鄭水忠

【摘? ?要】范希爾夫婦提出的幾何思維水平理論可以指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何教學(xué)?！八倪呅蔚恼J(rèn)識”是三年級教學(xué)的重要內(nèi)容，通過前測和學(xué)情分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生識別四邊形存在差異;對邊的特征認(rèn)識強(qiáng)于角的認(rèn)識;給四邊形分類存在較大困難。教學(xué)中，要以直觀水平為教學(xué)切入點(diǎn)，要以分析水平為教學(xué)展開提供重要支撐，要以關(guān)系水平為認(rèn)知提升的關(guān)鍵點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】直觀;分析;關(guān)系;幾何思維水平;四邊形

“四邊形”一課是人教版三年級上冊《長方形和正方形》單元第一課時的內(nèi)容，教材通過組織學(xué)生識別四邊形、概括四邊形特征，進(jìn)而認(rèn)識特殊四邊形“長方形和正方形”的特征，為后續(xù)周長等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。此前，學(xué)生已在一年級下冊《認(rèn)識圖形》單元初步認(rèn)識了長方形、正方形、平行四邊形三個特殊四邊形，這種認(rèn)識主要停留在直觀水平層面。

在設(shè)計(jì)這節(jié)課教學(xué)之前，筆者有幾點(diǎn)思考：（1）教材為何要在認(rèn)識“長方形和正方形”之前安排“四邊形”學(xué)習(xí)？（2）學(xué)生對四邊形的識別水平如何？（3）學(xué)生對四邊形分類水平如何？（4）學(xué)生對長方形、正方形的特征了解程度如何？對這些問題的回答，僅靠經(jīng)驗(yàn)和直覺是不夠的，必須開展前測實(shí)證研究，切實(shí)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，從而為教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施提供依據(jù)。

一、前測設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）前測題擬訂

為了準(zhǔn)確把握學(xué)情，解答思考，研究團(tuán)隊(duì)集思廣益，擬訂了如下前測題。

（二）樣本選擇

為盡可能地提高前測的信度，研究團(tuán)隊(duì)選擇了寧波市主城區(qū)、縣市區(qū)城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)及寧波市外的10個班級共395名學(xué)生進(jìn)行前測，前測對象具備較強(qiáng)的代表性。

（三）前測實(shí)施

1.前測時間：2019年10月中旬，“四邊形”教學(xué)之前一個月左右。

2.實(shí)施要點(diǎn)：為避免前后干擾，所有題都按上述題序以紙條形式逐題下發(fā);教師不做任何提示;根據(jù)需要適時跟進(jìn)個別訪談。

二、前測結(jié)果

因前測信息量較大，在此僅擇要反饋。

（一）描述四邊形特征

由于前測題第1題“你覺得什么樣的圖形是四邊形”是主觀題，所以研究團(tuán)隊(duì)對學(xué)生描述過程中所使用的核心詞匯進(jìn)行了分析（如表1）。

（二）識別四邊形

根據(jù)學(xué)生對前測題第2題“圈出四邊形”的答題情況，筆者對各圖形的識別正確率進(jìn)行了匯總（如表2）。

（三）四邊形分類

從前測看，學(xué)生在回答前測題第3題“給四邊形分類”時，情況較為復(fù)雜，研究團(tuán)隊(duì)著重對分類正確的情況進(jìn)行匯總（如表3）。

（四）繪制長方形、正方形并描述特征

學(xué)生在解答前測題第4題時，繪制長方形、正方形的正確率達(dá)99.2%，在此著重對特征描述情況進(jìn)行匯總（如表4）。

三、相關(guān)結(jié)論

（一）學(xué)生對四邊形的特征有一定的了解，對邊特征的辨識度強(qiáng)于角

從表1可以看出，63.6%的學(xué)生說到了“四條邊”，47.1%的學(xué)生說到了“四個角”，其中21.8%的學(xué)生說到了上述兩點(diǎn)。共有88.9%的學(xué)生至少說到了四邊形兩個關(guān)鍵特征中的一個。從前測中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對邊的特征的辨識（63.6%）強(qiáng)于角（47.1%）。這一點(diǎn)，在表4中也有明顯反映。但當(dāng)面臨分類情境時，學(xué)生則會更多基于“是否直角”進(jìn)行，可能的一個原因是，描述特征時學(xué)生更多關(guān)注要素細(xì)節(jié)，而面臨分類情境時，學(xué)生則會更多從整體角度去認(rèn)識圖形。

