張金梅

摘? 要：小學(xué)生的思維方式受年齡和心理特征的影響，以形象思維占主導(dǎo)。因此，不少學(xué)生在遇到抽象的數(shù)學(xué)概念或運(yùn)算時(shí)，常出現(xiàn)空間想象力缺乏、辨認(rèn)困難等障礙。而運(yùn)算是最基本的數(shù)學(xué)能力之一，教師該如何引導(dǎo)學(xué)生以直觀之形為基礎(chǔ)，逐漸掌握并運(yùn)用運(yùn)算定律，形成有序思考問(wèn)題的習(xí)慣呢？文章就這個(gè)問(wèn)題談一些想法。

關(guān)鍵詞：直觀之形;運(yùn)算;思維

數(shù)學(xué)的直觀之形一般指直觀可見(jiàn)的內(nèi)容，具有直觀性、形象性等特征，基本歸屬于經(jīng)驗(yàn)幾何的范疇，以幾何與圖形的方式呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一。針對(duì)小學(xué)生的身心特征和思維方式，怎樣利用直觀之形協(xié)助數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，是我們每個(gè)專業(yè)教師值得思考的問(wèn)題之一。學(xué)生可通過(guò)觀察、操作直觀之形增加感知，然后在此基礎(chǔ)上比較、分析并總結(jié)，從而掌握運(yùn)算方法，形成較好的數(shù)學(xué)思維，這是一個(gè)從具體到抽象的過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)之形與運(yùn)算的關(guān)系

小學(xué)階段認(rèn)識(shí)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)等知識(shí)，無(wú)不以運(yùn)算這條主線貫穿整個(gè)過(guò)程，而其他的一些內(nèi)容則是圍繞運(yùn)算這條主線而展開(kāi)。仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)編者安排的各部分內(nèi)容、習(xí)題以及思考題等，都尊重了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，借助了大量的圖形或生活實(shí)例讓學(xué)生通過(guò)直觀的數(shù)學(xué)之形更好地掌握運(yùn)算方法。

1. 借助直觀之形，理解運(yùn)算意義

從發(fā)展心理學(xué)角度出發(fā)，低年級(jí)學(xué)生以直觀形象思維為主，對(duì)抽象的運(yùn)算意義難以理解。對(duì)于一二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，乘法的概念過(guò)于抽象，憑純粹的理論，大部分學(xué)生難以理解其真正的內(nèi)涵。若借助直觀的數(shù)學(xué)圖形，則能一目了然地看出加法與乘法之間的關(guān)系。因此，在一二年級(jí)的教材中只安排了整數(shù)四則運(yùn)算的內(nèi)容。便于學(xué)生依托直觀生動(dòng)的實(shí)際圖形或物體展開(kāi)思考，通過(guò)直觀的感知和身臨其境的操作將數(shù)與數(shù)合在一起進(jìn)行運(yùn)算。

例1：以“乘法的初步認(rèn)識(shí)”為例（見(jiàn)圖1）。

圖形組合讓學(xué)生對(duì)加法和乘法有了更直觀的認(rèn)識(shí)，突出相同數(shù)字連續(xù)相加和乘法的運(yùn)算關(guān)系。學(xué)生在“3”和“5”兩個(gè)數(shù)的連續(xù)相加中，會(huì)自然而然地使用幾個(gè)“3”或幾個(gè)“5”相加的言語(yǔ)表達(dá)數(shù)量關(guān)系，完成從圖形到語(yǔ)言，再到抽象化概念的過(guò)程，乘法運(yùn)算的定義也自然而然地生成。

