艾 鑫，黎奇升

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

半環(huán)作為常見的代數(shù)結(jié)構(gòu)，不僅在拓?fù)鋵W(xué)、分析學(xué)和最優(yōu)化理論中有較廣泛的應(yīng)用，而且在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有極其重要的應(yīng)用.半模作為半環(huán)的一種表示，既是環(huán)模的推廣，也是研究半環(huán)結(jié)構(gòu)的有效方法，而半模同態(tài)分解在研究半模范疇性質(zhì)中具有重要的作用.設(shè)M，N為左R-半模，f:M→N為半模同態(tài).J.Al-Thani[1]利用核{(lán)a∈A|f(a)=0}和象{b∈B|b+f(a)=f(a′)}的定義對(duì)半模同態(tài)的分解問題進(jìn)行了研究，并在k-投射半模中討論了其可裂性.甘愛萍等[2]利用同余關(guān)系，對(duì)半模范疇中的第三同構(gòu)定理進(jìn)行了討論，當(dāng)f為k-正則半模同態(tài)時(shí)，同構(gòu)定理成立.陳培慈[3]對(duì)半環(huán)理論及其應(yīng)用進(jìn)行了研究與整理，利用同余關(guān)系Kerf={(x，y)|f(x)=f(y)，x，y∈S}給出了半環(huán)同態(tài)的基本定理及其相關(guān)推論.筆者將從核與象的不同定義出發(fā)探討左R-半模的同態(tài)分解問題，并給出半模同態(tài)分解定理.

1 相關(guān)定義

文中，半環(huán)R均指有單位元的結(jié)合半環(huán)，R-半模M均是左酉半模.關(guān)于半環(huán)、半模的定義和基本性質(zhì)參見文獻(xiàn)[3].設(shè)M，N為左R-半模，f:M→N為半模同態(tài).令

Kf={m|f(m)=0}，Kerf={(m1，m2)|f(m1)=f(m2)，m1，m2∈M}，

If={f(m)|m∈M}，Imf={n∈N|n+f(m)=f(m′)，?m，m′∈M}，

若Imf=If，則稱f是i-正則的.若對(duì)于?(m1，m2)∈Kerf，?k1，k2∈Kf，使得m1+k1=m2+k2，則稱f是k-正則的.不難看出:f是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf={(x，x)|x∈M};f是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)If=N;若f是單同態(tài)，則Kf={0}，反之則不真;若f是滿同態(tài)，則Imf=N，反之不成立.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)M，M′，N，N′為左R-半模，f:M→N為同態(tài).

(1)若g:M→M′是滿同態(tài)，Kerg?Kerf，則存在唯一同態(tài)h:M′→N，使得f=hg，且Kerh=g(Kerf)，If=Ih，其中g(shù)(Kerf)={(g(x),g(y))|(x,y)∈Kerf},h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf=Kerg，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

(2)若g:N′→N是單同態(tài)，If?Ig，則存在唯一的同態(tài)h:M→N′，使得f=gh，且Kerh=Kerf，Ih=g-1(If)，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是單同態(tài)，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)If=Ig.

證明(1)對(duì)于?m′∈M′，由于g:M→M′是滿同態(tài)，因此必存在m1∈M，使得g(m1)=m′.若m2∈M，滿足g(m2)=m′，則g(m1)=g(m2)，從而(m2，m1)∈Kerg，又由Kerg?Kerf，于是f(m1)=f(m2).這表明f(m1)與m1的選取無關(guān).因此，存在一個(gè)函數(shù)h:M′→N，使得h(g(m))=f(m).下證f是半模同態(tài).事實(shí)上，對(duì)于?a，b∈R，m1′，m2′∈M′，?m1，m2∈M，使得g(m1)=m1′，g(m2)=m2′.于是

h(am1′+bm2′)=h(g(am1)+g(bm2))=hg(am1+bm2)=f(am1+bm2)=

af(m1)+bf(m2)=ah(m1′)+bh(m2′)，

從而h為半模同態(tài).若又有h′:M′→N，使得f=h′g，任取m′∈M′，?m∈M，使得g(m)=m′，于是h′(m′)=h′g(m)=f(m)=hg(m)=h(m′)，即h=h′.

現(xiàn)證Kerh=g(Kerf).對(duì)于?m1′，m2′∈g(Kerf)，?(m1，m2)∈Kerf，使得g(m1)=m1′，g(m2)=m2′.因?yàn)閒(m1)=f(m2)，f(m1)=hg(m1)=h(m1′)，f(m2)=hg(m2)=h(m2′)，所以(m1′，m2′)∈Kerh.反之，對(duì)于?(m1′，m2′)∈Kerh，?m1，m2∈M，使得g(m1)=m1′，g(m2)=m2′.因?yàn)閔(m1′)=h(m2′)，h(m1′)=f(m1)，h(m2′)=f(m2)，所以(m1，m2)，(m2，m1)∈Kerf，于是(m1′，m2′)∈g(Kerf).綜上可得Kerh=g(Kerf).

