裴麗婭

(北京化工大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

1 引 言

自電磁感應(yīng)透明(electromagnetically induced transparency, EIT)被提出[1?3]以來(lái), 由于其在原子共振頻率處光的吸收被減小甚至消除的特性, 人們認(rèn)為利用EIT 可以增強(qiáng)四波混頻(four-wave mixing, FWM)等多波混頻的非線性過(guò)程[4?7]. 在均勻增寬系統(tǒng)中, 人們常以量子Fano 干涉解釋EIT 的物理. 而在多普勒增寬系統(tǒng)中, 我們提出[8?10]:EIT 是一個(gè)線性吸收被共振受激拉曼譜(stimulated Raman spectroscopy, SRS)修正的過(guò)程, 其透明窗口的出現(xiàn)來(lái)自于Raman 增益對(duì)線性吸收的補(bǔ)償. 在此觀點(diǎn)的基礎(chǔ)上, 本文將進(jìn)一步全新闡述在多普勒增寬L-型能級(jí)系統(tǒng)中FWM,EIT 與SRS 三者之間的本質(zhì)關(guān)系. 實(shí)際上,Raman 現(xiàn)象與FWM 總是存在很強(qiáng)的關(guān)聯(lián).Jiang 等[11]提出了一種研究Raman 增強(qiáng)非簡(jiǎn)并FWM 的相敏方法. 在熱銣蒸氣中, Zibrov 等[12]演示了光場(chǎng)對(duì)由微波場(chǎng)誘導(dǎo)和維持的原子基態(tài)塞曼相干作用從而產(chǎn)生受激Raman 散射引起的FWM 過(guò)程. 而Liu 等[13]則在基于Raman 驅(qū)動(dòng)相干的高效FWM 過(guò)程中, 實(shí)現(xiàn)和研究了多Raman 增益共振. Carrasco-Sanz 等[14]報(bào)道了通過(guò)Raman 放大增強(qiáng)的級(jí)聯(lián)FWM 產(chǎn)生參考頻率梳的研究. 另一方面, Vanholsbeeck 等[15]給出了參量FWM 影響受激Raman 增益的完整實(shí)驗(yàn)表征. Michaud 等[16]在冷原子中實(shí)現(xiàn)了Raman 增益與FWM 的干涉. 而Silva 等[17]則是從理論上分析了高雙折射光纖FWM 過(guò)程中受激Raman 散射的影響. 在前人的工作中, 也有與本文相關(guān)的研究. Romanov 等[18]通過(guò)在Rb85中實(shí)現(xiàn)Raman 吸收, 從而對(duì)Rb87中產(chǎn)生的基于EIT 的FWM 信號(hào)進(jìn)行抑制. Parniak 等[19]通過(guò)基態(tài)原子相干得到了Raman 散射與FWM 信號(hào)的強(qiáng)關(guān)聯(lián). 利用雙L-型能級(jí)系統(tǒng), Lee 等[20]實(shí)現(xiàn)了基于EIT 的共振FWM 的高轉(zhuǎn)換效率. 利用L-型EIT 系統(tǒng)進(jìn)行光存儲(chǔ)[21,22]是近年來(lái)的重要研究方向, 而光信息的一次完整寫(xiě)入和讀出可以看做是一個(gè)FWM 過(guò)程.

承接前期的工作[8], 我們來(lái)看一下建立Raman 增益的過(guò)程. 對(duì)于L-型三能級(jí)系統(tǒng), 當(dāng)兩束入射光場(chǎng)(探測(cè)光和耦合光)頻率差等于 ωR(原子兩基態(tài)能級(jí)之間的Raman 共振頻率)時(shí), 在系統(tǒng)中首先形成兩基態(tài)之間的Raman 相干; 當(dāng)此原子相干進(jìn)一步與耦合光相互作用時(shí), 就會(huì)在?1=?2處散射出anti-Stoke 光子, 這便是窄線寬Raman 增益.

