夏恩帥，張永貴，劉永平，牛 蓉

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

近年來，六自由度機(jī)器人由于其具有操作的機(jī)動(dòng)性和靈活性，以及能夠代替人類從事一些單調(diào)、繁重的工作，越來越受到各方的重視[1]。

六自由度切削機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模，采用牛頓-歐拉法可以得到效率很高的模型遞歸方程，非常適合數(shù)值計(jì)算，計(jì)算復(fù)雜程度也相對(duì)較低[2]。本文以六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人為研究對(duì)象，首先運(yùn)用SolidWorks軟件建立其三維模型，獲得切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)參數(shù)；然后以牛頓-歐拉法為理論方法建立切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)分析切削機(jī)器人的工作空間，確定任務(wù)空間和機(jī)器人基坐標(biāo)系的相對(duì)位置[3]；最后通過遺傳算法得到切削機(jī)器人的最佳位姿。本文的研究成果可為六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)研究奠定理論基礎(chǔ)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建立

運(yùn)用SolidWorks軟件建立的六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人三維模型如圖1所示。

對(duì)圖1所示的切削機(jī)器人，采用后置D-H法建立其連桿坐標(biāo)系[4]，如圖2所示，切削機(jī)器人的D-H參數(shù)見表1。

圖1 六自由度串聯(lián)機(jī)器人三維模型

表1 六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人的D-H參數(shù)

(1)

(2)

通過MATLAB中機(jī)器人工具箱的link等函數(shù)，計(jì)算θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6均為0時(shí)末端執(zhí)行器在機(jī)座坐標(biāo)系中的位姿，從而得到式(3)，機(jī)器人的MATLAB模型如圖3所示。

圖3 機(jī)器人MATLAB三維仿真模型

(3)

2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

為更好地了解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中各關(guān)節(jié)的速度、加速度和關(guān)節(jié)力矩等參數(shù)，通過建立機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型來分析研究機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特征[5]。本文運(yùn)用牛頓-歐拉法建立六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，其力平衡方程(Newton方程)和力矩平衡方程(Euler方程)如式(4)所示：

(4)

式中：fci為作用在桿件i上的外力合矢量；nci為作用在桿件i上的外力矩合矢量；mi,vci,aci,ωi,εi分別為桿件i質(zhì)心的質(zhì)量、線速度、線加速度矢量、角速度和角加速度；Ici為桿件的慣性張量；t為時(shí)間。對(duì)于桿件i則有以下的公式：

(5)

(6)

(7)

3 機(jī)器人工作空間與任務(wù)空間分析

3.1 確定機(jī)器人工作空間

六自由度切削機(jī)器人的工作空間如圖4所示，圖4是根據(jù)六自由度切削機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)通過MATLAB仿真得到的，圖中的點(diǎn)為機(jī)器人末端執(zhí)行器駐留過的痕跡點(diǎn)，總點(diǎn)數(shù)N=30 000。切削機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍是：θ1=[-180°,180°],θ2=[-90°，135°],θ3=[-160°,280°],θ4=[-360°，360°],θ5=[-125°，125°],θ6=[-360°，360]。

圖4 機(jī)器人工作空間

根據(jù)六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人的各桿件參數(shù)和MATLAB仿真模擬得到的機(jī)器人工作空間示意圖可以知道，機(jī)器人工作空間上下邊界之間的最大距離為3 547 mm，左右邊界之間的最大距離為3 802 mm。

3.2 任務(wù)空間的描述

對(duì)于切削機(jī)器人來講，銑刀安裝在機(jī)器人執(zhí)行器末端。根據(jù)切削機(jī)器人切削加工時(shí)的工藝要求，銑刀工作的空間為一個(gè)二維平面，因此切削加工時(shí)銑刀垂直于工件表面，并保持此姿態(tài)按照給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來完成對(duì)工件表面的切削[6]。本文以一個(gè)長(zhǎng)1.0 m、寬1.0 m、高0.3 m的長(zhǎng)方體的表面作為被切削工件表面為例，機(jī)器人任務(wù)空間如圖5所示，機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系為Σ0，工件坐標(biāo)系為ΣW，機(jī)器人末端銑刀的附體坐標(biāo)系為ΣQ，上述幾個(gè)坐標(biāo)系的變換關(guān)系如式(8)所示：

圖5 切削任務(wù)示意圖

(8)

