周澤楠

摘要：中國(guó)對(duì)于律學(xué)的研究有著悠久的歷史，在繆天瑞先生的《律學(xué)》一書中他就根據(jù)中國(guó)律學(xué)的發(fā)展特點(diǎn)，將律學(xué)史分為了四個(gè)時(shí)期。分別是三分損益律發(fā)現(xiàn)時(shí)期、探求新律時(shí)期、十二平均律發(fā)明時(shí)期和律學(xué)研究新時(shí)期。而在研究律學(xué)史的時(shí)候，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)由于其他律制本身存在一些缺陷，十二平均律的出現(xiàn)似乎是必然的，就讓我們通過研究前三個(gè)時(shí)期的律制來(lái)談?wù)勈?平均律的科學(xué)性。

關(guān)鍵詞：律學(xué);三分損益法;十二平均律

春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期是三分損益的發(fā)現(xiàn)時(shí)期。在這個(gè)時(shí)期內(nèi)，對(duì)于三分損益法最早的記載見于《管子·地員篇》（公元前475-前221年）。管仲在此書中提到：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無(wú)有三分而去其乘，適足，以是生商。有三分，而復(fù)于其所，以是成羽。有三分，去其乘，適足，以是成角。”

這段文字從數(shù)理的角度將宮、商、角、徵、羽五音的音高進(jìn)行了說(shuō)明，用數(shù)學(xué)公式表示出來(lái)就是：

宮1×3-4=81

徵81×4/3=108

商108×2/3=72

羽72×4/3=96

角96×2/3=64

實(shí)際上，這個(gè)公式計(jì)算的是管長(zhǎng)，將一根管平分為三等分，長(zhǎng)度增加管長(zhǎng)的三分之一，則音高比之前低純四度，而減少原管的三分之一，則聲音比原來(lái)高純五度。宮商角徵羽構(gòu)成的五聲調(diào)式音階的音高正是根據(jù)這管長(zhǎng)來(lái)決定的。

由于音樂不可能只用五個(gè)固定的音高進(jìn)行創(chuàng)作，隨著古代音樂的發(fā)展，人們?yōu)榱藵M足需要，便在五聲調(diào)式音階的基礎(chǔ)上繼續(xù)使用三分損益法進(jìn)行生律，加入了變徵和變宮兩個(gè)偏音，構(gòu)成了七聲調(diào)式音階。但隨后人們又發(fā)現(xiàn)，一旦移動(dòng)了這幾個(gè)固定音的高度，就會(huì)造成移調(diào)的問題，所以為了能夠旋宮轉(zhuǎn)調(diào)，隨后又生出五律，使一個(gè)八度內(nèi)包含12個(gè)音，得到了我國(guó)最早的十二律。呂不韋所編撰的《呂氏春秋-音律篇》（公元前239年）對(duì)此亦有所記載：

“黃鐘生林鐘……三分所生，益之一分以上生;三分所生，去其一分以下生。黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓為上;林鐘、夷則、南呂、無(wú)射、應(yīng)鐘為下。”

書中提到的“上生”是指振動(dòng)物體的長(zhǎng)度增加原先的1/3（即原來(lái)的4/3）;而“下生”則是說(shuō)長(zhǎng)度減少1/3（即原來(lái)的2/3）。依照這種方式算出的十二律如下：

黃鐘81

林鐘81×2/3 =54

太簇54×4/3 =72

南呂72×2/3 =48

姑洗48×4/3=64

應(yīng)鐘64×2/3 =42.6667

蕤賓42.6667×4/3=56.8889

大呂56.8889×4/3=75.8519

夷則75.8519×2/3=50.5679

夾鐘50.5679×4/3=67.4239

無(wú)射67.4239×2/3=44.9392

仲呂44.9492×4/3=59.9323

清黃鐘59.9323×2/3=39.9549

拿一根琴弦作比較，在它的二分之一處彈奏出來(lái)的音與整弦彈奏出的音是一個(gè)高八度的關(guān)系。因此十二律結(jié)束后的十三音清黃鐘與黃鐘的長(zhǎng)度比值應(yīng)該也是二比一，但實(shí)際上清黃鐘并沒有達(dá)到黃鐘的二分之一（ 39.9549<40.5）。

分析上面的數(shù)據(jù)我們可以知道，自應(yīng)鐘開始我們所計(jì)算出的管長(zhǎng)就是一個(gè)無(wú)理數(shù)，而后的所有數(shù)據(jù)自然也是基于這個(gè)無(wú)理數(shù)計(jì)算得來(lái)的，可以說(shuō)應(yīng)鐘之后的每一個(gè)音都存在誤差，這也就是清黃鐘沒能達(dá)到應(yīng)有長(zhǎng)度的原因。

正因此，這一時(shí)期的探索給后世留下了一個(gè)三分損益法不能旋相為宮的世紀(jì)難題。

第二時(shí)期是探求新律時(shí)期，大約是從公元前3世紀(jì)自公元14世紀(jì)，并且似乎由于古代數(shù)學(xué)在公元11世紀(jì)到14世紀(jì)期間發(fā)展到了鼎盛時(shí)期，律學(xué)的發(fā)展也得到了極大的鼓舞。

