康繼芝， 張士峰， 胡鋮

(國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073)

助推段主要在大氣層中，氣動(dòng)力是主要作用力之一。精確地計(jì)算火箭受到的氣動(dòng)力，對(duì)提高火箭制導(dǎo)精度至關(guān)重要。由于氣動(dòng)環(huán)境的復(fù)雜多變，很難直接建立氣動(dòng)力精確計(jì)算模型。目前使用的解決辦法是針對(duì)特定型號(hào)火箭外型，結(jié)合空氣動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算和風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)校正，給出計(jì)算氣動(dòng)力所需的圖表、曲線等[1]。工程上，通常提供氣動(dòng)力系數(shù)的曲線或插值表，以此來計(jì)算火箭飛行過程中的氣動(dòng)力。但是實(shí)際飛行過程氣動(dòng)環(huán)境復(fù)雜，標(biāo)準(zhǔn)氣動(dòng)參數(shù)與實(shí)際參數(shù)存在偏差。這種偏差在制導(dǎo)過程中如果沒有處理，一定程度上會(huì)影響制導(dǎo)精度，最終增大終端誤差。因此，利用辨識(shí)算法對(duì)氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)在線辨識(shí)，并將辨識(shí)結(jié)果用于修正制導(dǎo)指令，對(duì)于提高火箭的制導(dǎo)精度有一定研究意義。

攝動(dòng)制導(dǎo)方法要求在射前計(jì)算參考彈道并裝載，在飛行過程中將實(shí)際彈道參數(shù)與參考彈道的偏離量視為小擾動(dòng)量，再基于攝動(dòng)理論計(jì)算制導(dǎo)指令，使真實(shí)彈道始終保持在標(biāo)準(zhǔn)彈道附近[2]。由于運(yùn)動(dòng)參數(shù)具有可觀測(cè)性，攝動(dòng)制導(dǎo)一般選擇運(yùn)動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)(如位置坐標(biāo)、速度分量、角度值等)作為偏差量來計(jì)算制導(dǎo)指令。但是火箭真實(shí)飛行過程中的參數(shù)偏差量遠(yuǎn)不止這些運(yùn)動(dòng)參數(shù)[1]。本文擬將辨識(shí)得到的氣動(dòng)系數(shù)偏差量視為小擾動(dòng)量，對(duì)傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)方法進(jìn)行改進(jìn)，提高制導(dǎo)精度。

現(xiàn)有的參數(shù)估計(jì)方法包括遞推最小二乘法、遞推極大似然法、Wiener濾波和Kalman濾波等，其中Kalman濾波是處理隨機(jī)估計(jì)應(yīng)用最廣泛的方法[3]。為擴(kuò)展適用范圍，Kalman濾波出現(xiàn)了多種改進(jìn)形式，包括擴(kuò)展Kalman濾波、無跡Kalman濾波[4-5]、UD分解濾波[6]等。在飛行器氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)上，文獻(xiàn)[7-8]分別應(yīng)用了具有指數(shù)遺忘的最小二乘法和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法分別對(duì)滑翔飛行器和旋翼飛行器進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，達(dá)到較好效果。文獻(xiàn)[9-12]研究了擴(kuò)展Kalman濾波器在飛行器氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)上的應(yīng)用，使得擴(kuò)展Kalman濾波方法得到了廣泛應(yīng)用。本文將基于文獻(xiàn)[9]中的基本思想，構(gòu)建氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)模型，用于修正火箭助推段攝動(dòng)制導(dǎo)指令，提高末端精度。

1 動(dòng)力學(xué)模型與攝動(dòng)制導(dǎo)

1.1 火箭助推段動(dòng)力學(xué)模型

為了便于后續(xù)辨識(shí)系統(tǒng)方程的推導(dǎo)，本文擬引入速度坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程[13]。由于火箭助推段飛行時(shí)間較短，可假設(shè)地球?yàn)椴恍D(zhuǎn)均質(zhì)圓球；并假設(shè)火箭為對(duì)稱圓柱體形狀，不考慮傾側(cè)角控制。故在速度坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)化為：

(1)

式中：v表示速度大??；Pe表示軸向推力大??；α為攻角；β為側(cè)滑角；ρ為大氣密度；Sm為火箭參考面積；CD、CL為阻力系數(shù)和升力系數(shù)；θ為速度傾角；Re為地球平均半徑；h為飛行高度；m為火箭質(zhì)量。CD、CL均由標(biāo)準(zhǔn)值與擾動(dòng)量組成：

(2)

式中：CDd、CLd分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)的擾動(dòng)量，該擾動(dòng)量正是本文中要辨識(shí)的參量。

