厲鑫波，周勁松，宮 島，尤泰文，鄧辰鑫

（同濟大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804）

為了更好地滿足國民經(jīng)濟和社會發(fā)展的需要，現(xiàn)代軌道車輛不斷向高速、重載、輕量化方向發(fā)展，車輛結(jié)構(gòu)振動愈發(fā)強烈，由此引發(fā)的車體及其設(shè)備疲勞失效將會對乘客生命財產(chǎn)安全造成重大威脅。國內(nèi)外學(xué)者已對軌道車輛的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)及部件進(jìn)行了大量的疲勞機理分析和方法研究，為軌道車輛的疲勞設(shè)計提供依據(jù)：馬思群等［1］提出一種含初始焊接缺陷的動車組車體疲勞壽命的評估方法，基于結(jié)構(gòu)應(yīng)力法，預(yù)測了車體關(guān)鍵焊縫的疲勞壽命，并證實不同的初始焊接缺陷對于車體疲勞的顯著影響。Nejad等［2］通過有限元法預(yù)測了車輪在輪軌接觸載荷和熱處理后的殘余應(yīng)力共同影響下的疲勞裂紋發(fā)展情況，分析結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果有較好的吻合。Náhlík等［3］提出了一種基于線性彈性斷裂力學(xué)理論的車軸疲勞壽命估算方法，可以估算初始裂紋的位置及其發(fā)展趨勢。但是上述針對軌道車輛的疲勞分析，均未考慮實測激勵，而實際車輛往往運行在寬頻、時變、強非線性及強耦合的振動環(huán)境下。當(dāng)下，國內(nèi)外鮮有學(xué)者對軌道車輛承受的載荷進(jìn)行統(tǒng)計分析，通常直接采用IEC61373標(biāo)準(zhǔn)作為振動疲勞計算主要載荷，未考慮線路和車輛的差異性，因此難以估計真實復(fù)雜激勵下的疲勞失效情況。疲勞輸入對于壽命估計的準(zhǔn)確性研究已經(jīng)逐漸受到重視，有學(xué)者通過對比IEC61373標(biāo)準(zhǔn)和實測激勵數(shù)據(jù)分別作為輸入的車輛典型設(shè)備的隨機振動仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)實測激勵數(shù)據(jù)下的應(yīng)力水平更高［4］。因而準(zhǔn)確合理地歸納車輛振動環(huán)境數(shù)據(jù)是車輛疲勞壽命估計的首要問題，特別是中國鐵路運行環(huán)境復(fù)雜，不同線路及懸掛設(shè)置是影響車輛部件損傷和使用壽命的重要因素［5］。

目前，鮮有針對軌道車輛運行狀態(tài)振動環(huán)境描述和統(tǒng)計歸納的研究，但振動環(huán)境的歸納已在其他運載領(lǐng)域得到關(guān)注。20世紀(jì)60年代后期，航空航天、軍事等領(lǐng)域開始關(guān)注機載裝備的隨機振動環(huán)境情況，在2000年實施《振動、沖擊環(huán)境測量數(shù)據(jù)歸納方法：GJB/Z126—1999》，該標(biāo)準(zhǔn)采用參數(shù)估計法歸納環(huán)境數(shù)據(jù)的上限值［6］。相較于早期數(shù)據(jù)歸納的非參數(shù)估計法，參數(shù)歸納法使歸納結(jié)果具有了統(tǒng)計意義［7］，既考慮數(shù)據(jù)的分布特征和樣本量，又關(guān)注歸納結(jié)果的覆蓋率和置信度。在實際應(yīng)用場景中，田永衛(wèi)等［8］以某型飛機實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，提出分測試區(qū)域不同狀態(tài)下的飛機振動數(shù)據(jù)歸納方法，同時地面試驗結(jié)果證實方法較好滿足可靠性試驗要求。穆立茂等［9］采用統(tǒng)計容差法對車載物資及設(shè)備振動環(huán)境譜進(jìn)行估計，為車載物資及設(shè)備振動環(huán)境的可靠性評價奠定基礎(chǔ)。韓月朋等［10］基于實測風(fēng)載振動環(huán)境數(shù)據(jù)，提出不同風(fēng)速下的通信鐵塔隨機振動環(huán)境數(shù)據(jù)的歸納方法，所得實測譜能較為客觀真實地模擬實際振動環(huán)境。