Raman 散射最終如何呈現(xiàn)在光譜中, 取決于探測(cè)方式. 前期我們利用鎖相放大器對(duì)典型EIT 系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)制解調(diào), 期望濾除弱探測(cè)光的多普勒展寬吸收背景, 得到純粹的窄線寬Raman 增益信號(hào)峰, 但由耦合光帶來(lái)的泵浦效應(yīng)所形成的的吸收背景卻無(wú)法消除[9]. 為了將上述Raman 增益信號(hào)峰與泵浦吸收背底也能進(jìn)行分離, 本文設(shè)計(jì)了一個(gè)非線性過(guò)程: 首先, 介質(zhì)系統(tǒng)在探測(cè)光和耦合光這兩束光作用下形成Raman 相干, 但與其進(jìn)一步作用的是線偏振方向偏轉(zhuǎn)90o之后的耦合光, 為了區(qū)分稱其為控制光. 最終, 得到與探測(cè)光偏振分離的Raman 增益, 其經(jīng)過(guò)介質(zhì)之后相應(yīng)的新光場(chǎng)即為FWM 信號(hào). 我們將看到, 在多普勒增寬L-型能級(jí)系統(tǒng)中的FWM 過(guò)程被增強(qiáng), 在本質(zhì)上是由于Raman 共振得到滿足而非量子干涉. 同時(shí), 我們提出: FWM 與EIT 作為兩種完全不同的非線性效應(yīng), 在本質(zhì)上均來(lái)源于受激Raman 散射, 區(qū)別在于探測(cè)方式和對(duì)象的不同, 使其成為了完全不同的兩種光譜. 由于在多普勒增寬系統(tǒng)中原子速度呈高斯形式分布, 單個(gè)原子的量子特性被淡化; 在一定條件下, 不同速度原子群之間宏觀極化干涉成為了影響FWM 光譜的主要因素.

2 理 論

考慮如圖1 所示的原子能級(jí)系統(tǒng). 與之相互作用的耦合光場(chǎng)和控制光場(chǎng), 分別記為E2=ε2e?i(ω2·t?k2·r)(作 用 于 態(tài)與之 間)和E3=ε3e?i(ω3·t?k3·r)(作用于態(tài)之 間). 這里, 與不同線偏振方向的耦合光(‖)和控制光(⊥)分別相互作用的, 是兩個(gè)不同的簡(jiǎn)并激發(fā)態(tài)能級(jí), 分別記作和以便區(qū)分. 另外, 探測(cè)光場(chǎng)(‖)記為E1=ε1e?i(ω1·t?k1·r)(作用于態(tài)與或之間). 系統(tǒng)的原子躍遷頻率記為?1(i=1,2,3 ),與相應(yīng)激光場(chǎng)頻率的失諧可以記為?i=?i ?ωi(i=1,2,3 ). 圖1 中, 原 子 兩基 態(tài)能 級(jí) 之間 的Raman 共振頻率記為ωR.

圖1 85Rb 原子D1 線能級(jí)系統(tǒng)Fig. 1. D1 line energy-level diagram of 85Rb.

通過(guò)求解密度矩陣方程, 在弱探測(cè)光以及ρ00≈1,ρ22≈0 近似條件下, 得到與SRS 相關(guān)的三階密度矩陣元, 其相應(yīng)的極化強(qiáng)度如下:

這里,Gi=μiEi/?(i=1,2,3 )為光場(chǎng)與原子相互作用的耦合系數(shù), 記μi為相應(yīng)能級(jí)態(tài)之間的偶極矩陣元; 取近似Γ21≈Γ10, 用Γ10和Γ20分別表示激發(fā)態(tài)與基態(tài)、以及兩基態(tài)之間的橫向弛豫率.

如圖1 所示, 我們關(guān)注的是三個(gè)激光場(chǎng)(ω1,ω2,ω3)與原子介質(zhì)相互作用產(chǎn)生的三階非線性過(guò)程; 若其中兩個(gè)入射場(chǎng)的頻率滿足ωR=ω1?ω2時(shí),在頻率ωs處散射的信號(hào)就會(huì)被Raman 共振增強(qiáng).(1)式表示, 在兩束光(ω2,ω3)耦合下的弱光(ω1)探測(cè)系統(tǒng), 包含了四個(gè)實(shí)質(zhì)上的三階非線性路徑:

當(dāng)取ω2=ω3時(shí), 相應(yīng)于以上四個(gè)路徑產(chǎn)生的受激Raman散射光子的頻率: A)ωs=ω1?ω2+ω3, B)ωs=ω1?ω3+ω2, C)ωs=ω1?ω2+ω2和D)ωs=ω1?ω3+ω3, 均為ωs=ω1. 同時(shí), 前兩個(gè)路徑A 和B產(chǎn)生的散射光子與探測(cè)光的偏振方向相互垂直[23],從而可以利用偏振分束器進(jìn)行空間分離, 得到的是無(wú)背景的窄線寬FWM 信號(hào). 然而, 后兩個(gè)路徑C 和D 產(chǎn)生的散射光子, 因與探測(cè)光的偏振方向相同從而無(wú)法分離; 將上面的(1)式與文獻(xiàn)[8]中(10)式

進(jìn)行對(duì)比, 可以看到: 此處Raman 散射光子對(duì)探測(cè)光經(jīng)過(guò)介質(zhì)的線性吸收(形成多普勒展寬和泵浦吸收背底[9])進(jìn)行補(bǔ)償, 從而在探測(cè)光吸收譜的?1=?2處(Raman 共振增強(qiáng))看到一個(gè)窄線寬的吸收減少, 亦即前人觀察到的EIT 現(xiàn)象[24].

從(1)式可以得到與該路徑相應(yīng)的三階非線性原子極化(用極點(diǎn)形式表示):

其中

通過(guò)(3)式的三個(gè)極點(diǎn), 來(lái)看看基于Raman 相干的三階非線性過(guò)程. 首先從(2)式看出, 兩光場(chǎng)(探測(cè)光和耦合光)與原子介質(zhì)相互作用會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生基態(tài)與之間的原子Raman 相干ρ20; 當(dāng)形成的原子相干進(jìn)一步與控制光相互作用時(shí), 就會(huì)在單光子共振(?1=0, 即極點(diǎn)?1=iΓ10的實(shí)部)處放出受激Raman 散射光子, 也就是(1)式的第一部分(即路徑A)所表達(dá)的三階非線性過(guò)程. 而在建立原子相干ρ20的過(guò)程中形成的綴飾態(tài), 亦會(huì)對(duì)?1=?±(即極點(diǎn)的實(shí)部)處的受激Raman 散射光子產(chǎn)生吸收. 根據(jù)(4)式, 當(dāng)耦合光共振(?2=0 )時(shí), 系統(tǒng)的綴飾態(tài)位于處. 經(jīng)原子系統(tǒng)產(chǎn)生的FWM 信號(hào), 其線寬與系統(tǒng)的吸收系數(shù)和色散系數(shù)均有關(guān)系.

3 實(shí) 驗(yàn)

如圖1 所示, 作用于85Rb 原子D1 線 5S1/2,F=3→5P1/2, F′=2 之間的是線偏振相互垂直的耦合光場(chǎng)w2(‖)和控制光場(chǎng)w3(⊥), 需注意的是:在如圖2 所示的實(shí)驗(yàn)裝置中, 這兩個(gè)光場(chǎng)來(lái)自同一臺(tái)795 nm 半導(dǎo)體激光器DL2, 其頻率相等(ω2=ω3). 作用 于 5S1/2, F=2→5P1/2, F′=2 之間 的是水平偏振(‖)的弱探測(cè)光場(chǎng)ω1, 該光場(chǎng)來(lái)自另一臺(tái)單獨(dú)的795 nm 半導(dǎo)體激光器DL1. 三束光經(jīng)過(guò)一個(gè)偏振分束器合成一路后近似同向傳播: 其中耦合光與控制光完全重合, 與探測(cè)光在Rb 泡(長(zhǎng)度75 mm; 室溫27 ℃)中心處光斑重合然后以極小的角度分開(kāi); 三束光的光斑高斯直徑均約為1.5 mm, 其均經(jīng)過(guò)光纖以改良光斑質(zhì)量. 在這里,介質(zhì)的多普勒展寬線寬大約為510 MHz. 我們?cè)谂c探測(cè)光線偏振相互垂直的方向上檢測(cè)到了窄線寬信號(hào)光(ωs); 并且若擋住耦合光或控制光時(shí), 信號(hào)光均會(huì)消失. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中, 在介質(zhì)之前利用斬波器對(duì)激光器DL2 發(fā)出的光進(jìn)行強(qiáng)度調(diào)制. 然后, 將經(jīng)過(guò)Rb 介質(zhì)之后的探測(cè)光和產(chǎn)生的FWM 信號(hào)光分別接到鎖相放大器進(jìn)行解調(diào), 得到了高信噪比的探測(cè)光(ω1)吸收譜(多普勒展寬背底被濾除)和FWM(ωs)光譜.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖. 其中, DL1 和DL2: 半導(dǎo)體激光器;Chopper:斬 波 器; PBS:偏 振 分 束 器; PD:光 電 探 測(cè) 器;LIA: 鎖相放大器Fig. 2. Experimental setup. DL1 and DL2, diode lasers;PBS, polarizing beam splitter; PD, photodetector; LIA,lock-in amplifier.