（二）學(xué)生識別四邊形情況存在顯著差異

研究團(tuán)隊(duì)詢問過不少一線教師，如果把教材例1（把你認(rèn)為是四邊形的圖形圈出來）直接交給學(xué)生來完成，有困難嗎？幾乎所有教師都肯定地說：沒什么困難。但前測的實(shí)際情況告訴我們，事實(shí)并非如此，有時教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和直覺并不可靠。對于有些圖形的識別率偏低，研究團(tuán)隊(duì)并不意外（在另外所做的測試中，學(xué)生對凹四邊形的識別率基本只有25%左右，為此，在本測試中刪除了該圖形），但對有些圖形的識別率偏低的現(xiàn)象則需要通過訪談等形式找到其背后的心理原因。

1.對長方形、正方形等常見四邊形識別率偏低

以長方形為例，有近19.2%的學(xué)生認(rèn)為長方形不是四邊形。

師：×××，為什么圈四邊形時你不圈長方形啊？

生：因?yàn)轭}目叫我們?nèi)Φ氖撬倪呅?，而它是長方形。

原來，這些學(xué)生心目中的四邊形僅指一般四邊形，或者說凡是已經(jīng)學(xué)過、命名過的特殊四邊形就不能視作四邊形。這也從一個側(cè)面說明，在學(xué)習(xí)四邊形之前，不少三年級學(xué)生對圖形對象的認(rèn)識處在“非此即彼”的“二元對立”水平。

2.對一般四邊形 的識別率偏低有27.6%的學(xué)生認(rèn)為它不是四邊形。以下是這類學(xué)生的典型想法。

師：×××，為什么圈四邊形時你不圈它?。?/p>

生：因?yàn)檫@個圖形不像長方形、正方形那樣有個名字，不知道它叫什么名字。

生：別的圖形都是正的，它是歪的。

顯然，如果說前面的學(xué)生是因?yàn)椤耙衙倍懦煜D形的話，那么這部分學(xué)生則恰恰相反，他們是因“未命名”而排除不熟悉的圖形。這部分學(xué)生往往對長方形、正方形等已命名圖形的識別率高于前者，他們認(rèn)同這些圖形是四邊形。但這兩類學(xué)生都有一個共同的特點(diǎn)，即對四邊形的認(rèn)識還未實(shí)現(xiàn)一般化、概念化，因此在四邊形外延辨識上都有錯漏。

3.對標(biāo)準(zhǔn)圖式的識別高于變式圖式

這是已有的心理學(xué)研究結(jié)論，在此次前測實(shí)驗(yàn)中再次得到驗(yàn)證。如研究團(tuán)隊(duì)曾將上述前測實(shí)驗(yàn)中的梯形改為，學(xué)生的平均識別率降低10%左右。

（三）學(xué)生對四邊形分類存在較大困難

從表3可以看出，學(xué)生分類的正確率很低，總體只有34.4%，其中按角分類的正確率（21.3%）明顯高于按邊分類（12.4%）。當(dāng)然，錯誤分類中也存在兩種情況，一種是沒有明確的分類標(biāo)準(zhǔn);另一種則是標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，出現(xiàn)了二次分類。這類學(xué)生對分類對象的特征還是有一定了解的，這也是教學(xué)的寶貴資源。

（四）繪制長方形、正方形比描述特征容易

繪制圖形比描述特征更容易，這是心理學(xué)已有的研究結(jié)論，在此也得到了驗(yàn)證。全部學(xué)生都能在格子圖中畫出長方形、正方形，但描述特征的正確率則較低，尤其是對角的特征的描述，教學(xué)中要關(guān)注如何突破。