為了對軌道車輛運行環(huán)境及相關(guān)疲勞壽命估計進(jìn)行研究，本文針對軌道車輛運行環(huán)境特點，提出一種適用于車輛設(shè)備的隨機振動環(huán)境歸納方法，并基于此方法，給出一種結(jié)合振動環(huán)境歸納的車輛設(shè)備疲勞壽命估計方法。首先，基于隨機振動對車輛設(shè)備振動環(huán)境歸納進(jìn)行理論推導(dǎo)。其次，采用頻域疲勞分析方法結(jié)合振動環(huán)境歸納，給出車輛設(shè)備振動疲勞壽命估計的主要流程。最后以某型地鐵車輛為例，針對車輛軸箱吊耳斷裂現(xiàn)象，結(jié)合疲勞測試結(jié)果，分別對IEC61373標(biāo)準(zhǔn)譜和本文提出的歸納譜作為輸入時的疲勞壽命估計進(jìn)行對比，驗證本文提出的振動環(huán)境歸納方法和疲勞壽命估計方法的可靠性。

1 隨機振動環(huán)境歸納方法

為了對輸入的振動環(huán)境數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行歸納，首先需要檢驗振動環(huán)境數(shù)據(jù)是否滿足平穩(wěn)性、各態(tài)歷經(jīng)性及正態(tài)性，以確保數(shù)據(jù)樣本具有正態(tài)隨機特性。而一般在工程實際中，無法滿足嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，可視大樣本的振動環(huán)境數(shù)據(jù)近似滿足廣義平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)性［7］。

1.1 參數(shù)假設(shè)檢驗

通過參數(shù)假設(shè)檢驗，可在一定的假設(shè)條件下，由部分隨機振動數(shù)據(jù)樣本推斷出總體的特征情況。首先取各數(shù)據(jù)通道的功率譜密度為Gk（i，j）（i=1，2，…，I；j=1，2，…，J；k=1，2，…，L），其中I為通道數(shù)，J為樣本容量，L為譜線數(shù)。計算PSD的均方根值，按式（1）對其均方根值RMS進(jìn)行均值ˉXi和方差估計。

按式（2）對均值和方差計算統(tǒng)計量F（i，m）和t（i，m）：

在設(shè)定的置信度1-α下，若式（3）

成立，即F（i，m）服從自由度為（J-1，J-1）的F分布，t（i，m）服從自由度為2（J-1）的中心t分布，則數(shù)據(jù)通道i和m的PSD屬于同一總體，否則不屬于同一總體。歸并所有屬于同一總體的數(shù)據(jù)，形成特征樣本G?k（p，r）（p=1，2，…，P；r=1，2，…，R），P為特征樣本數(shù)，R為特征樣本容量。

1.2 實測譜的估計

對特征樣本開根后的樣本近似服從正態(tài)分布，按式（4）對其進(jìn)行均值和方差估計。

按式（5）計算置信度為（1-α）、分位點為β的容差上限系數(shù)F1。

式中，Zβ為滿足Prob［Z≤Zβ］=β的分位點；χ2（R-1），α為自由度為（R-1）的卡方分布α分位點。則第p個特征樣本的容差上限估計為

對每個特征樣本進(jìn)行容差上限估計，得到隨機振動實測譜G1（p）。

1.3 規(guī)范譜的估計

根據(jù)特征樣本沿頻率軸的分布情況進(jìn)行頻段劃分，同樣對特征樣本開根后的樣本進(jìn)行參數(shù)假設(shè)檢驗，將相鄰屬于同一總體的譜線歸并在同一頻段內(nèi)，形成H個頻段。頻段h兩端的譜線號為kh、kh+1（h=1，2，…，H），譜線數(shù)為Nh=kh+1-kh+1。

