劉宏偉

(太原學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 太原 030001)

0 引言

控制理論、生物醫(yī)學(xué)、電路學(xué)等相關(guān)學(xué)科的很多現(xiàn)象都可以用分數(shù)階微分方程邊值問題來描述并求解[1-11].在這些研究中，主要用Guo-Krasnosel’skii不動點定理、錐理論等方法研究了解的唯一性、存在性與多重性問題.文獻[12]研究了以下積分邊值方程

(1)

利用Guo-Krasnosel’skii不動點定理，得到了方程存在唯一正解的充分條件.

文獻[13]研究了Ph，e集合上的分數(shù)階兩點邊值問題

(2)

利用混合單調(diào)算子的不動點定理，得到了方程存在唯一非平凡解的結(jié)論.

本文研究以下非線性分數(shù)階微分方程：

(3)

相較于已有文獻，本文具有以下特征：

1)當a=0，且f(t，u(t)，u(t))=f(t，u(t))時，方程(3)退化為方程(1).

2)本文研究的非線性項f(t，u(t)，u(t))具有混合單調(diào)性，而且方程中常數(shù)a>0，此時集合Ph上混合單調(diào)算子不動點定理無法求解；而本文應(yīng)用混合單調(diào)算子不動點定理獲得了集合Ph，e上當a>0時的非平凡解存在唯一性結(jié)論，推廣和改進了已有文獻中相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識

文章用到的基本概念和引理如下：

定義1[8]稱P是正規(guī)錐，若存在常數(shù)N>0，使得：對x，y∈E，θ≤x≤y，有‖x‖≤N‖y‖.

定義2[8]對于x，y∈E，符號x～y表示存在λ>0和μ>0使得λx≤y≤μx.顯然，“～”是一個等價關(guān)系.對于h>θ(即h≥θ且h≠θ)，定義集合Ph={x∈E|x～h}.顯然Ph?P.

定義3[8]取h>θ(即h≥θ且h≠θ)，取e∈P，且θ≤e≤h，定義集合Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}，即：

Ph，e={x∈E|?μ=μ(h，e，x)>0，ν=ν(h，e，x)>0，使得μh≤x+e≤νh}.

引理1[14]若x∈Ph，e，那么當λ>0時，λx+(λ-1)e∈Ph，e.

引理2[14]若x，y∈Ph，e，則存在r∈(0，1)使得：

ry+(r-1)e≤x≤r-1y+(r-1-1)e.

引理3[15]令2<α≤3，0<β<α，y∈[0，1]，那么以下邊值問題

(4)

有唯一解u∈C1[0，1]，

其中

(5)

引理4[14]格林函數(shù)G(t，s)有如下性質(zhì):

1)G(t，s)≥0；

引理5[15]已知P為正規(guī)錐，假設(shè)算子T:Ph，e×Ph，e→E是混合單調(diào)算子，并滿足以下條件：

(L1)存在h∈E，e∈P，θ≤e≤h，h≠θ滿足T(h，h)∈Ph，e；

(L2)?u，v∈Ph，e，?λ∈[0，1]，?φ(λ)>λ，使得：

那么：

1)存在u0，v0∈Ph，e使得：

u0

2)T有唯一不動點x*∈Ph，e.

3)對任意初值x0，y0∈Ph，e，構(gòu)造序列

xn=T(xn-1，yn-1)，yn=T(yn-1，xn-1)，n=1，2，…，

當n→∞時，有：xn→x*，yn→x*.

2 主要結(jié)論

令E=C[0，1]={x:[0，1]→連續(xù)}，則E為Banach空間，其上范數(shù)‖x‖=sup{|x(t)|:t∈[0，1]}，以及半序關(guān)系為x，y∈C[0，1]，x≤y?x(t)≤y(t)，?t∈[0，1].

令P={x∈C[0，1]|x(t)≥0，t∈[0，1]}，P是E中一個正規(guī)錐且正規(guī)系數(shù)為1.定義集合Ph={x∈P|?ζ，η>0，ζh(t)≤x(t)≤ηh(t)，t∈[0，1]}，Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}.

取

(6)

其中，G(t，s)在(5)中已給出.顯然由G(t，s)的非負性和a>0可知e(t)≥0，進一步，令：

h(t)=Mtα-1，?t∈[0，1]

其中，

(7)

由(6)和(7)知：

0≤e(t)≤h(t)即θ≤e≤h，顯然h∈Ph，e.

Ph，e={x∈E|?μ=μ(h，e，x)>0，ν=ν(h，e，x)>0，使得μh≤x+e≤νh}.

定理1假設(shè)

(H1)f:[0，1]×[-e*，+∞)×[-e*，+∞)→(-∞，+∞)是連續(xù)的，其中e*=max{e(t):t∈[0，1]}； (H2)f(t，x，y)關(guān)于x∈[-e*，+∞)增，關(guān)于y∈[-e*，+∞)減；

(H3)對任意的λ∈[0，1]，t∈[0，1]，x，y∈[-e*，+∞)，z∈[0，-e*]，存在φ(λ)>λ使得

那么：

1)存在u0，v0∈Ph，e使得：u0

2)邊值問題(3)有唯一解u*∈Ph，e.

3)對任意x0，y0∈Ph，e，構(gòu)造序列

當n→∞時，有：xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t).

證明 由引理1，問題3)具有如下等價的積分表達式：

(8)

定義算子A:Ph，e×Ph，e→E滿足：

則研究方程(3)解的存在唯一性問題即為討論算子A的不動點問題.下面分三步進行證明.

第一步：證明算子A:Ph，e×Ph，e→E滿足條件(L2).?u，v∈Ph，e，?λ∈[0，1]，由(H3)得到：

φ(λ)A(u，v)+(φ(λ)-1)e.

因此，可得到:

第二步：證明算子A:Ph，e×Ph，e→E是混合單調(diào)算子.若u∈Ph，e，則u+e∈Ph，故存在η>0使得u(t)+e(t)≥ηh(t)，t∈[0，1]，由(H1)可得：

u(t)≥ηh(t)-e(t)≥-e(t)≥-e*.

?ui，vi∈Ph，e，i=1，2且滿足u1≤u2，v1≥v2，則u1(t)≤u2(t)，v1(t)≥v2(t)，且ui(t)，vi(t)∈(-e*，+∞)，?t∈[0，1].由G(t，s)的非負性和條件(H2)，可得到：

即A是一個混合單調(diào)算子.

第三步：證明A(h，h)∈Ph，e.由Ph，e的定義，只需證明A(h，h)+e∈Ph.由條件(H2)和引理3知，對任意t∈[0，1]，有：

另一方面，

令：

因此，l1h(t)≤A(h，h)(t)+e(t)≤l2h(t)，t∈[0，1].由條件(H2)和(H4)得：

這也就說明l2≥l1>0.因此A(h，h)+e∈Ph成立，即A(h，h)∈Ph，e.

最后，由引理5的結(jié)論1)可知：存在u0，v0∈Ph，e使得：

并且方程(3)存在唯一解u*∈Ph，e，且可構(gòu)造以下序列

當n→∞時，有：xn(t)→u*(t)，yn(t)→u*(t).其中G(t，s)和e(t)分別在(5)和(6)中給出.

證畢.

3 應(yīng)用

考慮下述方程：

(9)

本例可寫為方程(3)的形式，其中函數(shù)為：

(10)

其中

(11)

故：f(t，0，M)≥0且f(t，0，M)不恒為0.

當n→∞時，有：xn，yn→u*，其中：