莊麗娜

(閩南理工學(xué)院 福建石獅 362700)

20世紀(jì)80年代，加拿大多倫多大學(xué)以4塊板為試驗(yàn)，對板的抗剪承載力進(jìn)行了專項(xiàng)課題研究。Vecchio和Collins在此試驗(yàn)基礎(chǔ)上考慮開裂混凝土拉應(yīng)力的作用，因此提出修正壓力場理論(modified compression field theory，MCFT)分析模型。該模型可以模擬鋼筋混凝土構(gòu)件受剪全過程的變形發(fā)展趨勢，確定構(gòu)件在任意時(shí)刻下的平均應(yīng)力、應(yīng)變及裂縫傾角。1988年Vecchio和Collins給出一種由MCFT發(fā)展成的雙層截面分析方法[1]，并滿足平截面假定，通過將混凝土截面劃分成若干層單元，得到各混凝土層剪應(yīng)力和開裂角度的近似分布，分析發(fā)現(xiàn)在有效截面內(nèi)剪應(yīng)力分布是均勻的，證明了剪應(yīng)力在截面上均勻分布的合理性。1989年Bhide和Collins運(yùn)用MCFT對承受剪力和軸力共同作用的鋼筋混凝土梁進(jìn)行分析，取構(gòu)件彎矩最小的截面作為計(jì)算截面，并假設(shè)剪力沿豎向均勻分布，從而得到剪力與剪切變形的關(guān)系。到目前為止，修正壓力場理論已經(jīng)被學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)可。文章對修正壓力場理論進(jìn)行了簡介，并將收集到的5根試驗(yàn)梁數(shù)據(jù)，對該理論進(jìn)行了驗(yàn)證[2-4]。

1修正壓力場理論的提出

對鋼筋混凝土抗剪性能的分析，早在20世紀(jì)70年代之前，人們就采用Ritter等人提出的桁架模型對鋼筋混凝土梁進(jìn)行抗剪分析，有關(guān)學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，其假設(shè)的斜壓應(yīng)力傾角與實(shí)際不符，造成了計(jì)算結(jié)果偏于保守。隨后，加拿大學(xué)者M(jìn)itchell和Collins在鋼筋混凝土構(gòu)件受剪分析中引入相容方程，用以明確主壓應(yīng)力傾角與混凝土主應(yīng)變的關(guān)系，進(jìn)而得到了與拉應(yīng)力場相似的壓力場理論(compresion field theory，CFT)。其假定混凝土開裂后的荷載傳遞機(jī)制為斜向壓力場，忽略混凝土開裂后垂直主壓應(yīng)力方向的拉應(yīng)力，不考慮開裂處骨料傳力效應(yīng)、摩擦力及受拉鋼筋的銷栓作用等，將帶裂縫的混凝土構(gòu)件作為一個(gè)整體來考慮，并采用平均概念表達(dá)平衡條件、應(yīng)變協(xié)調(diào)條件及材料的本構(gòu)關(guān)系，通過上述條件即可計(jì)算構(gòu)件斜截面上的剪力效應(yīng)。

不久后，Collins發(fā)現(xiàn)雖然混凝土的拉應(yīng)力值在裂縫處為零，但裂縫間存在著不可忽略作用的殘余拉應(yīng)力。因此，Vecchio和Collins于1986年在CFT基礎(chǔ)上考慮裂縫間混凝土殘余拉應(yīng)力對剪力的貢獻(xiàn)，并提出了修正壓力場理論(MCFT)。CFT與MCFT理論主要區(qū)別在與混凝土開裂后受力單元體主拉應(yīng)力是否可以忽略，如圖1所示。

圖1 混凝土開裂前后CFT與MCFT受力單元體對比

2修正壓力場理論的基本假定

修正壓力場理論的基本假設(shè)主要包括如下幾點(diǎn)：①受力單元體主壓應(yīng)力的斜向傾角與主壓應(yīng)變相同；②斜截面上的混凝土裂縫均勻分布；③混凝土中的箍筋及縱筋應(yīng)力均勻地分布在混凝土構(gòu)件的橫、縱截面上；④開裂后混凝土可看作一種新型材料，且材料具有對應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系；⑤采用平均值概念描述幾條斜裂縫長度內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變；⑥混凝土與鋼筋共同受力，具有良好的粘結(jié)，不考慮兩者的粘結(jié)滑移。