對特征樣本開根后的每個頻段內(nèi)的樣本近似服從正態(tài)分布，按式（7）對其進(jìn)行均值和方差估計：

按式（8）計算置信度為1-α、分位點為β的容差上限系數(shù)F2。

則第p個特征樣本在h頻段內(nèi)的容差上限估計為

對每個特征樣本進(jìn)行容差上限估計，得到隨機振動規(guī)范譜G2（p）。

通常，實測譜可作為仿真計算的輸入信號，提高仿真計算的精度；而規(guī)范譜平直整潔，常作為臺架試驗的激勵信號。

2 頻域疲勞分析

2.1 模態(tài)分析

基于振型正交性和展開定理，利用模態(tài)疊加法，可近似求解多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。由拉格朗日方程簡化得到多自由度系統(tǒng)的運動微分方程為：

式中，M、C、K為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；x為位移矩陣；Q為輸入矩陣，其功率譜密度函數(shù)即為激勵譜G（ω）。

求解式（10）可得到模態(tài)矩陣Φ和振型參與系數(shù)矩陣q，則系統(tǒng)響應(yīng)可由各階振型的線性組合表示。

式中，｛φv｝為第v階振型。

根據(jù)模態(tài)應(yīng)力恢復(fù)理論，系統(tǒng)節(jié)點的模態(tài)應(yīng)力σ和模態(tài)反作用力γ可由模態(tài)矩陣和系統(tǒng)響應(yīng)表示。

式中，Eσ為模態(tài)應(yīng)力矩陣，與系統(tǒng)材料的彈性模量、泊松比有關(guān)。

式中，ω為系統(tǒng)固有頻率的矩陣；U為系統(tǒng)響應(yīng)矩陣。

由模態(tài)分析得到的模態(tài)應(yīng)力σ和模態(tài)反作用力γ反映了系統(tǒng)各節(jié)點在隨機振動環(huán)境中的載荷歷程，用于疲勞壽命估計。

2.2 疲勞壽命估計

Palmgren-Miner理論作為最經(jīng)典的線性疲勞累計損傷理論，相較于其他疲勞累計損傷理論，雖然忽略了加載次序?qū)ζ趬勖挠绊?，計算存在一定的偏差，但其計算程序簡單，具有廣泛的工程應(yīng)用價值。而在隨機載荷作用下，應(yīng)力循環(huán)次序完全是隨機的，這就削弱了加載次序?qū)τ谄谟嬎愕挠绊懀?1］。Palmgren-Miner理論提出，根據(jù)材料的S-N（疲勞強度-循環(huán)次數(shù)）曲線，計算單次循環(huán)內(nèi)不同應(yīng)力水平下的損傷，并累計總損傷。

式中，g為不同應(yīng)力幅總量；n，N分別為雨流計數(shù)得到的不同應(yīng)力幅對應(yīng)的實際循環(huán)次數(shù)和S-N曲線中的不同應(yīng)力幅對應(yīng)的疲勞循環(huán)次數(shù)。

當(dāng)總損傷D達(dá)到1時，就可以判斷系統(tǒng)發(fā)生疲勞失效。

根據(jù)對應(yīng)力幅進(jìn)行的大量Monte Carlo仿真的結(jié)果，Dirlik提出一個近似表達(dá)雨流幅值概率密度函數(shù)的純經(jīng)驗閉式表達(dá)式［12］，由1個指數(shù)分布和2個Rayleigh分布組成。大量工程實踐證明Dirlik經(jīng)驗公式具有高精度、低計算量的優(yōu)點。Dirlik經(jīng)驗表達(dá)式，如下：