我們分別將耦合光鎖在85Rb 的 5S1/2,F=3→5P1/2,F′=2原子躍遷線上, 即取?2=0 , 以及正失諧350 MHz 的頻率處, 即取?2=350 MHz ;掃描探測(cè)光頻率, 并始終保持其光強(qiáng)較弱I1=0.10 mW.圖3(a)和圖3(b)給出了兩種耦合光失諧大小的情況下, 測(cè)得弱探測(cè)光吸收譜(I1), 和另一個(gè)偏振方向上的FWM 信號(hào)(IS). 可以觀察到一個(gè)共同的特征: 窄線寬FWM 信號(hào)出現(xiàn)的位置(?1=?2), 也是探測(cè)光透明窗口出現(xiàn)的位置. 同時(shí), 與在耦合光共振條件下不同的是: 在耦合光失諧時(shí), 探測(cè)光有一個(gè)從窄線寬的吸收減少(透明窗口)到吸收增強(qiáng)的過(guò)渡[10]. 根據(jù)上面的理論我們知道, 這是測(cè)量手段的不同導(dǎo)致的: FWM 信號(hào)是非線性介質(zhì)系統(tǒng)產(chǎn)生的新光場(chǎng), 只有Raman 正增益可以被檢測(cè)到; 因在建立Raman 相干過(guò)程中產(chǎn)生的綴飾態(tài)而引起的Raman 損耗, 最多只能消耗相應(yīng)頻率處的散射光子, 而不能讓信號(hào)強(qiáng)度為負(fù)值.當(dāng)然, 信號(hào)從產(chǎn)生到穿出介質(zhì)其譜線必然受介質(zhì)的色散修正.

圖3 (a) 耦合光共振( ?2 =0)和(b) 耦合光失諧( ?2 =350 MHz )下的弱探測(cè)光吸收譜(黑色實(shí)線)和窄線寬FWM 信號(hào)(紅 色 實(shí) 線). (注 意: 實(shí)驗(yàn)中失 諧 條 件下的信 號(hào)較小, 這里為了看圖清楚, 圖(b)的光譜強(qiáng)度相應(yīng)地均增大到實(shí)際強(qiáng)度的2.5 倍)Fig. 3. Experimental results for the transmission intensity of the weak probe beam (black solid line) and the FWM signal with narrow linewidth (red solid line) as a function of D1: (a) D2 = 0; (b) D2 = 350 MHz. (Note that in order to see the details clearly, the spectral intensity in Fig. (b) is the result of magnification to 2.5 times the actual situation.).

從圖3 可以看出, 除了探測(cè)光掃描到共振附近的窄線寬凸起峰, 在其它頻率失諧處, FWM 光譜強(qiáng)度基本是零. 檢測(cè)到的是優(yōu)良信噪比的FWM 信號(hào). 可以想到, 如果不在探測(cè)之前放置偏振分束器,將得到: 四個(gè)路徑產(chǎn)生的窄線寬SRS 不會(huì)空間分離, 其均對(duì)探測(cè)光泵浦吸收進(jìn)行補(bǔ)償, 讓探測(cè)光吸收譜呈現(xiàn)出窄線寬透明窗口.

