張 奧，姜 宏，章翔峰

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)上應(yīng)用較為廣泛的一些機(jī)械設(shè)備，其中齒輪傳動(dòng)是機(jī)械設(shè)備中最常見(jiàn)的傳動(dòng)方式之一。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，針對(duì)齒輪的診斷方法已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，其中具有豐富小波基的小波變換（Wavelet Transform，WT）是一種非常經(jīng)典的時(shí)頻局部化分析方法，它不僅非常適用于非平穩(wěn)的齒輪信號(hào)，而且能有效提高齒輪振動(dòng)信號(hào)的信噪比及頻率特征的識(shí)別，所以小波變換從發(fā)展至今在故障診斷領(lǐng)域中一直受到廣大研究學(xué)者的青睞[1-2]。

傳統(tǒng)小波變換方案對(duì)普通信號(hào)進(jìn)行除噪可以較完整的保存有用信號(hào)中的頻率分量，且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)象信號(hào)的多尺度細(xì)化分析[3]，將信號(hào)聚焦到所需要的特征信號(hào)上，對(duì)該信號(hào)中的細(xì)節(jié)信息進(jìn)行檢測(cè)，并實(shí)現(xiàn)故障齒輪的準(zhǔn)確判定。但因用于小波變換的小波基種類(lèi)多樣，且各小波基表現(xiàn)的特性有所不同，對(duì)于振動(dòng)信號(hào)復(fù)雜的齒輪箱，其運(yùn)行狀態(tài)信息基本蘊(yùn)含在低頻信號(hào)[4]（即去噪后的齒輪箱信號(hào)）中，而表征齒輪箱故障狀態(tài)的細(xì)節(jié)信息則蘊(yùn)含于高頻信號(hào)。因此，針對(duì)復(fù)雜的齒輪系統(tǒng)選擇最優(yōu)小波基更好的獲取振動(dòng)特征信號(hào)[5]就顯得尤為重要。

在研究過(guò)程中通過(guò)選取適用處理齒輪振動(dòng)信號(hào)的小波基，采用對(duì)復(fù)雜齒輪箱振動(dòng)信號(hào)有良好降噪效果的Stein 無(wú)偏似然估計(jì)閾值[6]，利用小波變換將分解后的信號(hào)重構(gòu)出高頻和低頻部分，采用均方根差作為除噪效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)小波基進(jìn)行優(yōu)化，并利用該小波基進(jìn)行低頻信號(hào)的降噪和高頻信號(hào)細(xì)節(jié)特征分析，經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，最優(yōu)小波基不僅提高了齒輪箱低頻信號(hào)的信噪比及表征其運(yùn)行狀態(tài)頻率的準(zhǔn)確率，同時(shí)也對(duì)高頻信號(hào)細(xì)節(jié)特征提取效果的提高具有明顯的優(yōu)勢(shì)，有效提高了對(duì)齒輪箱故障的診斷能力。

2 小波理論及降噪原理

2.1 小波理論[2]

小波變換繼承STFT 對(duì)信號(hào)進(jìn)行局部特征分析的特性，并采用隨時(shí)間變化可縮放的小波基函數(shù)（Haar 小波、db 系列小波、Morlet 小波、Coiflet 系列小波、Mexican Hat 小波等）窗口，經(jīng)過(guò)高頻或低頻濾波對(duì)低頻信號(hào)進(jìn)行多層分解，如圖1、圖2 所示（其中A 表示低頻，D 表示高頻）。獲取故障信號(hào)的變化趨勢(shì)及其變化特征，彌補(bǔ)了STFT 局部信號(hào)分辨率低，窗函數(shù)局限性大的問(wèn)題。

圖1 小波分解原理Fig.1 The Principle of Wavelet Decomposition

圖2 小波分解流程圖Fig.2 Flow Chart of Wavelet Decomposition

對(duì)于小波變換，給定一個(gè)基本函數(shù)，令：

其中 a，b 均為常數(shù)且 a>0。從式（1）可知，ψa，b（t）是基本函數(shù)ψ（t）先進(jìn)行平行移動(dòng)而后伸縮得到的。若a 和b 的值持續(xù)發(fā)生變化，便能得到一族函數(shù) ψa，b（t）。此處將 x（t）定為平方可積的信號(hào)，即x（t）∈L2（R），那么x（t）的小波變換定義為：

根據(jù)需求合理調(diào)整小波基函數(shù)a，b 參數(shù)值，不僅能有效改善小波變換窗口的自適應(yīng)性，同時(shí)也極大提高了低頻局部頻域和高頻局部時(shí)域特征的分辨率。正是這一特性，為齒輪箱振動(dòng)特征信號(hào)的準(zhǔn)確識(shí)別提供了保障。