3應(yīng)變協(xié)調(diào)條件

由于修正壓力場理論假定混凝土與鋼筋之間不存在粘結(jié)滑移現(xiàn)象[7]，因此，在外荷載作用下，鋼筋與混凝土能夠共同參與受力、協(xié)調(diào)變形，即鋼筋軸向的變形量與混凝土的變形量相同。即滿足式(1)、(2)，式中εcx和εcy為混凝土單元在x和y坐標(biāo)軸上的應(yīng)變；εsx和εsy為鋼筋單元在坐標(biāo)軸上的應(yīng)變。

εcx=εsx

(1)

εcv=εsv

(2)

修正壓力場理論中，鋼筋混凝土單元體應(yīng)變滿足莫爾應(yīng)變圓。即假定混凝土單元體相鄰兩個(gè)面上的應(yīng)變分別為εx、εv、γxv，即可通過圖2(b)莫爾圓上的幾何關(guān)系求出任意方向上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變，據(jù)此可以得到以下若干重要的關(guān)系式(3)、(4)、(5)。值得注意的是，開裂受剪混凝土的相容方程參數(shù)是根據(jù)幾條斜裂縫長度內(nèi)的平均應(yīng)變推導(dǎo)的，詳見圖2。

圖2 混凝土開裂后單元變形協(xié)調(diào)條件

基于混凝土平均應(yīng)變莫爾圓的幾何關(guān)系即可得到主拉應(yīng)變ε1：

ε1=εx+εy-ε2

(3)

及剪應(yīng)變：

γxy=2(εx-ε2)cotθ

(4)

式中：εx為受力單元體縱向應(yīng)變；εy為受力單元體豎向應(yīng)變；γxy為受力單元體剪切應(yīng)變；ε2為單元體主壓應(yīng)變；θ為斜壓桿與水平方向的傾角。

由式(3)和式(4)可得到混凝土主壓力場或主壓應(yīng)變的傾角θ計(jì)算式：

(5)

由圖2所示的應(yīng)變莫爾圓及式(3)-(5)可推導(dǎo)出主拉、壓應(yīng)變和與開裂單元縱向應(yīng)變εx、豎向應(yīng)變εy及剪應(yīng)變γxy的關(guān)系式：

(6)

(7)

應(yīng)變圓中3個(gè)應(yīng)變量，εx、εy和εxy的關(guān)系為：

(8)

4應(yīng)力平衡條件

鋼筋混凝土單元截面的受力模型可以簡化成如圖3所示的柱狀模型，裂縫傾角為水平面的角度為θ，f2為單元體主壓應(yīng)力，f1為單元體主拉應(yīng)力，由圖3受力模型豎直方向力的平衡，即ΣFy=0可得式(9)。若試驗(yàn)梁為無腹筋梁，則式(9)中fyAv項(xiàng)為0，且混凝土材料滿足圖4所示的摩爾應(yīng)力圓，由摩爾應(yīng)力圓的幾何關(guān)系可找出混凝土剪應(yīng)力v、主拉應(yīng)力f1、主壓應(yīng)力f2及混凝土斜裂傾角θ。四個(gè)變量間的關(guān)系見式(10)所示，由式(9)、式(10)和式(11)，整理可得式(12)。由式(12)不難看出，混凝土的剪力由兩部分組成：一部分為混凝土的貢獻(xiàn)值Vc，另一部分為箍筋的貢獻(xiàn)值Vs；式中As為縱筋面積，bw為混凝土截面的寬度F，dv為混凝土截面計(jì)算有效高度，其他參數(shù)同上。

圖3 混凝土單元體受力模型

圖4 摩爾應(yīng)力圓

fyAv=(f2sin2θ-f2cos2θ)bws

(9)

f1+f2=v(tanθ+cotθ)

(10)

V=vbwdv

(11)

(12)