四、教學(xué)啟示

為了更清晰地給教學(xué)提供幫助，研究團(tuán)隊(duì)借助荷蘭學(xué)者范希爾夫婦的幾何思維發(fā)展理論對上述前測信息進(jìn)行發(fā)展水平解讀。范希爾夫婦將幾何思維的發(fā)展水平劃分為五個水平，小學(xué)階段一般只涉及前三個水平。

（一）有不少學(xué)生對四邊形的認(rèn)識處于直觀水平，這將是教學(xué)的重要切入點(diǎn)

直觀，也稱視覺（Visuality）。處于這一水平的學(xué)生，往往將幾何圖形看作一個直觀的整體，并據(jù)此在思維中形成視覺表象。在辨認(rèn)圖形時，他們常常使用典型的表象為依據(jù)，很少或難以關(guān)注到幾何對象的性質(zhì)和本質(zhì)性特征。這在“識別四邊形”前測題中有典型體現(xiàn)。如對、的識別錯誤率分別達(dá)到20.5%，27.6%，而通過訪談得知，學(xué)生認(rèn)為它長得不像四邊形;它是歪的，不像長方形、正方形一樣是端端正正的;不知道它叫什么名字;等等。從這些可以看出，很多學(xué)生都是以已有的四邊形（主要是長方形、正方形、平行四邊形）為標(biāo)準(zhǔn)，把它看作一個整體來跟對象進(jìn)行比對，整體表象接近的則是，反之則不是。學(xué)生對 的識別錯誤也反映其思維水平的直觀特性：雖然四個“角”是圓的，但從總體上看，它很像長方形。不少學(xué)生在四邊形分類前測中也反映出其思維的直觀特性，在一些沒有明確分類標(biāo)準(zhǔn)的錯誤例子中，學(xué)生的理由往往是“我也說不清楚，只是覺得它們很像”或者是“這幾個很正，這幾個是歪的”。

以上信息可以作為教學(xué)的寶貴資源。通過暴露學(xué)生的真實(shí)想法，組織學(xué)生相互進(jìn)行交流、碰撞，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知從混沌到清晰，從直觀水平逐步走向分析水平。

（二）多數(shù)學(xué)生對四邊形的認(rèn)識達(dá)到了分析水平，這將是教學(xué)展開的重要支撐

分析（Analysis），也叫描述。處于這一水平的學(xué)生，不再僅僅從圖形整體外觀、借助直覺來判別圖形，而是能夠依據(jù)觀察、度量、畫圖、建模等操作經(jīng)驗(yàn)來探尋圖形的性質(zhì)，并遵照一組性質(zhì)將對象看成一個整體。如在對正確識別的學(xué)生進(jìn)行訪談時，多數(shù)學(xué)生會說：“它也像長方形、正方形一樣，有四條邊、四個角，所以它也是四邊形?！笨梢钥吹?，學(xué)生對前測中各種四邊形的最低識別率也達(dá)到了62.5%，平均識別率則達(dá)到了80%。

以上信息將成為教學(xué)展開的重要支撐。通過學(xué)生的展示、表達(dá)、交流，促進(jìn)一部分處于直觀水平的學(xué)生邁向分析水平，完善對四邊形特性的認(rèn)識。與此同時，分析水平預(yù)示著學(xué)生對四邊形的特性有了較好的認(rèn)識，這是分類活動展開的基礎(chǔ)。借助分類活動，可以類化出長方形、正方形，并認(rèn)識到這兩個圖形的特殊性進(jìn)而展開深入研究，為認(rèn)知從分析水平向關(guān)系水平提升奠定基礎(chǔ)。

（三）只有個別學(xué)生對四邊形的認(rèn)識達(dá)到了較全面的關(guān)系水平，這是本節(jié)課認(rèn)知提升的關(guān)鍵點(diǎn)