4 理論模擬與討論

在前面的理論中, 研究了在均勻增寬系統(tǒng)中的Raman 共振增強(qiáng)FWM. 而對(duì)于實(shí)驗(yàn), 還要考慮介質(zhì)的多普勒效應(yīng), 需將前面的失諧量分別替換如下:

之后, 將多原子系統(tǒng)對(duì)速度積分, 速度在一個(gè)方向上的分布W(v) 取高斯形式. 與FWM 信號(hào)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)非線性極化給出如下:

最終信號(hào)強(qiáng)度(IS)正比于.并且,(5)式中的三階非線性極化P1(A+B)(v) 可以被表達(dá)如下:

其中:

如圖4 所示, 任意選取了耦合光共振(?2=0 )的情況進(jìn)行了理論擬合(黑色-實(shí)線). 從圖4 可以看出, 除了實(shí)驗(yàn)信號(hào)(紅色-星星)有強(qiáng)度較弱且穩(wěn)定的雜散光噪聲背景之外, 在 ?1=?2處出現(xiàn)的窄線寬FWM 信號(hào)與理論擬合符合得非常地好.

圖4 掃 描 弱 探 測(cè) 光 頻 率 時(shí), FWM 實(shí) 驗(yàn) 信 號(hào)(紅 色-星星)和理論擬合(黑色-實(shí)線). 實(shí)驗(yàn)采用的耦合光強(qiáng)度I2 =1.97 mW, 控制光強(qiáng)度I3 = 7.4 mW; 理論模擬采用的參數(shù)是: Γ10 =7.2 MHz , Γ20 =0.72 MHz, G2 =10.8 MHz ,G3 =20.4 MHz )Fig. 4. Experimental results (red star) and theoretical fitting (black solid line) for the FWM signal. The coupling field intensity I2 = 1.97 mW and the control field intensity I3 = 7.4 mW are used in the experiment. The parameters used in the theoretical simulation are Γ10 =7.2 MHz ,Γ20 =0.72 MHz , G2 =10.8 MHz , G3 =20.4 MHz .

從上述理論可以看出, FWM 信號(hào)的線寬與多普勒展寬(對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)溫度)和耦合光(或控制光)強(qiáng)度有關(guān). 圖5(a)和圖6(a)模擬了耦合光共振( ?2=0 )條件下的FWM 光譜(實(shí)線)和SRS光譜(虛線), 在圖5(a)中 ku/γ =50.7, G2/γ =0.5(黑線), 2.5(紅線), 4.0(藍(lán)線); 在圖6(a)中 G2/γ =4.0, ku/γ =50.7 (黑線), 101.4(紅線), 202.8(藍(lán)線).其中, g 為激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間的縱向弛豫率. 從圖5(a)和圖6(a)可以看出, 隨著耦合光強(qiáng)度(I2)增大或多普勒展寬線寬(ku)減小, FWM 光譜線寬會(huì)相對(duì)變寬. 同時(shí), 由于FWM 光譜經(jīng)過(guò)了色散的修正, 其相對(duì)SRS 光譜來(lái)說(shuō)線寬略寬. 但當(dāng)耦合光強(qiáng)度越小或多普勒展寬線寬越大時(shí), 兩種譜線線寬越趨于基本一致, 這是由于此種條件下: 在?1=?2=0 處, 色散變化越陡峭[24], 其對(duì)受激Raman 散射光穿出介質(zhì)的線寬修正影響越小.

在一定條件下, 我們可以利用原子共振速度對(duì)FWM 譜線線寬進(jìn)行解釋. 當(dāng)取 ?2=0 時(shí), 共振速度 v1和 v2對(duì)探測(cè)光頻率的依賴特性, 如圖5(b)和圖6(b)所示.當(dāng) ?1=0時(shí)(即在 ω1?ω2=ωR處), |v2/u|→∞ , 即在多普勒展寬線寬內(nèi)只存在共振速度 v1, 具有該速度的原子群發(fā)射基于Raman共振增強(qiáng)的散射光子, 從而在 ?1=?2處出現(xiàn)信號(hào)峰, 如圖5(a)和圖6(a)所示(實(shí)線). 當(dāng) ?1遠(yuǎn)離?1=?2, 即探測(cè)光遠(yuǎn)離共振時(shí), 得到 v1?v2?0 ,而這兩個(gè)速度的原子群分別貢獻(xiàn)散射光子和損耗散射光子, 從而相互抵消使得信號(hào)趨于零. 而在 ?1偏離 ?1=?2的過(guò)程中, 當(dāng) v2?u時(shí), 共振速度 v2的原子群便可以有效消耗共振速度 v1的原子群貢獻(xiàn)的散射光子, 此時(shí)探測(cè)光頻率掃描到 ?1=(|G2|2+|G3|2)/ku ; 從圖5(b)和圖6(b)(實(shí)線)亦可看出, 當(dāng)耦合光強(qiáng)度( |G2|2)減小或多普勒展寬( ku)增寬時(shí), 探測(cè)光掃描到較小失諧 ?1處, 共振速度 v2就能有效地消耗受激Raman 散射光子讓信號(hào)迅速衰減, 從而使得最終的信號(hào)線寬較窄. 這就解釋了圖5(a)和圖6(a)中呈現(xiàn)的FWM 信號(hào)線寬的特點(diǎn). 從上述分析可以看出, 與綴飾態(tài)共振的速度 v2, 起到了對(duì)共振速度 v1貢獻(xiàn)的Raman 增益線寬進(jìn)行壓窄的作用, 并且FWM 光譜線寬