1.2 攝動(dòng)制導(dǎo)模型

攝動(dòng)制導(dǎo)的目的是將火箭的實(shí)際飛行軌跡保持在標(biāo)準(zhǔn)彈道附近。在實(shí)際飛行過程中，導(dǎo)航系統(tǒng)計(jì)算得到火箭實(shí)際位置，制導(dǎo)系統(tǒng)將其與存儲(chǔ)在箭載計(jì)算機(jī)中的標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行對(duì)比，經(jīng)制導(dǎo)方程計(jì)算出制導(dǎo)指令。為便于執(zhí)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，攝動(dòng)制導(dǎo)通常分為縱向制導(dǎo)和橫向?qū)б?，本文僅考慮縱平面內(nèi)的制導(dǎo)。不考慮姿態(tài)變化的動(dòng)態(tài)過程，制導(dǎo)指令俯仰角可簡(jiǎn)化為[14]：

φ(t)=φpr(t)+uφ

(3)

式中：φpr(t)為t時(shí)刻對(duì)應(yīng)的程序俯仰角；uφ為導(dǎo)引控制量，由真實(shí)狀態(tài)和參考狀態(tài)的偏差計(jì)算得到。導(dǎo)引控制量由導(dǎo)引目標(biāo)量和導(dǎo)引系數(shù)組成，即uφ=KδXδXf。本文選擇終端速度傾角偏差δθf作為導(dǎo)引目標(biāo)量。攝動(dòng)制導(dǎo)通常選擇可測(cè)量的狀態(tài)量偏差來計(jì)算導(dǎo)引目標(biāo)量：

(4)

但是根據(jù)攝動(dòng)理論，“擾動(dòng)”定義為實(shí)際彈道飛行條件與標(biāo)準(zhǔn)彈道飛行條件之間的偏差[1]。因此，擾動(dòng)量除了起始點(diǎn)位置速度外，還包括氣溫、壓強(qiáng)、大氣密度等環(huán)境參數(shù)和質(zhì)量、秒耗量、氣動(dòng)力系數(shù)等彈道參數(shù)。本文擬將辨識(shí)得到的氣動(dòng)參數(shù)偏差作為新的小擾動(dòng)量。在不考慮氣動(dòng)參數(shù)偏差的情況下，終端速度傾角θf是速度大小v、速度傾角θ和高度h的函數(shù)，即：

θf=θf(v,θ,h)

(5)

故其攝動(dòng)方程如式(4)所示。當(dāng)考慮氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)時(shí)，式(5)可寫為：

θf=θf(v,θ,h,CD,CL)

(6)

對(duì)式(6)求微分：

(7)

式中:δCD、δCL是氣動(dòng)參數(shù)的等時(shí)偏差;在標(biāo)準(zhǔn)模型中，CD是馬赫數(shù)Ma和高度h的函數(shù)，CL是馬赫數(shù)Ma和攻角α的函數(shù)，即：

(8)

而Ma=v/a，聲速a又是高度的函數(shù)。攻角α=φpr-θ，是速度傾角θ的函數(shù)。所以在標(biāo)準(zhǔn)情況下，氣動(dòng)參數(shù)的等時(shí)偏差δCD、δCL可化為：

(9)

式中：

(10)

由式(4)可知，標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣動(dòng)參數(shù)的等時(shí)偏差可表示為速度大小、高度和速度傾角的等時(shí)偏差，將式(9)代入式(4)，得到的結(jié)果和式(4)等價(jià)。但是考慮氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)時(shí)，氣動(dòng)參數(shù)等時(shí)偏差除了來源于速度大小、高度和速度傾角等時(shí)偏差外，還來源于其他未知因素引起的氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)。結(jié)合式(9)可擴(kuò)展為：

(11)

將式(11)代入式(7)中，相同的等時(shí)偏差項(xiàng)可以合并，得：

(12)

而標(biāo)準(zhǔn)彈道的氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量均為0，所以式(12)中δCDd=CDd，δCLd=CLd。式化(12)為：

(13)

式(13)就是考慮氣動(dòng)參數(shù)偏差的攝動(dòng)方程。

2 氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)預(yù)測(cè)模型

2.1 擴(kuò)展Kalman濾波辨識(shí)模型

CDd、CLd為氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量，具有一定的隨機(jī)性，難以用精確模型進(jìn)行描述。而一階高斯馬爾可夫過程符合大多數(shù)物理過程，且數(shù)學(xué)描述較為簡(jiǎn)單。因此采用一階高斯馬爾可夫過程對(duì)氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)進(jìn)行描述[9]：

(14)

Y=h(X)+V

(15)