公元前77年，漢代律學(xué)家京房為了解決三分損益法產(chǎn)生的音差問題提出了京房六十律。他在十二律的基礎(chǔ)上繼續(xù)用三分損益進(jìn)行數(shù)學(xué)演算，從“仲呂”之后向下生律，在推演到到第五十四律“色育”的時(shí)候就已經(jīng)與首音的黃鐘只差六分之一個(gè)古代音差，而后又為了符合八卦繼續(xù)將之演算到第六十律“南事”。

南宋錢樂之也同京房一樣，他在京房六十律的基礎(chǔ)上又從“南事”再生三百律到了“安運(yùn)”，最后算出的音差只差三十分之一個(gè)古代音差，比“小微音差”（兩音分）還要小。

這兩人雖然沒有完全解決十二律旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題，但卻將三分損益產(chǎn)生的音差減少到了極致。并且，從六十律計(jì)算到三百六十律就將音差從1/6縮小到1/30，在如今這個(gè)科技發(fā)達(dá)的時(shí)代，人們利用計(jì)算機(jī)未嘗不能實(shí)現(xiàn)用三分損益反相為宮。當(dāng)然了，就算能夠?qū)崿F(xiàn)，這也只建立在理論上能夠解決音差問題，畢竟計(jì)算量太大，并不能運(yùn)用于實(shí)際的操作之中。

繼京房與錢樂之之后，人們逐漸意識(shí)到使用三分損益法并不能將十二旋宮換于黃鐘，于是轉(zhuǎn)而在十二律內(nèi)部解決問題。

南宋律學(xué)家何承天可以說(shuō)是“世界上最早用數(shù)學(xué)解決十二律的人”①。根據(jù)《隋書-音樂志》的記載，公元445年，他公開反對(duì)京房六十律，認(rèn)為“京房不悟，謬為六十”②，并且提出將十二律之間的差數(shù)等分為十二份，并將之加在原先的十二律上，得到新律，是首個(gè)不使用三分損益法解決音差問題的人，邁出了律學(xué)史上新的一步。但是何承天新律也沒有解決旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題，他將差數(shù)等分之后只是將黃鐘與清黃鐘之間變?yōu)?：2的關(guān)系，與其余的音并不是一個(gè)等比的關(guān)系，因此轉(zhuǎn)調(diào)時(shí)也會(huì)移調(diào)。

在這個(gè)時(shí)期之中，關(guān)于律學(xué)的研究可以說(shuō)是圍繞解決三分損益產(chǎn)生的音差這一個(gè)問題而展開的。六十律、三百六十律與新律三者雖然沒有完全的解決這一問題，但是也為后人的研究也提供了許多思路。

16世紀(jì)，是十二平均律的發(fā)展時(shí)期，明朝的朱載堉在《律歷通融》（1581年）中提出了“新法密率”。他先將舊三分損益法中的分母縮小，求得十二律里面的五度與四度的比值，然后依照生律順序求出十二平均律，而這樣求出的十二律與今天的十二平均律完全一致?？梢哉f(shuō)這就是我國(guó)最早計(jì)算出的完全準(zhǔn)確的十二平均律。

此后朱載堉在1596年編著的《律呂精義》一書里面，又將如何利用勾股定理和開方求得新法密率的計(jì)算方式進(jìn)行了詳細(xì)的論述。他先將十二律等分為十二份，之后將純八度開平方，算出蕤賓的頻率比為1.41421356（原朱載培將之計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后二十多位，這里只寫到第八位），再由蕤賓開方得到南呂1.18920711;最后得到應(yīng)鐘1.05946309。這里我們就可以得出兩個(gè)相鄰的音的頻率比為（約為1.0594631）。

由相鄰兩音之間的比我們可以算出十二律每個(gè)音的頻率比為：

黃鐘1

大呂 1.105964

太簇1.122462

夾鐘1.189207

姑洗1.259921

仲呂 1.334839

蕤賓1.414213

林鐘1 498307

夷則1.587401

南呂1.681792

無(wú)射1.781797

應(yīng)鐘1.887748

由于每半音之間的比值一致，明代朱載堉發(fā)明的十二平均律徹底解決了三分損益法不能旋宮轉(zhuǎn)調(diào)的問題。

十二平均律更具有科學(xué)性主要體現(xiàn)在：1.轉(zhuǎn)調(diào)上，十二平均律每個(gè)半音之間間隔一致，以任意一個(gè)音為首音都能構(gòu)成平均律，因此轉(zhuǎn)調(diào)更為方便;2.計(jì)算上，十二平均律以1.0594631的比值可以求出所有的音，比起三分損益法要更精確與簡(jiǎn)便。

當(dāng)然，十二平均律也有他的不足之處，比如在和聲上他沒有純律那么和諧，在單音音樂上也沒有三分損益自然協(xié)調(diào)，但十二平均律在轉(zhuǎn)調(diào)上的優(yōu)勢(shì)則是無(wú)可取代的。

注釋：

①繆天瑞《律學(xué)》.

②《隋書·律歷志》“上下相生，三分損益其一……而京房不悟，謬為六十，”