關(guān)系，也叫非形式化演繹（Informal deduction）。處于這一水平的學(xué)生已能形成抽象的定義，能區(qū)分概念的必要條件和充分條件，甚至能做一些簡單的推理。在這一水平上，學(xué)生推理的對象已不僅是一類圖形，而是一類對象明確的性質(zhì)。推理的結(jié)果是將已有的性質(zhì)與對象聯(lián)系起來所形成的概念做重新組織，從而改變概念的結(jié)構(gòu)圖式。比如處在分析水平的學(xué)生，能表達(dá)的是這樣一個簡單的判斷：因?yàn)檫@個四邊形的對邊相等，四個角都是直角，所以它是長方形。而達(dá)到關(guān)系水平的學(xué)生，則會有這樣的推理：因?yàn)檎叫蔚膶呉蚕嗟?，四個角也都是直角，所以正方形是特殊的長方形。很顯然，這樣的關(guān)系認(rèn)知不是在增長知識的量，而是在改變認(rèn)知的結(jié)構(gòu)，因而是促進(jìn)思維品質(zhì)、能力提升的重要著力點(diǎn)。

從前測看，學(xué)生具備了一部分關(guān)系水平認(rèn)知，如：長方形、正方形是四邊形，而且是一種特殊的四邊形。但對正方形是特殊的長方形這一關(guān)系的理解，從前測的分類活動及訪談中發(fā)現(xiàn)，僅有不到5%的學(xué)生能有所感悟。因此，這既是本節(jié)課認(rèn)知提升的關(guān)鍵點(diǎn)，也是難點(diǎn)。教師要在充分組織學(xué)生認(rèn)識長方形、正方形特征的基礎(chǔ)上提出相關(guān)要求，有時需要給予明確的指導(dǎo)。

五、基于前測實(shí)證研究的教學(xué)實(shí)踐

在前述對學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的實(shí)證研究基礎(chǔ)上，研究團(tuán)隊(duì)緊緊圍繞范希爾夫婦幾何思維水平理論展開教學(xué)實(shí)踐，從直觀水平切入，在分析水平展開，最后在關(guān)系水平提升，取得了很好的教學(xué)實(shí)效。

（一）典型材料辨析，糾正學(xué)生直觀水平認(rèn)知誤區(qū)

教師首先呈現(xiàn)生1、生2的前測作品，并請學(xué)生本人上臺陳述想法。

生1：我們學(xué)過的圖形中，長方形、正方形是四邊形，所以我圈了它們。

生2：我覺得他是對的，我漏了長方形。

生3（迫不及待質(zhì)疑）：那你為什么不圈平行四邊形、菱形？

生1：還沒學(xué)過。

生3（跑到屏幕前）：沒學(xué)過就不是四邊形了嗎？（指著菱形）你看，它也有四條邊、四個角，所以它也是四邊形！

（生1、生2點(diǎn)頭默認(rèn)。緊接著，教師出示生4、生5的前測作品，組織學(xué)生進(jìn)行辨析）

生4：我覺得四邊形要有四條邊、四個角，所以我圈了這6個圖。

生5：我覺得你圈的不對，第一行第二個圖形你數(shù)數(shù)看，它有五條邊，是五邊形。

生4：哦！對的。我覺得你的也有問題，為什么圈出它呢？（ ）

生5：雖然它的邊有點(diǎn)彎，但它也是四條邊，也可以看成是四邊形。

生4：彎了就不能算了。

生6：彎彎的還是角嗎？角的頂點(diǎn)在哪里呢？連角都沒有了，還能算四邊形嗎？

生7（質(zhì)疑生4）：第一行第三個圖形你為什么不圈？

生4：它長得歪歪的，我們都沒學(xué)過，不知道它叫什么名字。

生7：那你覺得怎樣的圖形是四邊形？

生4：有四條邊、四個角。

生7：那你自己數(shù)數(shù)看。

……

上述學(xué)生的錯誤，大多反映其幾何思維處在直觀水平階段，如生1、生2是“以特殊來指代一般”，未曾關(guān)注四邊形的特征。生4認(rèn)為不像其他四邊形，生5認(rèn)為很像四邊形，其判別的依據(jù)都是一種整體表象上的直覺，缺乏對特征的把握。教師如實(shí)呈現(xiàn)前測素材，通過學(xué)生之間的闡述、互動質(zhì)疑，幫助一些學(xué)生從直觀水平的認(rèn)知誤區(qū)中走出來，逐步明晰概念，知道四邊形“四條直的邊、四個角”的特征，也認(rèn)識到辨別一個圖形應(yīng)該從其特征入手。

