劉悅彤 昌平第一中學(xué)

序言：經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)是相輔相成的。數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，可以說沒有數(shù)學(xué)就沒有精確計(jì)量的經(jīng)濟(jì)學(xué)。經(jīng)濟(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)在生活中應(yīng)用的一個(gè)分支。實(shí)際上，數(shù)學(xué)對(duì)人類生活的作用是間接的，它通過和其他學(xué)科的融合對(duì)人類起指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)科的發(fā)展具有關(guān)鍵的作用，經(jīng)濟(jì)學(xué)中很多模型都依賴于數(shù)學(xué)的推導(dǎo)。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的許多理念都是由數(shù)學(xué)確立起來的，相關(guān)人員以數(shù)學(xué)語言來建構(gòu)經(jīng)濟(jì)學(xué)的概念，使得經(jīng)濟(jì)學(xué)的相關(guān)概念具有了數(shù)學(xué)特征。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中，大量的概念通過數(shù)學(xué)來定義，并且用到了函數(shù)、微積分等數(shù)學(xué)概念。人們可以利用數(shù)學(xué)這一不可或缺的工具將一些復(fù)雜的問題簡單化，可以快速、高效地解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題[1]。本文的第二部分探討經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系；第三部分從微觀與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)視角闡述三個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型。

一、經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)

（一）數(shù)學(xué)讓經(jīng)濟(jì)學(xué)更長遠(yuǎn)有利的發(fā)展

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，它研究的是數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息的一門學(xué)科[2]。它蘊(yùn)含在生活中，生活的方方面面都離不開數(shù)學(xué)，它始終貫穿于人類社會(huì)的生產(chǎn)生活中，有著不可或缺的地位。數(shù)學(xué)是一個(gè)必不可少的基本工具，指導(dǎo)我們更好的發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。給問題帶來了一個(gè)理論化的解釋，并可以加以推廣，解決同類問題，也可以上升到一個(gè)更廣泛的概念或者是數(shù)學(xué)思維，這會(huì)給我們的經(jīng)濟(jì)生活帶來一種質(zhì)的飛躍。以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的物理化學(xué)等學(xué)科，讓人類社會(huì)爆發(fā)了工業(yè)革命等技術(shù)革命，使人類在近二百年的發(fā)展成果遠(yuǎn)超人類歷史發(fā)展的總和。以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的經(jīng)濟(jì)學(xué)，讓商業(yè)、金融、借貸、貨幣等傳統(tǒng)上不知其所以然的概念有了新的詮釋，使人類認(rèn)識(shí)到了經(jīng)濟(jì)學(xué)的力量。而不是避而不談，甚至蔑視不懈。所以，數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，沒有數(shù)學(xué)，就沒有今天的經(jīng)濟(jì)學(xué)。

（二）經(jīng)濟(jì)學(xué)讓數(shù)學(xué)有了生活中的實(shí)際意義

經(jīng)濟(jì)是價(jià)值的創(chuàng)造、轉(zhuǎn)化與實(shí)現(xiàn)，生產(chǎn)是基礎(chǔ)，消費(fèi)是最終結(jié)果[3]。亞當(dāng)·斯密提出過經(jīng)濟(jì)人假設(shè)，從個(gè)人來說，會(huì)出現(xiàn)追求物質(zhì)利益的現(xiàn)象。從社會(huì)層面來說，社會(huì)同樣也為了追求社會(huì)利益，包括資源的合理配置，不同層面都會(huì)出現(xiàn)利益問題，那么在這些利益背后就是一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)上的博弈論和納什均衡等等應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)生活，使得數(shù)學(xué)學(xué)科生動(dòng)形象。

二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)問題本質(zhì)上是函數(shù)問題：函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)法則。它就是將經(jīng)濟(jì)問題更數(shù)字化的變?yōu)閿?shù)學(xué)問題。當(dāng)然，不僅可以通過數(shù)學(xué)函數(shù)來運(yùn)算，也可以轉(zhuǎn)化為圖像問題，圖像可以更清晰明了的幫助我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的規(guī)律或者最值等問題，反映更多的經(jīng)濟(jì)原理，圖像的走勢也可以來判斷經(jīng)濟(jì)的發(fā)展趨勢。