5裂縫間應(yīng)力平衡

在剪應(yīng)力作用下，斜裂縫的產(chǎn)生和發(fā)展具有隨機(jī)性，因而不便于受力分析，故將梁剪跨段中開裂后的混凝土視為斜裂縫相互平行并與縱筋方向成θ角的受力體。當(dāng)剪力數(shù)值較低時(shí)，拉力在裂縫間的傳遞主要依靠增加箍筋與裂縫相交處的應(yīng)力來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)剪力增大至一定數(shù)值時(shí)，跨越斜裂縫的箍筋達(dá)到屈服強(qiáng)度。隨著剪力繼續(xù)增大，拉力的傳遞方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，需依靠裂縫間骨料互鎖作用傳遞，并鑒于局部應(yīng)力的提高而在裂縫表面產(chǎn)生剪應(yīng)力vci，見圖5所示。

圖5 裂縫處剪應(yīng)力傳遞圖

圖5給出了裂縫處和裂縫間的應(yīng)力示意圖，其中(a)、(b)分別表示裂縫間鋼筋和混凝土的平均應(yīng)力，及裂縫處的局部剪應(yīng)力vci，并且兩圖所示的兩組應(yīng)力需滿足靜力平衡條件。由此可得豎直方向上力的平衡公式，即式(13)：

(13)

當(dāng)fsycr=fyx時(shí)得最大平均主拉應(yīng)力f1max，即：

(14)

對于裂縫處可傳遞的最大剪應(yīng)力vcimax，Vecchio等建議按下式計(jì)算：

(15)

式中：fc′—混凝土圓柱體抗壓強(qiáng)度/MPa；

a—混凝土骨料最大粒徑/mm；

ω—裂縫寬度/mm。

平均裂縫寬度ω可由式(16)計(jì)算：

ω=εSmθ

(16)

(17)

Smx、Smy分別為豎直和水平方向裂縫的間距，其中，Smx可近似取為箍筋間距，Smy可近似取為最大縱筋間距值。

由于裂縫處拉力的傳遞會受到縱筋屈服的限制，因而需滿足以下條件：

(18)

6混凝土和鋼筋的本構(gòu)模型

6.1混凝土受壓本構(gòu)

在復(fù)合應(yīng)力作用下，梁中混凝土抗壓強(qiáng)度受主拉應(yīng)變ε1的影響，混凝土強(qiáng)度一般低于單軸抗壓強(qiáng)度fc，如圖6所示，即在復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)下混凝土強(qiáng)度存在軟化現(xiàn)象。針對這一現(xiàn)象，早在1986年時(shí)，國外學(xué)者Vecchio和Collins[5]就進(jìn)行了大量試驗(yàn)，并提出了有關(guān)軟化系數(shù)的計(jì)算式(19)。為了進(jìn)一步提高軟化系數(shù)的精度，Ueda、Noguchi等人于1991年又提出了式(20)來計(jì)算ζ值。

圖6 混凝土軟化受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線

(19)

(20)

Vecchio等[6]在其前期研究基礎(chǔ)上，基于Hognestad基準(zhǔn)曲線，又給出了含有混凝土強(qiáng)度軟化系數(shù)的本構(gòu)模型，即式(21)：

(21)

(22)

ε2—混凝土主壓應(yīng)變；

ε0—混凝土單軸受壓峰值壓應(yīng)變，一般取為-0.002。

6.2混凝土受拉本構(gòu)關(guān)系

混凝土在開裂前，眾多學(xué)者認(rèn)為其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，基本滿足線彈性關(guān)系，這一觀點(diǎn)得到了大多數(shù)學(xué)者的認(rèn)可。但在混凝土開裂后，由于其破壞機(jī)理的復(fù)雜性，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系發(fā)生了較大的變化，因此，人們的觀點(diǎn)分歧較大。對于普通混凝土的本構(gòu)關(guān)系，1986年Vecchio和Collins也給出了建議公式，如式(23)-(24)所示。式中：f1為主拉應(yīng)力，Ec為混凝土的彈性模量，fcr為混凝土開裂應(yīng)力，ε1為主拉應(yīng)力。

混凝土應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系：

混凝土開裂前，其基本滿足線彈性關(guān)系：

f1=Ecε1ε1≤εcr

(23)

