胡貴平

摘?要：有向線段的定比分點(diǎn)是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4知識(shí)點(diǎn)，妙用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，解法新穎，可以極大開拓思維，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：定比分點(diǎn);坐標(biāo)公式;巧解

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0033-03

P1P=λPP2，λ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比，當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，λ>0;當(dāng)點(diǎn)P在線段P1P2或P2P1的延長線上時(shí)，λ<0.定比分點(diǎn)向量式OP=11+λOP1+λ1+λOP2，定比分點(diǎn)坐標(biāo)式x=x1+λx21+λ，y=y1+λy21+λ（λ≠-1）.定比分點(diǎn)公式揭示了直線上點(diǎn)的位置與數(shù)量變化之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，靈活應(yīng)用這個(gè)公式，可使解題過程簡潔明快，充分展現(xiàn)思維的獨(dú)創(chuàng)性.下面舉例說明它在解題中的應(yīng)用.

一、證明不等式

例1?（選修4-5第29頁第4題）已知a>b>c，求證1a-b+1b-c+1c-a>0.

證明?因?yàn)閍>b>c，設(shè)b=c+λa1+λ，則λ>0，

所以1a-b+1b-c+1c-a=1a-c+λa1+λ+1c+λa1+λ-c+1c-a=（a-c）（1+λ+1λ）>0.

例2?（選修4-5第21頁例2）如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為ab.若上述溶液中再添加m kg白糖，此時(shí)糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)增加到a+mb+m.將這個(gè)事實(shí)抽象為數(shù)學(xué)問題，并給出證明.

解?可以把上述事實(shí)抽象成如下不等式問題：

已知a，b，m都是正數(shù)，并且a<b，則a+mb+m>ab.

下面用定比分點(diǎn)給出證明.

a+mb+m=ab+mb·11+mb，設(shè)λ=mb，在x軸上取P1（ab，0），P（a+mb+m，0），P2（1，0）點(diǎn)，因?yàn)閍，b，m都是正數(shù)，且a<b，所以λ>0，點(diǎn)P是點(diǎn)P1和點(diǎn)P2的內(nèi)分點(diǎn)，所以a+mb+m>ab.

例3?（選修4-5第29頁第4題）設(shè)x，y為正數(shù)，且x+y=1，證明（1x2-1）（1y2-1）≥9.

證明?因?yàn)閤+y=1，所以0<x<1，0<y<1.設(shè)x=λ1+λ，則y=1-x=11+λ（λ>0），

所以（1x2-1）（1y2-1）=（1+2λ+λ2λ2-1）（λ2+2λ）=5+2λ+2λ≥5+22λ·2λ=9，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1，即x=y=12時(shí)，取得等號(hào).

評(píng)注?若證明的不等式可變形或者構(gòu)造出a+bg（x）1+g（x）部分，可以考慮應(yīng)用定比分點(diǎn)公式來證明.

二、解不等式

例4?（2015江蘇）解不等式x+2x+3≥2.

解?原不等式可化為在x軸上2x+3≥-x+2，在x軸上取P1（x-2，0），P（2x+3，0），P2（-x+2，0）點(diǎn)，則定比λ=P1PPP2=2x+3-（x-2）-x+2-（2x+3）=x+5-3x-1.當(dāng)x=-5時(shí)，λ=0，原不等式等號(hào)成立;當(dāng)x=-13時(shí)，λ不存在，原不等式等號(hào)成立;當(dāng)x≠-5，x≠-13時(shí)，點(diǎn)P外分P1P2的定比λ<0，即x+5-3x-1<0，即（3x+1）（x+5）>0，所以x<-5，或x>-13.綜上，原不等式的解集為xx≤-5，或x≥-13.

例5?解不等式1<x2-2x-1x2-2x-2<2.

解?在x軸上取P1（1，0），P（x2-2x-1x2-2x-2，0），P2（2，0）點(diǎn)，則點(diǎn)P內(nèi)分P1P2的定比λ>0， λ=P1PPP2=x2-2x-1x2-2x-2-12-x2-2x-1x2-2x-2=1x2-2x-3，所以1x2-2x-3>0，即x2-2x-3>0，所以x<-1或x>3，故原不等式的解集為xx<-1，或x>3.

評(píng)注?形如f（x）>m、f（x）<m，以及a<f（x）<b的不等式，都可以考慮應(yīng)用定比分點(diǎn)公式解決.

三、數(shù)列

例6?（必修5第46頁第3題）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，求證S6，S12-S6，S18-S12也成等差數(shù)列.

證明?由Sn=na1+n（n-1）2d，得Snn=a1+（n-1）d2，所以Snn是等差數(shù)列.取共線三點(diǎn)的P1（6，S66），P（18，S1818），P2（12，S1212），設(shè)點(diǎn)P分P1P2的定比為λ，則18=6+12λ1+λ，S1818=S66+S1212λ1+λ.所以λ=-2，S1818=S66+S1212（-2）1-2，即S18=3S12-S6，所以S6+（S18-S12）=S6+（3S12-S6）-S12=2（S12-S6），故S6，S12-S6，S18-S12也成等差數(shù)列.