（一）帕累托原理

帕累托原理是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的模型之一，探討關(guān)于經(jīng)濟(jì)效率和收入分配的問題；納什均衡理論奠定了現(xiàn)代主流博弈理論和經(jīng)濟(jì)理論的根本基礎(chǔ)；凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)理論奠定了宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的主導(dǎo)地位。本文選擇這三個(gè)經(jīng)典的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理，從微觀到宏觀，探討經(jīng)濟(jì)學(xué)原理的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用及對(duì)這些問題的分析思考。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對(duì)于某個(gè)經(jīng)濟(jì)分配結(jié)果，如果我們已無法使某些個(gè)體的狀況變得更好的同時(shí)、而又不損害其他個(gè)體的利益，那么這個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)果是帕累托最優(yōu)的。如果沒有達(dá)到帕累托最優(yōu)，那么就存在一種新的分配方式，使得這種改進(jìn)方式從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度上，不會(huì)遭到任何人的反對(duì)，因?yàn)樗腥说膫€(gè)人利益并沒有受損。帕累托最優(yōu)就像分蛋糕，當(dāng)?shù)案獠]有變大而且已經(jīng)分完時(shí)，任何其他切分方式，不可能使得一些人的蛋糕變大，而其他人還不會(huì)變小。帕累托最優(yōu)是“不可能再增加特定人群的利益，而不損害其他人的利益”的一個(gè)平衡點(diǎn)[4]。帕累托原理是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常常用到的一個(gè)模型。在經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)和社會(huì)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。

因?yàn)榻?jīng)濟(jì)的不確定性，所以用數(shù)學(xué)中的不等式來比較最優(yōu)方法去取得最大利益。在數(shù)學(xué)上，我們假設(shè)一個(gè)可能的分配集合X中選擇一個(gè)分配x∈X，使得社會(huì)中n個(gè)參與人的效用向量u(x)=(u1(x)，u2(x)，…，un(x) )是帕累托最優(yōu)。那么，令∑iaiui(x)為各參與人在權(quán)重向量α=(α1，α2，…，αn)下的效用加權(quán)，該加權(quán)可視為一個(gè)簡單的社會(huì)福利函數(shù)。也就是說，追求的是∑iaiui(x)的最大值，同時(shí)還要保證每個(gè)人的效用向量ui(x)并不會(huì)變小。

如果分配x0∈X可以最大程度上增大某個(gè)嚴(yán)格權(quán)重(α＞0)下參與人的效用加權(quán)，那么x0就是帕累托有效的。反過來，在一定條件下，每一個(gè)帕累托最優(yōu)的分配都最大程度上增大社會(huì)參與人在某個(gè)權(quán)重下的加權(quán)效用，這種結(jié)果可以理解為對(duì)帕累托邊界的一種描述。

將效用向量加權(quán)后的值作為數(shù)學(xué)中的因變量，那么帕累托最優(yōu)解就是使用數(shù)學(xué)方法，找出一組自變量x，使得因變量的值最大。這樣的分配方式，使得整體效益最高。

運(yùn)用帕累托改進(jìn)能夠解放社會(huì)發(fā)展的束縛，優(yōu)化生產(chǎn)分配結(jié)構(gòu)，使全社會(huì)的總體效益增加。比如，在公辦醫(yī)院之外運(yùn)行私營醫(yī)院的開辦，這樣既保證了全民依然可以享受低價(jià)醫(yī)療等普惠性政策，又允許高收入者可以自由選擇服務(wù)更好的私營醫(yī)院，和收費(fèi)高一些的專家掛號(hào)。再比如，當(dāng)前某些教育資源匱乏的地區(qū)，引進(jìn)名校的課堂錄播視頻等，通過互聯(lián)網(wǎng)遠(yuǎn)程享受名校名師的優(yōu)良教育，這對(duì)名校的教育資源沒有損害，但是又同時(shí)提高了偏遠(yuǎn)地區(qū)的教育資源水平。這些就是帕累托改進(jìn)，沒有損害任何人的現(xiàn)實(shí)利益，但是改善了其他人群的狀況。

（二）納什均衡

納什均衡是一種策略的組合方式，這個(gè)組合方式體現(xiàn)的是一種重要的思維邏輯，它是數(shù)學(xué)范疇下的博弈論的靈魂，融入到了生活中的方方面面。

納什均衡中有一個(gè)典型的例子。如果有兩個(gè)盜賊甲乙共同犯罪，被警察抓住，將他們兩個(gè)分開審問，雙方都可以選擇招供或者抗拒。

圖3-1 囚徒困境

如圖3-1所示，甲有兩種選擇，乙也有兩種選擇，他們雙方的選擇組合起來，就會(huì)有不同的結(jié)果。如果甲招供，乙也招供，他們坦白從寬，雙方會(huì)被判刑四年（圖中(-4，-4)所示；前者表示甲判刑四年，后者表示乙被判刑四年，下同）。如果甲不招供乙也選擇抗拒，警察沒有完全的證據(jù)，甲乙二人就會(huì)獲得較輕的刑罰一年。如果甲乙中有一人招供，而另外一人不承認(rèn)罪行，那么不招供的那個(gè)人會(huì)被判刑5年，而招供的人不會(huì)被判刑。從甲乙雙方的立場上，他們都希望自己被輕罪處罰甚至無罪釋放，所以雙方都抵賴是對(duì)他倆整體而言最好的結(jié)果。