If=Ih顯然成立，由此可知h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).當(dāng)h為單同態(tài)時(shí)，Kerh={(m′，m′)|m′∈M′}.對(duì)于?(m1，m2)∈Kerf，有f(m1)=f(m2)，從而hg(m1)=hg(m2).因?yàn)閔是單同態(tài)，所以g(m1)=g(m2)，于是(m1，m2)∈Kerg，從而Kerf?Kerg.又因?yàn)镵erg?Kerf，所以Kerg=Kerf.假設(shè)Kerf=Kerg.對(duì)于?(m1′，m2′)∈Kerh，?m1，m2∈M，使得g(m1)=m1′，g(m2)=m2′.因?yàn)閔(m1′)=h(m2′)，f=gh，所以f(m1)=f(m2)，(m1，m2)∈Kerf=Kerg，于是g(m1)=g(m2)，m1′=m2′，這表明h是單同態(tài).

(2)對(duì)于?m∈M，有f(m)∈If?Ig，由于g單，從而存在唯一的n′∈N′，使得g(n′)=f(m).令h(m)=n′，由此定義一個(gè)函數(shù)h:M→N′滿足f=gh.由f，g均為半模同態(tài)，不難驗(yàn)證h是半模同態(tài).下證Kerh=Kerf.顯然Kerh? Kerf，只需證明Kerf?Kerh.任取(m1，m2)∈Kerf，有f(m1)=f(m2)，即gh(m1)=gh(m2).因?yàn)間是單同態(tài)，所以h(m1)=h(m2)，從而(m1，m2)∈Kerh.下證Ih=g-1(If).據(jù)h的定義，不難驗(yàn)證Ih?g-1(If).對(duì)于?n′∈g-1(If)，?m∈M，使得f(m)=g(n′)，由于g為單同態(tài)，根據(jù)h的定義有h(m)=n′，因此n′∈Ih，g-1(If)?Ih，于是Ih=g-1(If).因?yàn)镵erh=Kerf，所以無論h，f哪一個(gè)為單，都可以得到另一個(gè)同態(tài)為單.當(dāng)h滿同態(tài)時(shí)，有f(M)=g(h(M))=g(N′)，顯然Ig=If.而當(dāng)Ig=If時(shí)，意味著對(duì)于?n′∈N′都有g(shù)(n′)?If，即?m∈M，使得h(m)=n′.

推論1設(shè)R，S和R′是半環(huán)，f:R→S是半環(huán)同態(tài).若g:R→R′是半環(huán)滿同態(tài)，Kerg?Kerf，則存在唯一半環(huán)同態(tài)h:R′→S，使得f=hg，且Kerh=g(Kerf)，If=Ih，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf=Kerg，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

推論2設(shè)M，N為左R-半模，f:M→N是半模同態(tài)，則存在唯一的單同態(tài)η:M/Kerf→N，使得ηυ=f，其中υ為M到商半模M/Kerf的自然同態(tài).

推論3設(shè)M，N為左R-半模.若f:M→N是滿同態(tài)，則存在唯一的同構(gòu)η:M/Kerf→N，使得ηυ=f，其中υ為M到商半模M/Kerf的自然同態(tài).

推論4設(shè)M，N為左R-半模，f:M→N是半模同態(tài)，則η:M/Kerf?If.

推論5設(shè)f:M→N為左R-半模M到N的同態(tài)，S是M上的同余關(guān)系.若S?Kerf，則存在同態(tài)h:M/S→N，使得f=hυ，其中υ為M到M/S的自然同態(tài).

推論6設(shè)M，M′，N，N′為左R-半模，f:M→N為同態(tài).

取核定義Kf={m|f(m)=0}，象定義If={f(n)|n∈N}時(shí)，有如下結(jié)論：

定理2設(shè)M，M′，N，N′為左R-半模，f:M→N為R-同態(tài).

(1)若g:M→M′是k-正則滿同態(tài)，Kg?Kf，則存在唯一同態(tài)h:M′→N，使得f=hg，且Kh=g(Kf)，If=Ih，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kf=Kg，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

(2)若g:N′→N是單同態(tài)，If?Ig，則存在唯一的同態(tài)h:M→N′，使得f=gh，且Kh=Kf，Ih=g-1(If)，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是單同態(tài)，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)If=Ig.

證明(1)對(duì)于?m′∈M′，?m1∈M，使得g(m1)=m′.若m2∈M，滿足g(m2)=m′，則g(m1)=g(m2).因?yàn)間是k-正則的，所以?k1，k2∈Kg，使得m1+k1=m2+k2，于是f(m1+k1)=f(m2+k2).因?yàn)镵g?Kf，所以f(m1)=f(m2).這表明f(m1)與m1的選取無關(guān).因此，存在函數(shù)h:M′→N，使得h(g(m))=f(m).不難證明h是半模同態(tài).