例7?（2015重慶理）在等差數(shù)列an中，若a2=4，a4=2，則a6=（）.

A.-1B.0C.1D.6

解?數(shù)列an是等差數(shù)列，取共線三點(diǎn)的P1（2，4），P（6，a6），P2（4，2），設(shè)點(diǎn)P分P1P2的定比為λ，則6=2+4λ1+λ，a6=4+2λ1+λ.所以λ=-2，a6=0.

評(píng)注?數(shù)列an是等差數(shù)列，則Snn也是等差數(shù)列，它們中的項(xiàng)都是直線上孤立的點(diǎn)，共線三點(diǎn)就可以考慮定比分點(diǎn).

四、解析幾何

例8?（必修2第90頁第6題） 經(jīng)過點(diǎn)P（0，-1）作直線l，若直線l與連接A（1，-2），B（2，1）的線段總有公共點(diǎn)，找出直線l的傾斜角α與斜率k的取值范圍，并說明理由.

解?顯然直線l的傾斜角α≠90°，設(shè)直線l的方程為y=kx-1，點(diǎn)M是直線l與線段AB的交點(diǎn)，則點(diǎn)M內(nèi)分AB（M與B不重合）的定比λ≥0，此時(shí)M（1+2λ1+λ，-2+λ1+λ）.又點(diǎn)M在直線l上，所以-2+λ1+λ=k（1+2λ1+λ）-1，解得λ=k+12-2k ，所以k+12-2k≥0，即-1≤k≤1.因此，傾斜角的范圍是0°≤α≤45°，或135°≤α<180°.

例9?（必修2第89頁第5題）已知A（1，2），B（-1，0），C（3，4）三點(diǎn)，這三點(diǎn)是否在同一條直線上，為什么？

解?設(shè)C′（3，y）是直線AB上一點(diǎn)，C′分AB的定比λ，則3=1-λ1+λ，y=21+λ.解得λ=-12，y=4.所以C′（3，y）和C（3，4）重合，所以三點(diǎn)是在同一條直線上.

評(píng)注?直線上的三點(diǎn)是定比分點(diǎn)的典型形式.

五、函數(shù)

例10?（2005江蘇）函數(shù)y=log0.5（4x2-3x）的定義域?yàn)?

解?由題意，得log0.5（4x2-3x）≥0.則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得0<4x2-3x≤1.

在x軸上取P1（0，0），P（4x2-3x，0），P2（1，0）點(diǎn)，則點(diǎn)P分P1P2的定比λ=P1PPP2=4x2-3x1-（4x2-3x）=x（4x-3）-（x-1）（4x+1）.當(dāng)x=0時(shí)，λ=0，函數(shù)沒有意義;當(dāng)x=1，x=-14時(shí)，λ不存在，函數(shù)有意義;當(dāng)x≠0，x≠1，x≠-14時(shí)，點(diǎn)P內(nèi)分P1P2的定比λ>0，即x（4x-3）-（x-1）（4x+1）>0，即x（4x-3）（x-1）（4x+1）<0，所以-14<x<0，或34<x<1.綜上，求得函數(shù)的定義域?yàn)閇-14，0）∪（34，1].

例11?求函數(shù)y=1+cosx3-2cosx的值域.

解?由y=1+cosx3-2cosx，得y=13+（-12）（-23cosx）1+（-23cosx）.取三點(diǎn)的P1（13，0），P（y，0），P2（-12，0），則點(diǎn)P分P1P2的定比λ=-23cosx.所以λ∈-23，23.當(dāng)λ=-23時(shí)，ymax=2;當(dāng)λ=23時(shí)，ymin=0，故函數(shù)y=1+cosx3-2cosx的值域?yàn)?，2.

例12?當(dāng)x為何值時(shí)，y=x2-6x+10+x2+4有最小值，并求此最小值.

解?由y=x2-6x+10+x2+4，得y=（x-3）2+1+x2+4.取三點(diǎn)的P1（3，1），P（x，0），P2（0，-2），問題轉(zhuǎn)化為在x軸上求一點(diǎn)P，使P1P+PP2的值最小.當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，P1P+PP2的值最小.設(shè)點(diǎn)P分P1P2的定比為λ，則x=3+λ·01+λ，0=1-2λ1+λ.解得x=2，λ=12.所以當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值，ymin=22-6×2+10+22+4=32.

評(píng)注?函數(shù)能夠化為形如y=a+bg（x）1+g（x）求值域，可以考慮用定比分點(diǎn)求解;形如y=x2+bx+c±x2+dx+e的函數(shù)最值，轉(zhuǎn)化成距離問題后，再用定比分點(diǎn)求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（ 必修）數(shù)學(xué)4[M].北京：人民教育出版社，2017.

[責(zé)任編輯：李?璟]