式中：Y為觀測(cè)量；V為觀測(cè)噪聲向量?；鸺龖T性敏感器件可以測(cè)量除地球引力外的其余力產(chǎn)生的加速度。因此觀測(cè)量選擇為軸向和法向的視加速度，即Y=[Nx,Ny]T。其中：

(16)

只考慮加速度計(jì)的隨機(jī)漂移，故ωNx、ωNy為高斯白噪聲。

擴(kuò)展Kalman濾波的基本原理如下：

1)預(yù)測(cè)方程：

(17)

式中：Qk+1為系統(tǒng)噪聲矩陣；Φk,k+1為tk到tk+1時(shí)刻的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其表達(dá)式為：

(18)

式中:F(X)為狀態(tài)方程f(X)的雅克比矩陣。

2)更新方程：

(19)

大多數(shù)的人，第一次接觸武俠，都是在很年輕的時(shí)候。這也許是因?yàn)?，年輕的人，甚至有點(diǎn)中二的人，總是血?dú)夥絼偟模谑蔷透菀资艿轿鋫b小說里那種自由、熱血、張揚(yáng)和少年意氣的影響。

2.2 限定記憶遞推最小二乘法

擴(kuò)展Kalman濾波方法能辨識(shí)出當(dāng)前時(shí)刻氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量，但是在計(jì)算下一時(shí)間段內(nèi)的制導(dǎo)指令時(shí)，需要下一時(shí)間段內(nèi)的氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量。因此，需要通過已經(jīng)辨識(shí)出來的結(jié)果對(duì)下一時(shí)間段內(nèi)的氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量具有一定的隨機(jī)性，其與其他狀態(tài)量的函數(shù)關(guān)系不明確。因此，建立擾動(dòng)量的時(shí)變多項(xiàng)式模型，再利用參數(shù)估計(jì)方法對(duì)多項(xiàng)式參數(shù)進(jìn)行估計(jì)：

(20)

參數(shù)估計(jì)方法有遞推最小二乘法、遺忘因子遞推最小二乘法、限定記憶遞推最小二乘法等[15]。遞推最小二乘法雖然算法簡(jiǎn)單，但是隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的增多，會(huì)出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，使新數(shù)據(jù)對(duì)估計(jì)結(jié)果的修正作用減弱。遺忘因子遞推最小二乘法通過對(duì)舊數(shù)據(jù)增加“遺忘因子”以減弱數(shù)據(jù)的作用，而限定記憶遞推最小二乘法通過不斷地剔除老數(shù)據(jù)，增加新數(shù)據(jù)，始終選擇固定長度的最新數(shù)據(jù)(即“數(shù)據(jù)矩形窗”)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。限定記憶遞推最小二乘法在一定程度上完全避免了數(shù)據(jù)飽和現(xiàn)象，更充分地體現(xiàn)了新數(shù)據(jù)的修正作用。但是為了保證預(yù)測(cè)結(jié)果的合理性，每次預(yù)測(cè)計(jì)算采用的數(shù)據(jù)量不能過少。本文選擇限定記憶遞推最小二乘法作為參數(shù)估計(jì)方法[16]。該方法的計(jì)算過程：

(21)

2.3 氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)模型

參數(shù)在線辨識(shí)的關(guān)鍵是實(shí)時(shí)性，即辨識(shí)結(jié)果及時(shí)應(yīng)用于下一階段的制導(dǎo)計(jì)算。但在實(shí)際飛行過程中，由于存在計(jì)算時(shí)延，辨識(shí)結(jié)果不能保持時(shí)刻更新。因此，本文考慮采用周期性迭代的方法，來實(shí)現(xiàn)在線氣動(dòng)參數(shù)實(shí)時(shí)更新：首先基于實(shí)時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)，采用擴(kuò)展Kalman濾波方法對(duì)氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)進(jìn)行辨識(shí)；然后再基于已有的辨識(shí)結(jié)果，采用限定記憶遞推最小二乘法，對(duì)下一制導(dǎo)周期的氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果用于下一制導(dǎo)周期的計(jì)算。依次循環(huán)，便構(gòu)建了“辨識(shí)—預(yù)測(cè)—計(jì)算”迭代更新的在線辨識(shí)模型，如圖1所示。

圖1 氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)在攝動(dòng)制導(dǎo)中的應(yīng)用流程Fig.1 Flow chart of the aerodynamic parameter online identification in perturbation guidance

3 仿真結(jié)果與分析

本文將通過數(shù)值仿真對(duì)以上方法進(jìn)行驗(yàn)證。仿真條件如下：對(duì)象是某型號(hào)的運(yùn)載火箭，飛行階段為起飛至一級(jí)分離，起飛方式為垂直起飛，狀態(tài)初值為：[v0,θ0,h0]=[0,π/2,0]，飛行標(biāo)準(zhǔn)程序如圖2所示。