2. 借助直觀之形，理解運(yùn)算算理

學(xué)生運(yùn)算能力的強(qiáng)弱取決于運(yùn)算方法的掌握和算理的理解程度。算理就是運(yùn)算的原理，它是運(yùn)算方法的基礎(chǔ)。若沒(méi)有理解算理，就無(wú)法真正掌握算法，更談不上運(yùn)算技能。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生將算法與算理有機(jī)地融合，遇到題目不僅會(huì)運(yùn)算，還明白這么算的原因是什么。為了讓學(xué)生真正地理解算理，教材中也精心選擇了一些直觀可操作性的圖片和材料（小棒、圖形、錢幣等），學(xué)生借助這些直觀可見(jiàn)，具有可操作性的“形”，加上已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將抽象化的算理轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^具體化容易理解的內(nèi)容。

例2：以“100以內(nèi)加減法豎式計(jì)算”為例（見(jiàn)圖2）。

教材選用了直觀便于操作的小棒，讓學(xué)生在圖形中找出抽象的豎式關(guān)系，從而明確豎式計(jì)算的對(duì)齊方法以及同位數(shù)才可以相加的規(guī)則。學(xué)生通過(guò)形和數(shù)的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)直觀思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化。

3. 借助直觀之形，提升運(yùn)算能力

想提高學(xué)生的運(yùn)算能力，離不開(kāi)運(yùn)算練習(xí)，而枯燥單一的運(yùn)算練習(xí)，很容易讓學(xué)生的思維陷入僵化的狀態(tài)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，教材編排時(shí)，增加了不少的數(shù)形內(nèi)容，為學(xué)生提供更多的思維空間，以豐富運(yùn)算練習(xí)，提升運(yùn)算能力。

例3：以“兩位數(shù)乘一位數(shù)”章節(jié)中一道練習(xí)題為例（見(jiàn)圖3）。

通過(guò)圖形理解“10×8”這個(gè)算式，比單純的理論更直觀，學(xué)生通過(guò)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維能力，閱讀圖形就能給出相應(yīng)的算式。算式與圖形的互譯讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀圖，理解算式的真正算理，結(jié)合圖形從多角度思考問(wèn)題，不知不覺(jué)中就提升了運(yùn)算能力。

二、數(shù)學(xué)之形在運(yùn)算中的作用

1. 以形助教，發(fā)展抽象思維

孔凡哲曾說(shuō)過(guò)：“小棒類的圖形或?qū)嵨飳儆谧钪苯拥闹庇^抽象，它能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系與屬性?！毙睦韺W(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段低年級(jí)的學(xué)生想要理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，需借助實(shí)際物品逐漸轉(zhuǎn)向替代物完成抽象;小學(xué)中年級(jí)的學(xué)生逐漸淡化實(shí)物的直觀化，轉(zhuǎn)向于幾何圖形來(lái)理解數(shù)學(xué)運(yùn)算;而小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生則更注重于數(shù)與形之間的關(guān)系，通過(guò)現(xiàn)象獲得運(yùn)算的本質(zhì)。由此可見(jiàn)，小學(xué)生的思維隨著年齡的增長(zhǎng)和知識(shí)儲(chǔ)備的豐富，會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)因材施教，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)教學(xué)方案靈活地進(jìn)行調(diào)整。

例4：以“運(yùn)算律”的教學(xué)為例（見(jiàn)圖4）。

運(yùn)算律的教學(xué)，可根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展水平，借助其生活情境及抽象程度稍高一些的圖形直觀、動(dòng)態(tài)的演示，引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)算律。例如，“加法交換律”，可以在實(shí)數(shù)直線上表示數(shù)“a”和數(shù)“b”，使用箭頭演示a+b和b+a的動(dòng)態(tài)。學(xué)生可在實(shí)數(shù)直線上觀察到這兩個(gè)加法的變化與位置無(wú)關(guān);兩個(gè)加數(shù)的位置交換，和依然不變。