甲乙分開審問，互相不知道對(duì)方的供詞。如果自己抵抗而對(duì)方承認(rèn)，那么自己面臨最嚴(yán)重的刑罰被判刑5年。比如從甲的角度考慮，甲若招供，甲在乙抗拒的情況下被無罪釋放，或者在乙招供的情況判刑四年。但如果甲不招供，甲在乙抗拒的情況下被判一年，或者在乙招供的情況下判刑五年。綜合來看，不管乙如何選擇，甲選擇坦白，都是對(duì)甲最有利的方式。同理，乙也是面臨同樣的狀況。那么在沒有互信的情況下，甲乙兩個(gè)人從自己利益出發(fā)，都選擇坦白，那么他們各被判刑四年。但是實(shí)際上，兩個(gè)人若都選擇抵抗，則僅被判刑一年，這個(gè)比兩個(gè)人均獲刑四年更有利。

在沒有商量沒有互信時(shí)，兩個(gè)人做出了均獲刑四年的選擇，而不是均獲刑一年。這恰恰和他們想減輕懲罰的初衷背道而馳。所以，這個(gè)數(shù)學(xué)模型，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上又稱作囚徒困境。

這個(gè)例子也告訴我們?cè)诩{什均衡中，絕對(duì)理性人從自身利益出發(fā)，選擇對(duì)自己有利的一種選擇，但是可能并不是最優(yōu)解。從長遠(yuǎn)來看，從社會(huì)整體來看，個(gè)人的最佳選擇不一定對(duì)社會(huì)總體帶來最佳結(jié)果。

為了避免陷入囚徒困境，只需要甲乙兩個(gè)人事先溝通，增加對(duì)彼此的充分信任，設(shè)置違背承諾的處罰等，將均衡博弈引入良性方面。在經(jīng)濟(jì)生活中為了達(dá)到更加有利的均衡點(diǎn)，可以通過宏觀調(diào)控、政策引導(dǎo)、政府監(jiān)督等，將市場中的不確定性帶來的損失減小，從而帶來更多的利益，免于陷入囚徒困境。這是數(shù)學(xué)的博弈論模型給經(jīng)濟(jì)生活帶來的解決方法。

（三）凱恩斯理論

著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯，曾經(jīng)提出宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論。該理論的主要方面是研究一個(gè)國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟(jì)總量之間的關(guān)系。因?yàn)楹暧^經(jīng)濟(jì)理論常常被用來指導(dǎo)政府針對(duì)有關(guān)就業(yè)、國民收入問題做出相應(yīng)的政策，因此也被稱就業(yè)理論或收入理論。這一經(jīng)濟(jì)學(xué)理論可以簡要地用兩個(gè)數(shù)學(xué)等式來闡述：

國民收入恒等式：

消費(fèi)函數(shù)：

其中，Y表示收入，C表示消費(fèi)，I表示私人投資，G表示政府支出，參數(shù)α表示維持生存的最低消費(fèi)，參數(shù)β表示邊際消費(fèi)傾向。若我們用國民收入恒等式減去消費(fèi)函數(shù)，整理后求偏導(dǎo)，可以得到政府支出的乘數(shù)效應(yīng)（GDP的數(shù)目和政府增加公共開支數(shù)目的倍數(shù)關(guān)系）：

凱恩斯理論的基本思想可以用上述兩個(gè)或三個(gè)數(shù)學(xué)等式來表述。

從凱恩斯理論可以得出，如果財(cái)富過分集中在少數(shù)人手中，就會(huì)降低社會(huì)消費(fèi)傾向，不利于國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展。為了促進(jìn)消費(fèi)，結(jié)合我國國情及經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的狀態(tài)，我國采用適當(dāng)提高累進(jìn)個(gè)人所得稅的起征點(diǎn)，努力減少中低收入人群的個(gè)人所得稅，從而提高居民可支配收入，提高了全民的消費(fèi)意識(shí)，有利于經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。由此看來，凱恩斯理論的應(yīng)用對(duì)中國有良好的影響。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)能夠既精確又簡潔地刻畫經(jīng)濟(jì)理論中最重要的本質(zhì)。經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的是整個(gè)社會(huì)層面的現(xiàn)象，著重于提高社會(huì)整體效率，改善全人類的生活水平。運(yùn)用經(jīng)濟(jì)學(xué)的規(guī)律，可以更好的達(dá)到人類命運(yùn)共同體的美好前景。這一切使得數(shù)學(xué)不是抽象的哲學(xué)，而是實(shí)實(shí)在在從生活中來到生活中去的學(xué)科。

本文通過簡單分析帕累托最優(yōu)模型、凱恩斯理論模型、納什均衡模型，指出了數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要作用。當(dāng)然，也不能陷入對(duì)數(shù)學(xué)盲目崇拜的困境，否則會(huì)形成數(shù)學(xué)化傾向，經(jīng)濟(jì)學(xué)也將最終失去其寬厚的社會(huì)基礎(chǔ)[5]。