2.2 小波降噪原理

若對(duì)象信號(hào)f（t）經(jīng)過(guò)噪聲污染后成為信號(hào)S（t），根據(jù)這一變化過(guò)程，則該信號(hào)的噪聲污染基本模型便能建立成[7]：

式中：σ—噪聲強(qiáng)度；

r（t）—噪聲。

通常情況下，對(duì)信號(hào)進(jìn)行除噪過(guò)程中，應(yīng)確保除噪前后的信號(hào)的光滑性應(yīng)該基本保持不變，抑制σr（t）將S（t）恢復(fù)到盡可能近似f（t）的狀態(tài)，這也就是我們想要通過(guò)小波變換來(lái)達(dá)到的最佳理想效果。然而由于小波基的選擇不當(dāng)，往往會(huì)嚴(yán)重影響除噪后信號(hào)的光滑性，最終導(dǎo)致故障特征湮沒(méi)于噪聲中無(wú)法診斷。為了衡量降噪前后信號(hào)的相似程度，評(píng)價(jià)小波基的選擇是否得當(dāng)，我們采用了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

（1）信號(hào)S（i）除噪前后均方根誤差的表達(dá)式為：

（2）采用常規(guī)衡量標(biāo)準(zhǔn)，即信號(hào)S（i）除噪后的信噪比，其表達(dá)式為：

式中：S（i）—原信號(hào)；

S′（i）—除噪后的信號(hào)。

3 小波基優(yōu)化理論

由于小波基的多樣性在于不同小波基表現(xiàn)出來(lái)的特性有所不同，因此，對(duì)于不同的分析對(duì)象，只有根據(jù)其特性選擇合適的小波基才能獲得所需特征信息。對(duì)齒輪振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波變換時(shí)，需要提高信號(hào)的信噪比以及高頻細(xì)節(jié)，則具有正交性、對(duì)稱(chēng)性、緊支性和平滑性的小波基就成為首選對(duì)象。通過(guò)對(duì)Haar 小波、db系列小波、sym 小波、Coiflet 小波等常用小波的特性進(jìn)行對(duì)比分析，并考慮了連續(xù)小波變換在信號(hào)去噪過(guò)程中的冗余變換會(huì)增加其結(jié)果分析的難度。因此，筆者選用了三種常見(jiàn)的離散小波系列，即：db 小波系列，Sym 小波系列和Coiflet 小波系列。

4 小波基除噪效果的對(duì)比分析

通過(guò)小波變換對(duì)加入σ 強(qiáng)度高斯白噪聲的齒輪箱仿真信號(hào)進(jìn)行處理，并將重構(gòu)的低頻信號(hào)與原信號(hào)的均方根誤差以及除噪后信號(hào)的信噪比進(jìn)行對(duì)比分析，選取最優(yōu)小波基，其結(jié)果，如表1所示。

齒輪箱實(shí)際振動(dòng)信號(hào)仿真模型為[8]：

由于信號(hào)的信噪比越高，原始信號(hào)與去噪后信號(hào)的均方根誤差越小，則消噪后的信號(hào)越接近原始信號(hào)，去噪效果就越好。通過(guò)分析圖3 去噪效果曲線，可以觀察出，在采用Stein 無(wú)偏似然估計(jì)閾值的條件下，coif 5 小波基在小波變換中具有明顯的去噪優(yōu)勢(shì)。通過(guò)采用coif5 小波基對(duì)齒輪箱仿真信號(hào)進(jìn)行小波變換，很大程度上降低了噪聲干擾。

表1 不同小波基的去噪效果對(duì)比Tab.1 Comparison of De-Noising Effects of Different Wavelet Bases

表2 變頻器顯示轉(zhuǎn)速為600r/min 時(shí)各轉(zhuǎn)軸的相關(guān)參數(shù)Tab.2 The Relevant Parameters of the Rotating Shaft when the Frequency Converter Shows the Speed in 600r/min

圖3 不同小波基的去噪效果曲線Fig.3 The Denoising Effect Curve of Different Small Wave Bases

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用了北京工業(yè)大學(xué)齒輪箱實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其齒輪箱位置，如圖4 所示。其中齒輪箱內(nèi)由兩對(duì)齒輪嚙合構(gòu)成由低速至高速的二級(jí)加速裝置，其中低速軸上的Z1齒數(shù)為80，中間軸上的Z2、的齒數(shù)分別為19、80，高速軸上的Z3齒數(shù)為17，在高速軸上的齒輪設(shè)有斷齒故障，傳感器所采集的數(shù)據(jù)為高速軸徑向方向的加速度。采樣頻率為10000Hz，變頻器顯示轉(zhuǎn)速600r/min，齒輪的故障特征頻率為4.95Hz，其各轉(zhuǎn)軸相關(guān)參數(shù)，如表2 所示。

