王少英

摘要：本文研究了汽車電子助力轉(zhuǎn)向（EPS）減速器中蝸桿球面螺旋線的成型原理，并且對球面螺旋線按照質(zhì)點成型運動原理進行數(shù)學(xué)建模。根據(jù)螺旋曲面的形成原理，構(gòu)建基于端面型線的新的球面螺旋面模型;研究了球面螺旋線和球面螺旋面的特征參數(shù);運用MATLAB編程通過數(shù)值計算和函數(shù)可視化功能，得到球面螺旋線。

關(guān)鍵詞：球面螺旋面;成型原理;MATLAB編程;端面型線;模型

0? 引言

EPS（汽車電子助力轉(zhuǎn)向）中的減速器主要起降低速度和增加轉(zhuǎn)矩的作用，因此常用蝸輪蝸桿減速器?，F(xiàn)在常用的渦輪蝸桿機構(gòu)主要有效率低、摩擦因數(shù)較高、潤滑效果不好，熱量大等缺點。而利用球面螺旋面做蝸桿螺旋面可以提高傳動效率，使結(jié)構(gòu)緊湊、動作靈活，降低摩擦。EPS中蝸桿的球面螺旋面模型如何構(gòu)建是這種新型蝸桿球面螺旋面的關(guān)鍵技術(shù)。

螺旋曲面的種類有許多種，對不同的螺旋曲面其成形原理和數(shù)學(xué)建模都有區(qū)別，對螺旋曲面統(tǒng)一的成形原理和模型的構(gòu)建缺少系統(tǒng)研究，對特殊類的螺旋曲面比較復(fù)雜的球面螺旋面對其運動的成形原理和數(shù)學(xué)模型的研究也鮮有報道。為此，通過對螺旋曲線和曲面的成形原理以及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建入手，引出球面螺旋面的成形運動原理與模型的構(gòu)建。

1? 球面螺旋線的成形原理

球面螺旋線的成形運動為質(zhì)點在兩個圓周運動的組合下按照一定的運動規(guī)律形成的，即為第三類（CC）螺旋曲線。

球面螺旋線的成形特征是有兩個圓周運動合成的運動形式，是一種光滑的螺旋曲線，它的形成是由質(zhì)點在動坐標(biāo)系中繞原點以某一參數(shù)作圓周運動，并同時動坐標(biāo)系又在定坐標(biāo)系中繞一軸以某一參數(shù)作圓周運動。如圖1所示。

2? 基于質(zhì)點成形運動的球面螺旋線數(shù)學(xué)模型建立

根據(jù)球面螺旋線的成形原理，通過給定相應(yīng)的參數(shù)就可以得到球面螺旋線的數(shù)學(xué)方程。兩個圓周運動合成的球面螺旋面：規(guī)定初始位置動坐標(biāo)系與定坐標(biāo)系的Y軸重合，動系相對于定系繞Y軸轉(zhuǎn)過λ角度，母線繞著動坐標(biāo)系Y軸，以參數(shù)等于β0做圓周運動，動系繞定系X軸做參數(shù)為α0的圓周運動。

根據(jù)運動成形原理，可以得到在歐式空間內(nèi)的轉(zhuǎn)換矩陣：

取質(zhì)點的初始坐標(biāo)為（0，r，0）得到球面螺旋線的方程：

球面螺旋線的特征是復(fù)雜的，在成形過程中為了降低球面螺旋線的復(fù)雜度，在構(gòu)造球面螺旋線時保持一般螺旋線的特征有利于對球面螺旋線的研究，其中一個重要參數(shù)就是螺旋角，螺旋角的恒定是螺旋曲線中的一個重要特征，為保持球面螺旋線的螺旋角是一個定值即為等螺旋角的球面螺旋線，因此，此螺旋線的方程滿足：

依據(jù)對球面螺旋線的定義和成形原理結(jié)合以及前面的數(shù)學(xué)模型運用MATLAB編程通過數(shù)值計算和函數(shù)可視化功能，得到如圖2所示的球面螺旋線，其中圖2（a）為編程代碼，圖2（b）為球面螺旋線的成形。

3? 基于端面型線沿球面螺旋線運動的球面螺旋面數(shù)學(xué)模型

質(zhì)點和直線（或曲線）的成形運動分別是球面螺旋線與球面螺旋面的成形原理。若想獲得球面螺旋面方程的數(shù)學(xué)模型，只需將端面為質(zhì)點的球面螺旋線替換成端面為直線（曲線）的端面形線，以原球面螺旋線為軌跡的端面形線，運動成形為球面螺旋面。如圖3所示，其中圖3（a）為球面螺旋線，圖3（b）為球面螺旋面。

取球面螺旋面的端面型線通用數(shù)學(xué)方程為：

依據(jù)球面螺旋面的成形原理，將球面螺旋面端面型線的方程（4）聯(lián)合空間矩陣轉(zhuǎn)換方程（1）得到球面螺旋面的數(shù)學(xué)方程式為：

最后化簡方程式得到：

其中：公式中的參數(shù)λ為常數(shù)，表示動坐標(biāo)系OX’Y’Z’相對固定坐標(biāo)系OXYZ繞Z軸轉(zhuǎn)過的角度，并且角度參數(shù)滿足關(guān)系：■。根據(jù)球面螺旋面的端面型線方程（4）中三個參數(shù)的不同取值可以獲得不同球面螺旋面。

4? 小結(jié)

利用球面螺旋面做蝸桿螺旋面可以提高傳動效率，降低摩擦，因此主要分析研究了EPS（汽車電子助力轉(zhuǎn)向）中球面螺旋面蝸桿的新型螺旋面模型構(gòu)建。文章首先根據(jù)螺旋曲線的基于質(zhì)點成形原理研究螺旋曲面的成形與端面型線的關(guān)系，再根據(jù)曲面成形原理得到螺旋曲面的成形原理和分類，并分別給出了螺旋面的數(shù)學(xué)方程。

最后，根據(jù)對螺旋曲線的成形運動特點，直線運動與圓周運動的組合形式變換得到了球面螺旋線和球面螺旋面的成形運動特點，根據(jù)球面螺旋線的成形運動形式，構(gòu)建了球面螺旋線的模型，根據(jù)球面螺旋面的成形運動原理構(gòu)建了球面螺旋面的模型。

參考文獻：

[1]楊斌，張茂，等.Pro/E 在復(fù)雜曲面造型設(shè)計中的應(yīng)用[J].機電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2004（4）：57-58.

[2]Li Z， Liu Q. Surface topography and roughness in hole-making by helical milling[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2013， 66（9-12）： 1415-1425.

[3]Kang S K， Ehmann K F， Lin C. A CAD approach to helical groove machining— I.mathematical model and model solution[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 1996， 36（1）： 141-153.

[4]Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces[M].China Machine Press， 2004， 3.

[5]李蕾，馮顯英，張成梁，等.滾珠型弧面凸輪分度機構(gòu)動力學(xué)模型建立及模態(tài)分析[J].振動與沖擊，2012，31（16）：62-65.