M0、M1、M2、M4分別為響應(yīng)應(yīng)力單邊功率譜密度函數(shù)W（f）的0階、1階、2階、4階矩，則Mi定義為

在時間段τ內(nèi)，Dirlik疲勞損傷模型的表達(dá)式如下：

式中，E(P)=為響應(yīng)應(yīng)力單邊功率譜密度函數(shù)的峰值穿越率，C、m為材料S-N曲線冪函數(shù)表達(dá)式的材料常數(shù)。

頻域疲勞分析流程如圖1所示。輸入載荷用功率譜密度函數(shù)來描述，通過對系統(tǒng)進(jìn)行頻響計算和模態(tài)分析，獲得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)應(yīng)力功率譜密度函數(shù)，再根據(jù)疲勞失效模型和材料疲勞特性計算系統(tǒng)的疲勞壽命。

3 計算驗證

圖1 頻域疲勞分析流程Fig.1 Flowchart of analysis of frequency domain fatigue

據(jù)統(tǒng)計，某型地鐵車輛在服役里程至16萬～20萬km時，其軸箱吊耳集中出現(xiàn)吊耳根部萌生裂紋，甚至整體斷裂現(xiàn)象，如圖2所示。可以初步判斷吊耳根部為疲勞斷裂的危險截面。軸箱吊耳作為非承載件，與軸箱端蓋通過螺栓連接，主要與構(gòu)架限位止檔配合工作，防止車輛起吊作業(yè)可能導(dǎo)致一系懸掛超限損壞。通常，軸箱吊耳的設(shè)計壽命為30年或300萬km。在設(shè)計年限內(nèi)，正常工作環(huán)境下，不允許出現(xiàn)任何疲勞失效現(xiàn)象。據(jù)觀察記錄，車輛正常運營時，未發(fā)現(xiàn)軸箱吊耳與構(gòu)架限位止檔等附近部件發(fā)生超限接觸，排除由剛性碰撞導(dǎo)致的斷裂的可能。由此，需要探究軸箱吊耳的隨機振動環(huán)境對于其振動疲勞的影響。

圖2 軸箱吊耳斷裂圖Fig.2 Fig.2 Fracture picture of axle box lug

3.1 測試方案

根據(jù)軸箱吊耳的斷裂位置和振動傳遞情況，分別在吊耳根部布置2組電阻應(yīng)變片，搭建1/4惠斯通電橋，并裝有溫度補償片，記錄動態(tài)應(yīng)力變化歷程；在軸箱頂部布置量程為50g、響應(yīng)頻率為5kHz的三軸加速度計，監(jiān)測軸箱振動情況，另配有包含不間斷電源、移動電腦和信號采集儀的信號采集系統(tǒng)，如圖3所示。測試時，車輛為6節(jié)編組，處于AW0空載工況，以自主駕駛運行模式運行線路全程。全程約28km，停靠15站，總運行時長約為2 880s，最高時速為75km·h-1，平均時速約為35km·h-1。

3.2 實測應(yīng)力的統(tǒng)計分析

圖3 軸箱吊耳振動測試圖Fig.3 Picture of vibration test of axle box lug

雨流計數(shù)法可以識別在復(fù)雜載荷序列中與恒幅疲勞數(shù)據(jù)相似的規(guī)律［13］，在工程界廣泛應(yīng)用于估算疲勞壽命和編制疲勞試驗載荷譜。這種方法是模擬雨滴落到塔頂和塔頂邊緣落下的過程，它以二參數(shù)法為基礎(chǔ)，同時考慮動強度和靜強度，即應(yīng)力幅值和均值，符合疲勞載荷的作用特性。根據(jù)軸箱吊耳根部的實測應(yīng)力，運用雨流計數(shù)法對其進(jìn)行計數(shù)，得到結(jié)果如圖4所示。

軸箱吊耳的材料牌號是ZG230-450，即屈服強度為230MPa、抗拉強度為450MPa的鑄鋼，這是鐵路常用材料之一。以Basquin方程表達(dá)存活概率為0.95、置信度為95%的S-N曲線［14］，如下：