混凝土開裂后，其滿足如下的關(guān)系式：

(24)

將上式(22)-(23)進(jìn)行繪制，可以畫出如圖7所示的本構(gòu)關(guān)系圖。由圖7可以看出，混凝土在開裂前滿足線彈性規(guī)律；當(dāng)混凝土開裂后，裂縫處的混凝土拉應(yīng)力為0，裂縫間的混凝土仍然存在殘余應(yīng)力，但總體而言主拉應(yīng)力呈下降趨勢。

圖7 混凝土主拉應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

6.3鋼筋的本構(gòu)關(guān)系

一般混凝土梁受剪破壞時(shí)縱筋與箍筋的應(yīng)變均未進(jìn)入強(qiáng)化階段。因此，在該理論計(jì)算中，鋼筋的本構(gòu)模型均采用二折線模型，如圖8所示。

圖8 鋼筋應(yīng)力-應(yīng)變曲線

7彎剪作用下混凝土梁的截面分析

7.1純彎作用下混凝土梁的截面分析

以上描述的算法一般適用于試驗(yàn)梁在純剪應(yīng)力狀態(tài)，但多數(shù)梁在集中荷載作用下會同時(shí)受到剪力和彎矩共同的作用，因此構(gòu)件破壞機(jī)理較為復(fù)雜。為了準(zhǔn)確分析混凝土梁的受剪變形響應(yīng)，故也需考慮梁在純彎下的力學(xué)性能，將梁截面彎矩效應(yīng)疊加至純剪作用下的截面分析中，來分析梁的力學(xué)性能，梁純彎作用下截面分析可簡化為圖9所示。

圖9 純彎作用下混凝土截面分析簡圖

圖9給出了混凝土梁在純彎作用下截面的應(yīng)力與應(yīng)變分布情況以及計(jì)算分析示意圖。由圖9(d)可計(jì)算出受壓區(qū)混凝土壓力：

(25)

受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力可采用下式進(jìn)行計(jì)算：

(26)

將式(25)與式(26)聯(lián)立求解，可得：

(27)

受壓區(qū)混凝土合力點(diǎn)至截面中性軸的距離為：

(28)

將混凝土受壓本構(gòu)模型及截面寬度帶入式

(28)即可求得：

(29)

根據(jù)圖9(b)可求得混凝土受壓區(qū)高度和拉壓鋼筋應(yīng)變，即：

(30)

(31)

(32)

則可相應(yīng)地求出底部縱筋拉力Ts和上部縱筋壓力Fs：

Ts=EsεsAsEsεs≤fy

(33)

(34)

根據(jù)圖9(e)對底部受拉縱筋取矩，可得：

(35)

而截面軸向合力為：

Np=Ts-Fs-Fc

(36)

對梁進(jìn)行純彎作用下的截面分析時(shí)，為使截面縱向受力平衡，則需滿足，若不滿足應(yīng)重新假設(shè)受壓區(qū)混凝土最大壓應(yīng)變，直至縱向軸力為零。

7.2彎剪共同作用下混凝土梁的截面分析

為了準(zhǔn)確描述梁在彎剪復(fù)合作用下的截面變形響應(yīng)，Vecchio和Collins[1]提出了截面分層分析法，但計(jì)算步驟復(fù)雜且效率較低。因此，在截面分層分析法的基礎(chǔ)上提出了簡化分析法(如圖10所示)，并做了以下兩點(diǎn)改進(jìn)：①剪力發(fā)生重分布后，仍認(rèn)為剪力均勻分布在截面上；②應(yīng)變沿高度方向的變化滿足平截面假定，將某一高度上的縱向應(yīng)變作為基本參數(shù)，且斜裂縫與水平面傾角沿梁高不變。縱向應(yīng)變的取值位置對該方法的分析結(jié)果具有一定的影響，一般選取截面高度二分之一處的，作為彎矩共同作用下的取值。

圖10 簡化分析法

混凝土梁在彎剪復(fù)合作用下的總軸力可視為兩者單獨(dú)引起的軸力疊加，即：

N=Np+Ny

(37)