根據(jù)式(8)可以將該任務(wù)空間轉(zhuǎn)換到在機(jī)器人的機(jī)座坐標(biāo)系中，并可求解各任務(wù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位置。其任務(wù)空間表達(dá)式為：

(9)

3.3 任務(wù)空間在工作空間中的描述

圖6為工作空間與任務(wù)空間的X-Y面和X-Z面輪廓，圖6(a)中的實(shí)心方塊為被切削工件的X-Y面，圖6(b)中的實(shí)心圖形為被切削工件的X-Z面，取(xw,yw,zw)=(0.5，-0.5,-0.2)。由圖6可知，任務(wù)空間完全在工作空間內(nèi)，被切削件的加工表面全部處于六自由度切削機(jī)器人的工作空間內(nèi)。

圖6 機(jī)器人工作空間與任務(wù)空間

4 基于動(dòng)力學(xué)的任務(wù)空間位姿優(yōu)化

切削機(jī)器人在其工作空間內(nèi)進(jìn)行切削加工時(shí)，切削加工任務(wù)空間在機(jī)器人工作空間處于什么樣的位姿，會(huì)影響到機(jī)器人的工作狀態(tài)[7]。只有機(jī)器人自己先達(dá)到一個(gè)“舒服”的姿態(tài)，才可以更好地去完成任務(wù)。這個(gè)“舒服”的姿態(tài)指的就是機(jī)器人末端銑刀在任務(wù)空間工作時(shí)在達(dá)到所要求的位姿、速度、加速度的同時(shí)，機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩τi的和∑|τi|(i=1，2，…，6)為最小。

圖7為切削機(jī)器人末端銑刀在工件表面工作的示意圖。被切削工件表面為邊長(zhǎng)1 m的正方形，本文選用的銑刀外徑D=8 mm，在AD邊、BC邊各取100個(gè)點(diǎn)(圖7中a1,d1,a2,…；b1,c1,b2,…)，每?jī)牲c(diǎn)之間相距10 mm，a1點(diǎn)距AB邊4 mm。以銑刀將要接觸而未實(shí)際碰觸工件表面時(shí)的位置點(diǎn)為起始點(diǎn)，以銑刀完全離開工件表面時(shí)的位置點(diǎn)為終止點(diǎn)，以此過程為一個(gè)單次的走刀軌跡(如a1—b1)，之后銑刀從b1橫移到c1，進(jìn)行下一次走刀(c1—d1)，如此往復(fù)，按a1—b1—c1—d1—a2—b2…的軌跡順序走刀，直到銑刀從d50點(diǎn)完全離開，結(jié)束整個(gè)工件表面的銑削加工。

圖7 切削加工示意圖

在銑削時(shí)，溫度、刀具材料、銑削液、齒輪進(jìn)給量、銑削力系數(shù)等都影響著銑刀工作時(shí)的銑削力。本文銑刀采用高速鋼，工件材料為灰鑄鐵，銑削力系數(shù)Cp=30，銑刀外徑D=8 mm，銑削深度為t1=6 mm，每齒進(jìn)給量Sz=0.4 mm/齒，銑刀齒數(shù)Z=4，銑刀寬度B=8 mm，銑削力F的計(jì)算公式為：

(10)

式中：PZ為銑削力，也是切向力。

由式(10)可以計(jì)算得到銑削力F=3 251 N，銑削時(shí)采用順銑。

4.1 優(yōu)化算法的描述與應(yīng)用

一般pc取0.25～1.00，本文取0.80，變異概率pm=0.05，運(yùn)用兩人競(jìng)賽選擇法，每次隨機(jī)選擇得到兩個(gè)個(gè)體，從這兩個(gè)個(gè)體里選出適應(yīng)度值小的個(gè)體作為新種群的個(gè)體，一直到新種群被填滿為止。為了防止其結(jié)果出現(xiàn)收斂于局部最優(yōu)點(diǎn)的情況，每隔10代對(duì)種群重新進(jìn)行一次初始化，然后將前一代的最優(yōu)個(gè)體放到新的種群中，如果有更優(yōu)個(gè)體出現(xiàn)，則前一個(gè)自然會(huì)被淘汰[11]。同時(shí)為保證最優(yōu)個(gè)體在選擇的過程中不被遺漏，采用精英模型將最優(yōu)個(gè)體保存。