任取m∈Kf，有f(m)=0，由f=hg，有h(g(m))=0，于是g(m)∈Kh，從而g(Kf)?Kh.任取m′∈Kh，因?yàn)間為滿同態(tài)，所以?m∈M，使得g(m)=m′.于是f(m)=hg(m)=h(m′)=0，從而m∈Kf，m′=g(m)∈g(Kf)，故Kh?g(Kf).綜上可得Kh=g(Kf).由g為滿同態(tài)，不難證明Ig=If.

若h為單同態(tài)，則有Kh={0}.注意到Kh=g(Kf)，有g(shù)(Kf)=0，從而Kf?Kg.據(jù)條件Kg?Kf，于是Kf=Kg.反之，假設(shè)Kf=Kg.對(duì)于?(m1′，m2′)∈Kerh，?m1，m2∈M，使得g(m1)=g(m2).因?yàn)閔(m1′)=h(m2′)，所以h(g(m1))=h(g(m2))，即f(m1)=f(m2).又因f是k-正則的，故?k1，k2∈Kf，滿足m1+k1=m2+k2，于是g(m1)=g(m2)，即m1′=m2′.這證明了h是單同態(tài).由Ih=If，不難看出h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

(2)對(duì)于?m∈M，有f(m)∈If?Ig.由于g單，從而存在唯一的n′∈N′，使得g(n′)=f(m).令h(m)=n′，由此定義函數(shù)h:M→N′滿足f=gh.由f，g均為半模同態(tài)，不難驗(yàn)證h是半模同態(tài).下證Kh=Kf.顯然Kh?Kf.對(duì)于?m∈Kf，有g(shù)(h(m))=f(m)=0，因g是單同態(tài)，故h(m)=0，從而m∈Kh.據(jù)定理1可得Ih=g-1(If)，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是單同態(tài)，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)If=Ig.

推論7設(shè)R，S和S′是半環(huán)，f:R→S是k-正則的半環(huán)同態(tài)，若g:R→R′是滿同態(tài)，Kg?Kf，則存在唯一半環(huán)同態(tài)h:R′→S，使得f=hg，且Kh=g(Kf)，If=Ih，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kf=Kg，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

將R，R′，S視為左R-半模，利用定理2仿照推論1可類似證明推論7.

取核定義Kerf={(m1，m2)|f(m1)=f(m2)}，象定義Imf={n∈N|n+f(m)=f(m′)，m∈M}時(shí)，有如下結(jié)論：

定理3設(shè)M，M′，N，N′為左R-半模，f:M→N為R-同態(tài).

(1)若g:M→M′是滿同態(tài)，Kerg?Kerf，則存在唯一同態(tài)h:M′→N，使得f=hg，且Kerh=g(Kerf)，Imf=Imh，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Kerf=Kerg，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是滿同態(tài).

(2)若g:N′→N是i-正則單同態(tài)，Imf?Img，則存在唯一的同態(tài)h:M→N′，使得f=gh，且Kerh=Kerf，Imh=g-1(Imf)，h是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)f是單同態(tài)，h是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)If=Ig.

證明(1)根據(jù)定理1，只需證明Imf=Imh.對(duì)于?n∈Imh，?m1′，m2′∈M′，使得n+h(m1′)=h(m2′).因g是滿同態(tài)，故?m1，m2∈M，使得g(m1)=m1′，g(m2)=m2′，于是n+h(g(m1))=h(g(m2))，即n+f(m1)=f(m2)，根據(jù)Imf的定義，有n∈Imf.反之，對(duì)于?n∈Imf，?m1，m2∈M，使得n+f(m2)=f(m2).由于f=hg，因此n+h(g(m1))=h(g(m2))，注意到g(m1)，g(m2)∈M′，必有n∈Imh.綜上可得Imf=Imh.

(2)因g是i-正則的，故Img=Ig.顯然If?Imf，于是If?Imf?Img=Ig.根據(jù)定理1，存在唯一的同態(tài)h:M→N′，使得f=gh，且Kerh=Kerf.下證Imh=g-1(Imf).對(duì)于?n′∈Imh，?m1，m2∈M，使得n′+h(m1)=h(m2)，于是g(n′+h(m1))=g(h(m2))，g(n′)+f(m1)=f(m2)，可得g(n′)∈Imf，n′∈g-1(Imf).反之，假設(shè)n′∈g-1(Imf)，則g(n′)∈Imf，于是?m1，m2∈M，使得g(n′)+f(m1)=f(m2)，注意到f=gh，必有g(shù)(n′+h(m1))=g(h(m2)).因g是單同態(tài)，故n′+h(m1)=h(m2).根據(jù)Imh的定義，有n′∈Imh.