計算可得，當(dāng)循環(huán)次數(shù)達(dá)到107時，疲勞極限約為176.5MPa。由圖4可以發(fā)現(xiàn)，吊耳根部所受的應(yīng)力幅并未超過其材料的屈服強度，但已超過材料的疲勞極限，可以推斷在吊耳根部已產(chǎn)生疲勞損傷。

根據(jù)名義應(yīng)力法［13］，通過獲取危險部位的響應(yīng)應(yīng)力譜，結(jié)合材料S-N曲線，運用疲勞損傷累計理論可計算得到零部件的疲勞壽命。對實測應(yīng)力的損傷計數(shù)結(jié)果如圖5所示。單次里程所產(chǎn)生的損傷值約為0.000 160，則根據(jù)單次里程換算，得到實測應(yīng)力下的壽命里程約為17.50萬km，與裂紋發(fā)生的實際統(tǒng)計里程相近。

圖5 實測應(yīng)力的損傷計數(shù)結(jié)果Fig.5 Damage counting result of measured stress

3.3 軸箱吊耳振動環(huán)境歸納

圖6 為軸箱橫向及垂向的振動時域數(shù)據(jù)。對其時域數(shù)據(jù)作初步處理：修正零漂、剔除奇異點、刪除?？繒r段等。為了判斷所采集的數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，對處理后的軸箱振動時域數(shù)據(jù)分別計算并繪制其概率分布圖（Q-Q圖）和頻數(shù)分布直方圖，如圖7所示。由Q-Q圖可以發(fā)現(xiàn)，橫向及垂向的中段數(shù)據(jù)能較好地貼合標(biāo)準(zhǔn)直線，其中標(biāo)準(zhǔn)直線的斜率為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，截距為數(shù)據(jù)的均值。由頻數(shù)分布直方圖可以發(fā)現(xiàn)，橫向及垂向的數(shù)據(jù)分布也大致呈現(xiàn)正態(tài)規(guī)律。由此可以判斷，處理后的橫向及垂向振動時域數(shù)據(jù)均近似服從正態(tài)分布。

采用本文提出的隨機振動環(huán)境歸納方法，取置信度為99.5%、分位點為0.90，對預(yù)處理和檢驗后的軸箱振動數(shù)據(jù)進(jìn)行容差上限估計，并繪制實測譜和規(guī)范譜。依據(jù)軸箱吊耳安裝位置和質(zhì)量，可查閱到橫向和垂向的加速度功率譜密度量級標(biāo)稱值分別為7.0m2·s-4·Hz-1和8.74m2·s-4·Hz-1，10～20Hz頻帶內(nèi)以每頻程9dB斜率上升，大于100Hz的頻帶內(nèi)以每頻程6dB斜率衰減至最大計算頻率，繪制出IEC61373標(biāo)準(zhǔn)譜［15］，如圖8所示。歸納得到的實測譜可用于仿真計算，而由簡單折線組成的規(guī)范譜可用于實驗室環(huán)境下的模擬試驗。由圖8可以發(fā)現(xiàn)，歸納得到的實測譜與規(guī)范譜趨勢相近，而它們與IEC61373標(biāo)準(zhǔn)譜有顯著差異，證實標(biāo)準(zhǔn)譜無法表現(xiàn)該線路條件下的軸箱吊耳的振動環(huán)境特征；橫向及垂向的實測譜分別在400～600Hz和400～500Hz頻段內(nèi)有遠(yuǎn)高于標(biāo)準(zhǔn)譜的特征峰值，根據(jù)運行時速換算，可得軌道不平順波長在十幾毫米至幾十毫米范圍內(nèi)，屬于短波不平順，典型有波紋磨耗和波浪形磨耗［16］，這可能引起軸箱吊耳在此頻段內(nèi)的異常振動表現(xiàn)。

