分母得
√2m=n,兩邊同時平方得2m2=n2,顯然2m2是偶數(shù),則n2必然也是偶數(shù),所以n是偶數(shù).可以設n=2y,代人2m2=n2,得2m2=(2y)2,即m2=2y2,由此可以推出m也是偶數(shù),這與“兩個互質的正整數(shù)m.n”矛盾.所以√2不可以表示成一個分數(shù)的形式.不是分數(shù)就不可能是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),而且√2不可能是整數(shù),
綜上所述,√2不是整數(shù),不是有限小數(shù),不是無限循環(huán)小數(shù).√2只能是無限不循環(huán)小數(shù).
同學們可以仿照上面的方法來說明√3了也是無限不循環(huán)小數(shù),試一試!
我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).像√3、√5、√6、√7、√8、√9、√10√11、√12、√13、√14、√15、√17…
二、認識實數(shù)
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).
需要特別指出的是,當數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)后,一個實數(shù)只可能是:整數(shù)、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、無限不循環(huán)小數(shù).其中前三種都是有理數(shù),第四種是無理數(shù).這樣數(shù)軸上每一個點表示的數(shù)要么是有理數(shù),要么是無理數(shù).也就是說,實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的,即每一個實數(shù)在數(shù)軸上都有唯一的一個點來對應,反過來,數(shù)軸上的每一個點都表示唯一的一個實數(shù),相應地,與規(guī)定有理數(shù)的大小一樣,對于數(shù)軸上的任意兩個點,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,
有理數(shù)中的運算法則同樣適用于實數(shù),實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算,而且正數(shù)和0可以進行開平方運算,任意一個實數(shù)都可以進行開立方運算.
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版2020年3期