圖4 試驗(yàn)臺(tái)系統(tǒng)圖Fig.4 System Diagram of Test Platform

采用最優(yōu)小波基coif5 對(duì)斷齒齒輪箱振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行小波變換，重構(gòu)出低頻信號(hào)和高頻信號(hào)，其中，重構(gòu)的低頻信號(hào)有效降低了齒輪箱噪聲信號(hào)，如圖5 所示。未經(jīng)小波去噪處理的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，如圖6（a）所示。頻譜圖中齒輪的故障頻率為6.612Hz，嚙頻一倍頻、二倍頻、三倍頻分別為112.8Hz、225.6Hz、338.4Hz，與實(shí)際的轉(zhuǎn)頻、嚙頻值不相符；而經(jīng)過(guò)以coif5 為小波基的小波除噪后的低頻信號(hào)的頻譜圖，如圖6（b）中的高速軸的故障頻率為4.985Hz，嚙頻一倍頻、二倍頻、三倍頻分別為 84.59Hz、169.2Hz、253.8 Hz，與實(shí)際的轉(zhuǎn)頻、嚙頻以及嚙頻的倍頻基本符合，不僅使齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的信噪比得到顯著提高，也表明低頻信號(hào)中蘊(yùn)含豐富的齒輪振動(dòng)信號(hào)，在小波基coif5 下進(jìn)行小波變換，能精確表征齒輪箱的運(yùn)行狀態(tài)信息。

圖5 去噪前后斷齒齒輪箱振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形Fig.5 The Waveform of Gear Broken Gearbox Before and After Denoising

圖6 去噪前后齒輪箱振動(dòng)信號(hào)幅值譜Fig.6 The Amplitude Spectrum of Gearbox Before and After Denoising

圖7 齒輪箱高頻振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)譜Fig.7 High Frequency Envelope Spectruml of Gearbox

齒輪箱在運(yùn)行過(guò)程中，各零部件的特征運(yùn)動(dòng)頻率對(duì)齒輪振動(dòng)頻率產(chǎn)生的調(diào)制現(xiàn)象，會(huì)在齒輪嚙頻和各階固有頻率及其諧波周?chē)a(chǎn)生邊頻帶，這些邊頻帶中包含著豐富的齒輪狀態(tài)信息[9-10]，可以為齒輪箱故障源的尋找提供依據(jù)。為了更好的獲取這些細(xì)節(jié)信息，采用Hilbert 變化對(duì)高頻振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制處理，對(duì)圖7（a）中正常齒輪箱高頻信號(hào)包絡(luò)譜分析可知，經(jīng)Hilbert 調(diào)制后的正常齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，其轉(zhuǎn)頻和嚙頻的倍頻特征清晰明了，且轉(zhuǎn)頻周邊存在少許4.993Hz 為間隔的邊頻帶，嚙頻倍頻周邊則沒(méi)有任何邊頻帶，該頻帶正符合正常的齒輪振動(dòng)信號(hào)特征。而圖7（b）中斷齒高頻振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)譜，轉(zhuǎn)頻和嚙頻倍頻不僅幅值有明顯增高，而且在這些特征周邊分布著4.985Hz 間隔的邊頻帶，邊頻帶寬且高，該故障信號(hào)細(xì)節(jié)特征剛好符合斷齒頻譜邊頻帶特征。

6 結(jié)論

通過(guò)以上分析結(jié)果可知，選取最優(yōu)小波基coif5 進(jìn)行小波變換，其重構(gòu)的低頻信號(hào)有效提高了齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的信噪比及表征運(yùn)行狀態(tài)的頻率特征的準(zhǔn)確率。而重構(gòu)的高頻信號(hào)經(jīng)過(guò)Hilbert 調(diào)制，能夠清楚地看出齒輪斷齒前后的轉(zhuǎn)頻及嚙頻的倍頻周邊的邊頻帶的變化，為齒輪箱故障的診斷提供了技術(shù)保障。經(jīng)驗(yàn)證，小波基最優(yōu)化的應(yīng)用不僅提高了小波變換處理信號(hào)的性能，也為其廣泛的工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)。