（二）概括分類活動，促進(jìn)思維從直觀水平走向分析水平

在前期辨析活動的基礎(chǔ)上，學(xué)生已能概括并明確四邊形的特征，學(xué)生確認(rèn)了其中6個是四邊形，教師讓學(xué)生嘗試將這6個四邊形分為兩類。教師巡視，指名學(xué)生在黑板上展示分類結(jié)果。（教師提供兩套磁性四邊形材料）

通過組織學(xué)生介紹自己的想法，明確分別是按照“四個角是否直角”和“對邊是否相等”為標(biāo)準(zhǔn)來分類的。緊接著，教師組織學(xué)生觀察兩種分類方法，通過交流學(xué)生發(fā)現(xiàn)：四個角是直角的有長方形、正方形，對邊相等的也有長方形、正方形。從而揭示長方形、正方形的邊和角的共同特征：對邊相等，四個直角。進(jìn)而討論得出兩者的不同點(diǎn)：長方形對邊相等，正方形四條邊都相等。

以上結(jié)論主要來自學(xué)生在低年級“認(rèn)識圖形”學(xué)習(xí)時的所得和日常經(jīng)驗(yàn)積累，并未對上述特征在實(shí)踐操作層面進(jìn)行檢驗(yàn)，為此，教師又組織學(xué)生開展了相關(guān)的驗(yàn)證、匯報展示和交流互動等活動，進(jìn)一步確認(rèn)長方形、正方形的特征。

上述環(huán)節(jié)教學(xué)中，學(xué)生通過概括、分類、驗(yàn)證、展示交流等活動，對四邊形、長方形、正方形的認(rèn)知逐步從依賴整體直覺的直觀水平的模糊狀態(tài)走向抓住特征的分析水平的清晰狀態(tài)，為思維從分析水平向關(guān)系水平邁進(jìn)奠定了基礎(chǔ)。

（三）辨析運(yùn)用實(shí)踐，提升思維從分析水平邁向關(guān)系水平

雖然學(xué)生對四邊形有著一些關(guān)系化的認(rèn)知，但這種認(rèn)知往往以潛意識的狀態(tài)存在。如學(xué)生知道長方形、正方形等都是四邊形家族里的成員，而且是一些特殊的成員，但這種認(rèn)知缺乏自覺性、主動性，并且沒有以結(jié)構(gòu)化的形態(tài)清晰地存在于學(xué)生的認(rèn)知中。而對于“正方形是特殊的長方形”這一關(guān)系的理解，絕大多數(shù)學(xué)生都未達(dá)成。因此，本節(jié)課的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)主要有兩方面任務(wù)，一是進(jìn)一步完善對四邊形外延、內(nèi)涵的認(rèn)識，二是突破“正方形是特殊長方形”這一認(rèn)知難點(diǎn)。