在交叉和變異的過程中，利用交叉算子和變異算子對(duì)父代種群Pk0進(jìn)行作用，并通過與給定的交叉概率pc和變異概率pm比較來判定是選擇交叉還是選擇變異，若隨機(jī)數(shù)<0.8，則對(duì)父代進(jìn)行交叉操作，若小于pm，則進(jìn)行變異操作。在執(zhí)行交叉操作過程中使用算數(shù)交叉，選擇某一個(gè)體i,并用另一個(gè)選出的個(gè)體u與之交叉，交叉算子如式(11)和(12)所示：

pk+1(u,j)=pk0(u,j)ruj+pk0(i,j)(1-ruj)

(11)

pk+1(i,j)=pk0(i,j)rij+pk0(u,j)(1-rij)

(12)

式中：pk+1(i,j)為群體中第i個(gè)個(gè)體的第j位變量；pk0(·)為第k代群體中選擇出的要繼續(xù)繁殖的個(gè)體組成的父代；rij,ruj為隨機(jī)數(shù)。

對(duì)每一個(gè)體i的每一位取一個(gè)隨機(jī)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)<0.05時(shí)，采用非均勻變異對(duì)該位進(jìn)行變異操作，使用的變異算子pk(i,j)如下：

(13)

或

pk(i,j)=[Tb(j)-pk0(i,j)]×rx×(1-

(14)

式中：Tb(j)和Lb(j)為個(gè)體i第j位的上、下邊界；k和kmax分別為當(dāng)前代數(shù)和最大進(jìn)化代數(shù)；隨機(jī)數(shù)rx決定了變異算子是采用式(13)還是式(14)，其取值范圍為0～1，當(dāng)rx大于0.5時(shí)，采用式(13)，否則采用式(14)，對(duì)每一個(gè)需要變異的個(gè)體，rx都要重新選取。

為保證被切削件整體處于機(jī)器人切削工作空間內(nèi)，各個(gè)變量的取值區(qū)間分別為：xw∈[-1，1]，yw∈[-1，-0.5]，zw∈[-1，0]。經(jīng)過300代的優(yōu)化計(jì)算，得到優(yōu)化結(jié)果為：xw=0.521 5 m，yw=-0.468 9 m，zw=-0.256 8 m。需要指出的是，這個(gè)優(yōu)化結(jié)果中的(xw，yw，zw)是工件坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人機(jī)座坐標(biāo)系進(jìn)行平移后最優(yōu)的一個(gè)位姿矢量。為了工件安裝的方便，工件加工面與機(jī)器人基坐標(biāo)系X-Y面相平行。

4.2 優(yōu)化算法的調(diào)試與驗(yàn)證

采用上述遺傳算法進(jìn)行任務(wù)空間位姿優(yōu)化時(shí)，為防止切削機(jī)器人末端執(zhí)行器在某一位置時(shí)雖所有關(guān)節(jié)力矩和最小，但其中某一個(gè)關(guān)節(jié)力矩超過允許力矩的情況發(fā)生，采取如下措施：當(dāng)前代最優(yōu)個(gè)體的函數(shù)值的絕對(duì)值大于設(shè)定值K時(shí)，停止對(duì)遺傳種群的選擇操作、交叉操作和變異操作，此時(shí)以本代最優(yōu)個(gè)體Xa(j)為中心按隨機(jī)數(shù)r進(jìn)行隨機(jī)搜索，用算子p(i,j)重新初始化(initialize)種群：

(15)

此時(shí)以|f1,Xa|/n為搜索步長(zhǎng)，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)值f1，從而得到滿足條件的最優(yōu)個(gè)體。對(duì)每一個(gè)體取隨機(jī)數(shù)r，當(dāng)r≥0.5時(shí)，式(15)取加號(hào)“+”，否則取減號(hào)“-”。當(dāng)f1大于等于設(shè)定值K時(shí)，整個(gè)過程結(jié)束。

當(dāng)任務(wù)空間的坐標(biāo)系原點(diǎn)分別處于(x,y,z)=(0.5，-0.5,-0.2)點(diǎn)和(xw,yw,zw)=(0.521 5，-0.468 9，-0.256 8)點(diǎn)時(shí)，以切削機(jī)器人的末端執(zhí)行器從初始位置到距離切削機(jī)器人基坐標(biāo)系最遠(yuǎn)端的b1點(diǎn)為一銑削過程，對(duì)比兩個(gè)過程中機(jī)器人各關(guān)節(jié)的力矩變化，如圖8所示。