圖6 軸箱振動時域數(shù)據(jù)Fig.6 Time domain data of axle box vibration

3.4 疲勞仿真計算

為了驗證軸箱振動環(huán)境歸納譜用于軸箱吊耳疲勞壽命估計的精度，根據(jù)測試對象的幾何參數(shù)，建立軸箱端蓋和吊耳裝配體模型，采用四面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，其中軸箱端蓋的節(jié)點數(shù)為45 275，單元數(shù)為196 146；吊耳的節(jié)點數(shù)為6 184，單元數(shù)為24 199，材料均為ZG230-450，式（18）即為其S-N曲線。端蓋和吊耳之間在2個螺栓孔建立相互約束，端蓋由周圍4個螺栓孔固定約束。

首先，計算軸箱吊耳在2 000Hz內(nèi)的模態(tài)振型。計算結(jié)果如圖9所示，分別為一階橫彎453.5Hz、一階縱彎893.7Hz、一階扭轉(zhuǎn)983.3Hz和二階橫彎1 821.9Hz。一般低階模態(tài)振型最容易被激起，對振動系統(tǒng)產(chǎn)生的影響最大。可以發(fā)現(xiàn)，一階橫彎的頻率處于歸納得到的實測譜的特征峰值頻段內(nèi)，且根據(jù)振型變化可以判斷吊耳根部為應(yīng)力集中區(qū)。由此，可初步認(rèn)為，短波不平順引起的異常峰值可能是造成軸箱吊耳共振進(jìn)而誘發(fā)疲勞斷裂的主要原因。

圖7 軸箱振動數(shù)據(jù)正態(tài)分布檢驗Fig.7 Normality test of axle box vibration data

圖8 軸箱振動環(huán)境歸納結(jié)果Fig.8 Induction result of vibration environment of axle box

圖9 軸箱吊耳模態(tài)振型Fig.9 Modals of axle box lug

根據(jù)上述頻域疲勞分析理論，將實測譜與規(guī)范譜分別作為輸入激勵，橫、垂向激勵同時作用于結(jié)構(gòu)，計算軸箱吊耳的疲勞壽命。將計算疲勞循環(huán)次數(shù)設(shè)定為1012次，通常超過107次疲勞循環(huán)即可認(rèn)為是無限壽命。如圖10所示，可以發(fā)現(xiàn)吊耳根部的循環(huán)次數(shù)遠(yuǎn)低于其他部位，且與實際斷裂位置吻合；實測譜與規(guī)范譜激勵下的最低疲勞循環(huán)次數(shù)分別為103.788次和103.815次。根據(jù)單次里程換算，得到實測譜與規(guī)范譜作為輸入激勵的壽命里程約為17.19萬km和18.29萬km。與實測應(yīng)力下的壽命里程作對比，實測譜與規(guī)范譜激勵下的壽命里程的相對誤差分別為1.8%和4.3%。證實歸納譜用于車輛設(shè)備疲勞壽命估計的精度滿足工程應(yīng)用的要求。

圖10 軸箱吊耳疲勞計算結(jié)果Fig.10 Fatigue calculation result of axle box lug

4 結(jié)論

（1）提出的車輛設(shè)備振動環(huán)境歸納方法能夠合理準(zhǔn)確地對車輛振動環(huán)境數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，但在應(yīng)用時需要對采用的數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗。

（2）采用本文提出的方法對車輛設(shè)備的振動環(huán)境數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納后得知，實測譜與規(guī)范譜趨勢相近，與IEC61373標(biāo)準(zhǔn)譜有顯著差異，能夠表現(xiàn)實際線路條件下的車輛設(shè)備振動環(huán)境特征，可作為仿真或試驗的輸入信號。

（3）通過與試驗結(jié)果對比驗證，實測譜與規(guī)范譜作為仿真輸入的壽命里程的相對誤差分別為1.8%和4.3%，證實基于振動環(huán)境歸納的車輛設(shè)備疲勞壽命估計方法具有較準(zhǔn)確的預(yù)測性和較高的工程應(yīng)用價值。