圖5 變化耦 合光強(qiáng) 度(I2)條 件下的(a)FWM 光譜(實(shí)線)和SRS 光譜(虛線), 和(b)原子共振速度 v2/u (實(shí)線)和 v1/u(虛線). 所取理論參數(shù)為: G2/γ =0.5 (黑線),2.5(紅線), 4.0(藍(lán)線)Fig. 5. (a) FWM (solid line) and SRS (dotted line), and(b) corresponding resonant velocities v2/u (solid line) and v1/u(dotted line) as a function of ?1/γ when G2/γ =0.5 (black), 2.5(red), 4.0(blue).

圖6 變化多普勒展寬線寬(ku)條件下的(a) FWM 光譜(實(shí)線)和SRS 光譜(虛線), 和(b) 原子共振速度 v2/u (實(shí)線)和 v1/u(虛線). 所取理論參數(shù)為: ku/γ =50.7 (黑線),101.4(紅線), 202.8(藍(lán)線)Fig. 6. (a) FWM (solid line) and SRS (dotted line), and(b) corresponding resonant velocities v2/u (solid line) and v1/u(dotted line) as a function of ?1/γwhen ku/γ =50.7 (black), 101.4(red), 202.8(blue).

5 結(jié) 論

本文承接前期的工作, 基于對(duì)EIT 現(xiàn)象提出的新詮釋, 進(jìn)一步闡明了在多普勒增寬L-型能級(jí)系統(tǒng)中EIT 和SRS 以及FWM 三者之間的關(guān)系:共振EIT 吸收光譜的透明窗口, 本質(zhì)上是基于三階非線性過(guò)程產(chǎn)生的Raman 增益對(duì)介質(zhì)線性吸收修正之后的呈現(xiàn); 而FWM 信號(hào)之所以被增強(qiáng), 并不是因?yàn)榍叭颂岢龅腅IT 的本質(zhì)---量子干涉, 而是因?yàn)橄喔蒖aman 共振得到了滿足. 在本質(zhì)上,L-型能級(jí)系統(tǒng)中的FWM 信號(hào)與EIT 透明窗口均是基于受激Raman 過(guò)程, 區(qū)別僅在于探測(cè)手段的不同. 通過(guò)理論模擬得到, 在耦合光強(qiáng)度相對(duì)較小或多普勒展寬較大時(shí), 介質(zhì)色散對(duì)FWM 信號(hào)線寬的修正可以忽略, 就可以用不同速度原子群之間的宏觀極化干涉, 來(lái)解釋基于非線性過(guò)程最終的光譜呈現(xiàn). 在耦合光共振(?2=0 )條件下, 與綴飾態(tài)共振的速度v2, 由于在偏離單光子共振的過(guò)程中越來(lái)越有效的起到消耗光子的作用, 從而對(duì)共振速度v1在以?1=0 為中心的頻率處貢獻(xiàn)的Raman 增益的線寬進(jìn)行壓窄, 使得在雙光子共振?1=?2處看到窄線寬的凸起峰---FWM 信號(hào). 并且, 耦合光強(qiáng)度相對(duì)越小或多普勒展寬越大時(shí), FWM 信號(hào)的線寬越窄.