六自由度切削機(jī)器人關(guān)節(jié)1,2,3的允許力矩分別為196 N·m、196 N·m和127 N·m，圖8中Torque01為任務(wù)空間基坐標(biāo)系原點(diǎn)在(x,y,z)=(0.5，-0.5,-0.2)點(diǎn)時(shí)的力矩變化曲線，Torque02為任務(wù)空間基坐標(biāo)系原點(diǎn)在(xw,yw,zw)=(0.521 5，-0.468 9，-0.256 8)點(diǎn)時(shí)的力矩變化曲線。由于篇幅有限且其余關(guān)節(jié)力矩較小，因此其余關(guān)節(jié)力矩變化曲線不再一一給出。由圖8中Torque01變化曲線可知，關(guān)節(jié)1,2,3的最大力矩分別為17.551 4 N·m、113.872 9 N·m、11.027 0 N·m；由Torque02變化曲線可知，關(guān)節(jié)1,2,3的最大力矩分別為8.733 4 N·m、79.496 3 N·m、10.152 8 N·m。由此可以知道關(guān)節(jié)1,2,3的最大力矩都未超出其允許力矩。

圖8 優(yōu)化前后關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩對(duì)比

通過對(duì)比可知，當(dāng)機(jī)器人末端執(zhí)行器到達(dá)b1點(diǎn)時(shí)，優(yōu)化算法后關(guān)節(jié)1,2和3的最大力矩相較于任務(wù)空間在優(yōu)化前各減少8.818 0 N·m、34.403 6 N·m和0.874 2 N·m；從整個(gè)過程來看，工件坐標(biāo)系在優(yōu)化后的坐標(biāo)系上時(shí)，機(jī)器人前3個(gè)關(guān)節(jié)的力矩都相對(duì)較小，由此可以看出，任務(wù)空間的基坐標(biāo)系在優(yōu)化后的坐標(biāo)上時(shí)切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能更好。

5 優(yōu)化結(jié)果分析

以優(yōu)化結(jié)果(xw，yw，zw)=(0.521 5，-0.468 9，-0.256 8)為工件坐標(biāo)系原點(diǎn)，銑刀沿y方向移動(dòng)，切削點(diǎn)在工件坐標(biāo)系中從(-1,0,0)到(-1,1,0)，在這個(gè)過程中，六自由度切削機(jī)器人關(guān)節(jié)角位移、關(guān)節(jié)角速度和角加速度的變化情況如圖9所示。

通過圖9(a)可以看出，各關(guān)節(jié)角位移曲線較為連續(xù)，變化幅度較小。圖9(b)為關(guān)節(jié)角速度隨時(shí)間的變化曲線，曲線較平滑，沒有明顯拐點(diǎn)。圖9(c)為角加速度曲線，圖中反映出的各關(guān)節(jié)角加速度變化較為平穩(wěn)、連續(xù)。從圖中可以看出，最大的角速度出現(xiàn)在關(guān)節(jié)4上，其值為-49.049 2 (°)/s，最大的角加速度為關(guān)節(jié)6的-58.483 2(°)/s2。最大角速度小于切削機(jī)器人關(guān)節(jié)4允許的最大角速度250 (°)/s，滿足六自由度串聯(lián)切削機(jī)器人對(duì)各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度要求。

6 結(jié)束語

本文在獲得六自由度切削機(jī)器人三維模型的基礎(chǔ)上建立了其動(dòng)力學(xué)模型，以各關(guān)節(jié)力矩和最小為目標(biāo)函數(shù)，通過遺傳算法得到了任務(wù)空間相對(duì)于機(jī)器人基坐標(biāo)系的優(yōu)化位姿參數(shù)。仿真結(jié)果表明，任務(wù)空間在優(yōu)化后的坐標(biāo)系上時(shí)，機(jī)器人各關(guān)節(jié)角位移、角速度和角加速度的曲線平穩(wěn)、連續(xù)，末端執(zhí)行器在任務(wù)空間的最遠(yuǎn)端b1點(diǎn)時(shí)各關(guān)節(jié)力矩均較小，動(dòng)力學(xué)狀態(tài)較好，達(dá)到了任務(wù)空間動(dòng)力學(xué)優(yōu)化的目的。本文的計(jì)算過程適用于多自由度機(jī)器人優(yōu)化位姿的求解，也為多自由度切削機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)研究提供了一種較好的優(yōu)化辦法。