王 鵬

(江蘇省徐州市銅山區(qū)鄭集鎮(zhèn)鄭集高級中學 221143)

函數(shù)是高中階段數(shù)學知識的一項重要板塊，在生活形態(tài)中屬于量與量之間的變換，能夠為其它知識學習提供向?qū)ё饔?為此，利用函數(shù)思想優(yōu)化學生解題過程，提高解題能力，不僅是實現(xiàn)函數(shù)思想滲透的一種關鍵途徑，更是高中數(shù)學教學的一大特色與魅力.

一、函數(shù)思想相關分析

函數(shù)是數(shù)學的基本概念，是函數(shù)思想發(fā)展的基礎.因此，教師在應用函數(shù)思想輔助解題時，必須充分了解函數(shù)有關定義及性質(zhì)，具體包括周期函數(shù)、單調(diào)遞增/遞減函數(shù)、奇/偶函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)(如圖1)、對數(shù)函數(shù)(如圖2)等，在此基礎上體會函數(shù)思想.

在高中數(shù)學中，許多知識中都體現(xiàn)了函數(shù)思想，包括方程、不等式、線性規(guī)劃、隨機變量、算法等，可謂是無處不在.在解題教學中，教師要注重分析不同知識與函數(shù)之間的關系，尋求函數(shù)思想運用的切入點.

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學解題中的運用過程

1.引用函數(shù)單調(diào)性，求解不等式問題

函數(shù)與不等式屬于兩個性質(zhì)完全不同的知識結構，在高中數(shù)學教學中，它們卻有著密切的聯(lián)系.不等式性質(zhì)很大程度上反映了函數(shù)單調(diào)性.因此，在解題教學中，教師可以利用函數(shù)思想引導學生用函數(shù)的觀點審視不等式，更好地把握不等式本質(zhì)特征.為此，在筆者看來，不等式中最值與恒成立問題是函數(shù)思想滲透的切入點.相關例題如下：

例1對任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范圍.

2.引入函數(shù)解析式，求解數(shù)列問題

高中階段學習的等比、等差數(shù)列本就是一類自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，與函數(shù)思想有著密切的聯(lián)系，不同的數(shù)列問題中無形中會隱藏著函數(shù)的某種特征.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問題也是歷年高考中的重點考題.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問題的途徑有很多，比如求解等差數(shù)列前n項和的最值問題時，可以將Sn看做關于n的二次函數(shù)，運用配方法，引入函數(shù)單調(diào)性知識解決問題.為了從“形”上幫助學生充分認識函數(shù)思想與數(shù)列知識之間的關系，本節(jié)以函數(shù)解析式的運用為例，分析相關數(shù)列問題的求解.

例2已知a1=1,a2=a3=a4=0,求數(shù)列{an}的通項公式.

3.引入函數(shù)與方程聯(lián)系，求解零點問題

函數(shù)思想是處理“數(shù)學型”問題的一種思維方法，描述的是現(xiàn)實生活中數(shù)量之間的變化關系.在問題解決中，從實際情境中建立對應函數(shù)模型，運用函數(shù)基本知識，實現(xiàn)問題的解決.方程類知識在教學中也孕育了函數(shù)思想，它的本質(zhì)在于研究問題在運動中的等價關系，一般情況下習慣首先明確給出的未知量與已知量之間關系，通過構建方程或方程組，由未知量推導出已知量.雖然兩者看起來本質(zhì)不同，但在實際操作中常?；ハ酀B透，函數(shù)間的關系與方程之間可以互相轉換.

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R)，討論函數(shù)f(x)的零點情況.

通過審題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f(x)并不是所熟悉的函數(shù)模型，解析式包括對數(shù)、冪函數(shù)，此時需要首先確定函數(shù)定義域x∈(0,+).接下來引導學生對原函數(shù)進行變形，變?yōu)閒(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R)，同時用g(x)表示“l(fā)nx-ax-1”，二次變形為f(x)=xg(x).因為x≠0，因此對函數(shù)f(x)零點的討論可以轉為對函數(shù)g(x)零點情況的討論.解題過程進行到這一步時，引入函數(shù)思想中與方程之間的聯(lián)系，將對g(x)零點的討論等價轉化為討論方程lnx-ax-1=0的根的情況.但方程仍然不是我們熟悉的方程，此時可以重新從函數(shù)角度進行審視，將方程轉化為的形式，求解與y=a交點橫坐標，從而得出原函數(shù)f(x)的零點情況.

綜上所述，函數(shù)思想在高中解題過程中的運用，不僅展現(xiàn)了函數(shù)知識與其它板塊知識之間的聯(lián)系，還為解題提供了新思路，有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，提高解題能力.為此教師要重視函數(shù)思想的滲透，優(yōu)化解題過程.