圖2 數(shù)值仿真標(biāo)準(zhǔn)彈道程序俯仰角Fig.2 Program pitch angle in numerical simulation

3.1 擴(kuò)展Kalman濾波辨識(shí)效果

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)擴(kuò)展Kalman濾波的有效性，基于上述對(duì)象，設(shè)計(jì)算例對(duì)Kalman濾波器的辨識(shí)效果進(jìn)行驗(yàn)證。

在濾波參數(shù)設(shè)計(jì)中，假設(shè)測(cè)量噪聲僅存在隨機(jī)漂移，且保持常值：

Rk=diag(10-6,10-6)

(22)

Qk=diag(0,0,0,10-4,10-4,10-10,10-10)

(23)

系統(tǒng)狀態(tài)初值：

[v0,θ0,h0,CDd0,CLd0,ξD0,ξD0]=

[0,π/2,0,0.001,0.001,0,0]

狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣的初值為：

P0=diag(0,0,0,10-2,10-2,10-6,10-6)

(24)

分別設(shè)置擾動(dòng)量真實(shí)值為0.1、-0.1，利用本文中的擴(kuò)展Kalman濾波器進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如圖3所示。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，濾波器的收斂時(shí)間約為10 s，收斂速度較快；辨識(shí)誤差保持在10%以內(nèi)，精度較高。

圖3 擴(kuò)展Kalman濾波器辨識(shí)曲線Fig.3 The performance curves of extended Kalman filter

3.2 氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)在攝動(dòng)制導(dǎo)中的應(yīng)用

為了驗(yàn)證基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案的有效性，設(shè)計(jì)仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。分別設(shè)置多組真實(shí)擾動(dòng)值，計(jì)算傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)方案和基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案的終端狀態(tài)偏差。如表1所示。

表1 氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)下的終端狀態(tài)偏差Table 1 Deviation of terminal state under the aerodynamic parameter disturbance

對(duì)表1中的結(jié)果進(jìn)行分析，新的攝動(dòng)制導(dǎo)方案相對(duì)于傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)方案，終端速度傾角偏差和高度偏差有所降低，終端速度偏差改變不大。從能量的角度分析，氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量直接影響氣動(dòng)力的大小，進(jìn)而改變氣動(dòng)力消耗的能量大小。而終端速度直接與終端能量相關(guān)，而僅靠制導(dǎo)方法是無法完全彌補(bǔ)能量損耗的，因此新的攝動(dòng)制導(dǎo)方案對(duì)于終端速度偏差沒有明顯的改善效果。綜合以上分析，基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案相對(duì)于傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)，可以一定程度上減小終端偏差，提高制導(dǎo)精度。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證新的攝動(dòng)制導(dǎo)方案的可靠性，設(shè)計(jì)Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)。將氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)量CDd、CLd設(shè)置為隨機(jī)擾動(dòng)，均服從零值正態(tài)分布，3δ偏差CDd為0.15，CLd為0.015，進(jìn)行500次Monte Carlo打靶，結(jié)果如圖4、5所示。圖4為終端高度-終端速度傾角剖面圖，由圖可知：基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方法終端高度-速度傾角散布明顯小于傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)：終端高度散布從約2 000 m減小到約1 000 m，終端速度傾角散布從0.016°減小到0.006°。圖5為高度-時(shí)間曲線散布對(duì)比，由圖可知基于氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)的高度-時(shí)間曲線散布明顯小于傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)。綜上所述，基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案不僅能提高終端精度，還能讓真實(shí)彈道更好地保持在標(biāo)準(zhǔn)彈道附近。

圖4 Monte Carlo打靶終端狀態(tài)高度-速度傾角剖面圖Fig.4 Terminal altitude-velocity profile in Monte Carlo simulation

圖5 Monte Carlo打靶高度-時(shí)間曲線Fig.5 Altitude-velocity curves in Monte Carlo simulation

4 結(jié)論

1) 采用擴(kuò)展Kalman濾波方法進(jìn)行氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)，收斂較快，辨識(shí)精度較高；

2) 針對(duì)基于氣動(dòng)參數(shù)在線辨識(shí)的攝動(dòng)制導(dǎo)方法，設(shè)計(jì)對(duì)比仿真，發(fā)現(xiàn)該方法相對(duì)于傳統(tǒng)攝動(dòng)制導(dǎo)方法，能有效降低終端狀態(tài)偏差；并針對(duì)隨機(jī)氣動(dòng)擾動(dòng)，進(jìn)行Monte Carlo打靶仿真，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案能有效地提高彈道收斂性，使彈道更好地保持在標(biāo)準(zhǔn)彈道附近。