其中Ny=Vcotθ-f1bjd

根據(jù)在彎、剪復(fù)合力作用下的上述梁受力分析，編寫梁的抗剪承載力計(jì)算程序，具體如下：

(1)給出混凝土主拉應(yīng)變值ε1(令初值為0)；

(2)給出傾角值θ(初始可設(shè)為20°)；

(3)由公式(15)、(16)和(17)計(jì)算ω；

(4)給定箍筋應(yīng)力fsy1，無腹筋梁略過此步；

(5)由公式(14)及受拉本構(gòu)模型公式(23)、(24)求得f1，對比式(38)求得f1，兩者取最小值，作為下一步驟的計(jì)算參數(shù)f1；

f1=vcimaxtanθ

(38)

(6)由公式(12)計(jì)算剪力，而無腹筋梁按下式計(jì)算；

V=f1bjdcotθ

(39)

(7)由公式(10)計(jì)算主壓應(yīng)力f2；

(8)由公式(19)可得混凝土主壓應(yīng)力最大值f2max；對比f2max和f2值，當(dāng)f2>f2max時(shí)，混凝土被壓碎，結(jié)束程序，反之則繼續(xù)下一步；

(9)由公式(19)、(21)計(jì)算主壓應(yīng)變ω2；

(10)由公式(3)、(5)計(jì)算ωx和ωy；

(40)

(41)

(11)計(jì)算箍筋應(yīng)力fsy=Esεsy≤fyv，若fsy>fyv，則取fsy=fyv，無腹筋梁略過此步和下一步；

(12)判斷fsy值是否與步驟(4)中fsy1值相等，如果不等，返回步驟(4)重新選取fsy1；

(13)計(jì)算截面彎矩；

M=Va

(42)

(14)設(shè)梁頂部混凝土壓應(yīng)變ε(給定初始值為0)；

(15)以假定的ε1值代入公式(27)、(29)和(30)分別求得a1β1、β1及xc，并由公式(35)計(jì)算截面彎矩；

(16)判斷Ms是否與M相等，若不等，則返回步驟(14)重新選取ε1，直至Ms=M；

(17)由公式(36)和(37)計(jì)算截面總軸力N；

(18)檢查N值與梁軸向力是否滿足近似相等，如果不滿足，重新返回(2)另取傾角θ值，繼續(xù)迭代計(jì)算，直到滿足條件。

8理論算法驗(yàn)證

以上計(jì)算步驟可用Matlab語言編寫相應(yīng)計(jì)算程序進(jìn)行求解，為檢驗(yàn)修正壓力場理論對求解試驗(yàn)梁抗剪承載力步驟的可行性及編寫的代碼的準(zhǔn)確性，選用了文獻(xiàn)中5根鋼筋混凝土試驗(yàn)梁試驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行理論算法的驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果具體如表1所示，其中Vex為試驗(yàn)值，MCFT為理論計(jì)算值。

表1 MCFT理論計(jì)算值與文獻(xiàn)值對比

由表1可以看出MCFT計(jì)算值與試驗(yàn)值比值均值為1.110，均方差為0.110，變異系數(shù)為0.100，說明理論計(jì)算值與試驗(yàn)值二者吻合性良好。上述修正壓力場理論可用于鋼筋混凝土受彎構(gòu)件抗剪承載力的計(jì)算。

9結(jié)論

(1)文章從修正壓力場理論的基本假定、應(yīng)變協(xié)調(diào)、應(yīng)力平衡、本構(gòu)關(guān)系等方面詳細(xì)介紹了修正壓力場理論對鋼筋混凝土受彎構(gòu)件抗剪承載力的計(jì)算方法。并以此為基礎(chǔ)，給出了修正壓力場理論實(shí)現(xiàn)的程序計(jì)算步驟，再以如上計(jì)算步驟編寫了相應(yīng)的計(jì)算程序以驗(yàn)證理論的可行性。

(2)利用文章編寫的計(jì)算程序?qū)?根試驗(yàn)梁進(jìn)行公式的驗(yàn)證，結(jié)果表明計(jì)算值與試驗(yàn)兩者吻合較好。這說明修正壓力場理論算法可以較準(zhǔn)確地預(yù)測混凝土梁的斜截面抗剪承載力。