張美黎，劉桂敏，呂洪斌

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

非負(fù)矩陣在數(shù)值分析、概率統(tǒng)計(jì)、組合分析、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、運(yùn)籌學(xué)等方面發(fā)揮著重要作用，作為非負(fù)矩陣?yán)碚摰慕?jīng)典內(nèi)容，其最大特征值的估計(jì)和計(jì)算在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-4].關(guān)于非負(fù)矩陣最大特征值的計(jì)算有很多精典結(jié)果，如冪法[5]、對(duì)角迭代算法[6-8]以及基于C-W函數(shù)的算法[9-10]等.本文在考慮矩陣的正對(duì)角相似變換下研究非負(fù)矩陣最大特征值的計(jì)算.

定義1[1，4]設(shè)A=(aij)∈n×n，若存在置換矩陣P使得

其中，A11為r階方陣(1≤r≤n-1)，A22為n-r階方陣，則稱A為可約矩陣，否則稱A為不可約矩陣.

關(guān)于非負(fù)矩陣的譜性質(zhì)有如下結(jié)果：

關(guān)于非負(fù)矩陣最大特征值的上下界有如下結(jié)果：

1 算法構(gòu)造

下面我們利用矩陣的對(duì)角相似變換構(gòu)造迭代矩陣序列.

在上述迭代矩陣序列下，我們有如下算法：

算法1

步1.計(jì)算

2 算法收斂性

對(duì)于算法1我們有：

(1)

(2)

容易證明：

由引理2和式(1)、(2)，有

由于A是不可約的，所以A的有向圖Γ(A)是強(qiáng)連通的[1]，?k∈+，A和A(k)具有相同的零元模式，所以Γ(A(k))是強(qiáng)連通的.

(3)

從式(3)，有

……類似地有

…

…

從而，對(duì)于?k∈+，有

對(duì)于算法1收斂，但A是可約矩陣.

下面討論非負(fù)不可約矩陣的Perron向量的數(shù)值算法.

即

故有

3 算法分析

算法2

步1.計(jì)算

如果αk<ε轉(zhuǎn)步3，否則

下面應(yīng)用MATLAB通過具體例子分析算法2.

例1

應(yīng)用本文算法2、文獻(xiàn)[7]中的算法，計(jì)算矩陣A的最大特征值ρ(A).表1給出了本文算法2和文獻(xiàn)[7]算法的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

表1 不同算法計(jì)算矩陣A的最大特征值迭代次數(shù)比較

由例1可知，算法2的迭代次數(shù)少于文獻(xiàn)[7]中算法的迭代次數(shù)，且算法2更具有一般性，參數(shù)的選擇方便，在迭代每步引入一個(gè)適合的變參數(shù)，可減少迭代次數(shù)，提高計(jì)算效率.