例5：以“表內(nèi)乘除法”的教學(xué)為例（見(jiàn)圖5）。

學(xué)生從圖5的設(shè)計(jì)可獲得正方形圖形和運(yùn)算之間的聯(lián)系和各個(gè)算式之間的關(guān)系。這張圖帶給學(xué)生以下信息：乘法算式和正方形圖是有關(guān)系的;不同顏色的小方格可列出加法算式;一幅圖可列出兩種算式。教師引導(dǎo)學(xué)生比較加法算式和乘法算式，思考同一幅圖為什么會(huì)列出不一樣的算式，這兩個(gè)算式之間的關(guān)系是怎樣的，他們之間有什么樣的聯(lián)系。學(xué)生在比較和思考中逐漸感知加法和乘法算式兩者的內(nèi)在聯(lián)系，圖形與運(yùn)算相結(jié)合的方式，對(duì)學(xué)生抽象思維的發(fā)展起到明顯的促進(jìn)作用。

2. 以形助教，獲得數(shù)形結(jié)合的感悟

直觀之形廣泛地運(yùn)用于數(shù)學(xué)運(yùn)算中，不但幫助學(xué)生理解了抽象的數(shù)學(xué)定義、法則和算理，還是學(xué)生形成良好數(shù)形結(jié)合感悟的媒介。以形助教是小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的方法，學(xué)生在直觀之形和算式之間建立聯(lián)系，逐漸完成形象思維向抽象思維的過(guò)渡。教師在使用以形助教過(guò)程中要根據(jù)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔ谶m當(dāng)?shù)臅r(shí)候呈現(xiàn)具體的直觀之形，巧妙地將直觀之形和算式之間建立聯(lián)系，達(dá)到以形助運(yùn)算之效。

例6：以“表內(nèi)乘法”中的一道思考題為例（見(jiàn)圖6）。

此題的目的在于讓學(xué)生通過(guò)觀察，構(gòu)建“圖形——數(shù)字——算式”的模型，根據(jù)圖中的規(guī)律，獲得數(shù)形結(jié)合的感悟。

例7：“解決問(wèn)題的策略”中的一道習(xí)題（見(jiàn)圖7）。

學(xué)生對(duì)正方形和數(shù)都有了一定的感知后，根據(jù)形與式的關(guān)系，逐漸形成數(shù)形結(jié)合的思想。

3. 以形助教，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

學(xué)生通過(guò)直觀之形的觀察與操作，形成新的認(rèn)知后，教師需根據(jù)學(xué)生的身心發(fā)展特征，引導(dǎo)學(xué)生從多角度出發(fā)，將直觀的形和抽象的運(yùn)算緊密結(jié)合，使用各種方式加以表征，逐步形成“動(dòng)作思維——形象思維——抽象思維”的過(guò)渡。

以“100以內(nèi)的加減法”為例，學(xué)生在使用小棒擺放的過(guò)程中，教師可根據(jù)學(xué)生年齡特征，引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)操作過(guò)程。如鼓勵(lì)低年級(jí)的學(xué)生邊操作邊表述，學(xué)生不知不覺(jué)就將直觀操作的經(jīng)驗(yàn)遷移到運(yùn)算中，從而理解算理，完成算法。針對(duì)中、高年級(jí)的學(xué)生，可在語(yǔ)言表征的同時(shí)引入一些符號(hào)圖形，鼓勵(lì)學(xué)生加以表征。如高年級(jí)的“分?jǐn)?shù)乘法”內(nèi)容的教學(xué)，教師可先將乘法算式呈現(xiàn)給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義使用圖形來(lái)演繹算式的意義，再根據(jù)圖形分析分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的算理，反復(fù)多次以后，用字母符號(hào)概括出分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的規(guī)律。學(xué)生在此過(guò)程中，逐漸形成新的數(shù)學(xué)思維。

蘇娜丹戴克曾說(shuō)過(guò)：“若告訴我，我會(huì)忘記;若給我看，我會(huì)記住;若讓我參與，我會(huì)理解?！敝挥薪?jīng)過(guò)學(xué)生加工內(nèi)化的知識(shí)，才是屬于學(xué)生自己的知識(shí)。在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中，教師可借助教材或生活中的各種直觀之形，組織學(xué)生通過(guò)言語(yǔ)表達(dá)，形成有序思考的能力，實(shí)現(xiàn)低思維水平到高思維水平的過(guò)渡。