1.辨析活動完善對四邊形的認(rèn)知

教師呈現(xiàn)一道判斷題：這是一個四邊形。請學(xué)生思考后展開辨析。

生1：我覺得它不是四邊形，四邊形都是鼓起來的，不是凹進(jìn)去的。

生2：你認(rèn)為怎樣的圖形才是四邊形呢？

生1：要由四條邊、四個角圍成的。

生2：那它也有四條邊、四個角。

生3：不對！它只有兩個角。

生2跑上前，邊指邊數(shù)出四個角和四條邊。

通過上述辨析活動，學(xué)生進(jìn)一步完善了對四邊形外延的認(rèn)知，同時也夯實(shí)了對四邊形內(nèi)涵的理解。

2.想象活動促認(rèn)知從分析水平邁向關(guān)系水平

（1）教師出示一道判斷題。

被遮住的長方形的四邊總長是12cm。

通過交流，學(xué)生認(rèn)為長方形四邊總長可能比12cm小，也可能比12cm大，但不可能是12cm。學(xué)生的理由是如果四邊總長是12cm，那就是正方形了（潛臺詞：正方形不是長方形），即學(xué)生對“正方形是特殊長方形”的關(guān)系認(rèn)知尚未突破，為此，教師又安排了下面的跟進(jìn)想象練習(xí)。

（2）教師出示下圖。

請學(xué)生想象，如果把這條線段向右移動，線段所“刷”出的面是什么形狀？

生：長方形。

師（課件演示線段緩慢移動并隨時暫停）：什么圖形？

生：長方形、長方形、長方形……

師：可以有幾個長方形？

生：無數(shù)個。

生：不對！當(dāng)線段移動到8厘米處時，是一個正方形。

（全班同學(xué)紛紛附和）

師：會出現(xiàn)幾個長方形？幾個正方形？

生：無數(shù)個長方形，1個正方形。

師：是??！在這個變化過程中，會出現(xiàn)無數(shù)個長方形，而只有在某一時刻，才會出現(xiàn)一個正方形。正方形好特殊啊，所以人們常說，正方形是特殊的長方形。

很多學(xué)生對這句話表現(xiàn)出迷茫。教師通過特征分析引導(dǎo)學(xué)生理解：正方形的對邊相等，四個角都是直角，它符合長方形的特征，所以正方形是長方形，只不過它是一種特殊的長方形，特殊在它不僅對邊相等，連鄰邊（四條邊）都相等。

研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，在多次教學(xué)中，僅有一名學(xué)生主動提出“正方形是特殊的長方形”，并且在與其他學(xué)生的辯論中能通過特征“說服”其他同學(xué)。說明這確實(shí)是一個認(rèn)知難點(diǎn)，所以在適當(dāng)?shù)臅r機(jī)，由教師引領(lǐng)突破這個難點(diǎn)是合適的。這個難點(diǎn)一旦突破，學(xué)生的認(rèn)知就有了重大飛躍，因?yàn)閷W(xué)生對長方形、正方形的關(guān)系認(rèn)知從“二元對立”（下左圖）走向“包含關(guān)系”（下右圖）。下右圖即為通過交流，學(xué)生上黑板繪制的板書。

3.猜四邊形活動進(jìn)一步深化關(guān)系認(rèn)知

師：老師的信封內(nèi)有一個四邊形，請你猜猜看是什么四邊形。

（學(xué)生毫無憑據(jù)地瞎猜）

師：允許你提一個問題。

生：它的對邊相等嗎？

師（裝作悄悄看了看信封）：哎，對邊還真相等！

多數(shù)學(xué)生喊：長方形！

（師出示，結(jié)果是一個平行四邊形）

師：思考，在上面包含關(guān)系的長方形、正方形圖中，平行四邊形應(yīng)該擺在哪里？

通過交流，學(xué)生提出應(yīng)該擺在外面，即長方形、正方形都是特殊的平行四邊形。

本環(huán)節(jié)通過三次想象交流活動，層層遞進(jìn)，不斷突破學(xué)生認(rèn)知的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)上限，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)知從分析水平提升到關(guān)系水平，并在進(jìn)一步活動中，豐富和完善關(guān)系認(rèn)知，真正促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改變，其實(shí)質(zhì)則是兒童智慧的提升。

本節(jié)課的研究過程，緊扣兒童的認(rèn)知心理特點(diǎn)，在范希爾夫婦幾何思維水平理論指導(dǎo)下，規(guī)范科學(xué)地開展學(xué)習(xí)起點(diǎn)前測活動，在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)和實(shí)施教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生的思維從直觀水平切入，在分析水平提升，最后在關(guān)系水平突破，取得良好的教學(xué)效果。