莊嚴(yán),李桐林

吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130026

0 引言

式中:ρs為視電阻率；ρi為地下第i塊的真電阻率；ηs為視極化率；ηi為地下第i塊的真極化率。

視極化率與極化率之間是線性關(guān)系，只要計(jì)算出了視電阻率對(duì)電阻率模型的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，就可以計(jì)算視極化率，或者用已知的視極化率反演極化率。目前，根據(jù)賽格爾體激發(fā)極化理論[2]，利用賽格爾公式的線性反演方法得到廣泛應(yīng)用。在反演中，利用電位函數(shù)與模型參數(shù)間的關(guān)系計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)矩陣，大大減少了計(jì)算工作量。根據(jù)Tripp et al.[3]提出的理論，阮百堯[4]利用互換定理給出了一種視電阻率對(duì)模型電阻率的偏導(dǎo)數(shù)矩陣簡(jiǎn)便計(jì)算方法。 Li et al.[5]的二維極化率數(shù)據(jù)反演、阮百堯等[6-7]的二維激發(fā)極化反演及黃俊革[8]的極化率反演都是利用賽格爾公式的線性反演。Li et al.在二維極化率數(shù)據(jù)反演中用了3種反演方法，第一種就是利用賽格爾公式的線性反演，后兩者是非線性反演，對(duì)于利用賽格爾公式的線性反演他們作了這樣的評(píng)述：賽格爾公式是一個(gè)線性公式，利用該公式反演的優(yōu)勢(shì)是只需解決一個(gè)線性反演問(wèn)題，這種方法簡(jiǎn)單、快速，可以節(jié)約出大量的時(shí)間用于數(shù)據(jù)誤差估計(jì)和選擇更多的反演精度以達(dá)到更好的反演效果，且該方法對(duì)數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差不敏感，但其沒(méi)有考慮非線性的影響，特別是極化率較大的情況[5]。劉海飛論述利用賽格爾公式的線性反演可以通過(guò)增加電阻率反演的迭代次數(shù)來(lái)改善電阻率反演結(jié)果從而改善極化率的反演結(jié)果[9]。柳建新等對(duì)線性反演和非線性反演進(jìn)行了模擬、對(duì)比及分析，得出的結(jié)論與上述基本相同[10]。黃俊革在三維激發(fā)極化正演中利用賽格爾公式計(jì)算了視極化率[11]。

賽格爾在利用賽格爾公式對(duì)均勻半空間中的一個(gè)低阻球體模型進(jìn)行了一維正演計(jì)算，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圍巖電阻率不變時(shí)，隨著球體電阻率不斷降低，視極化率異常并非單調(diào)增大，而是先增大后減小，這種現(xiàn)象稱之為飽和效應(yīng)。利用賽格爾公式對(duì)該模型進(jìn)行推導(dǎo)，得出在球體與圍巖電阻率比值為0.5時(shí)取得視極化率最大值。據(jù)此認(rèn)為激發(fā)極化法不適合尋找電阻率差異懸殊的極化礦體，這種電阻率有數(shù)量級(jí)上的差異會(huì)抑制IP效應(yīng)。王慶乙則對(duì)飽和效應(yīng)提出了異議，認(rèn)為飽和效應(yīng)完全是賽格爾近似公式計(jì)算造成的，在尋找良導(dǎo)致密銅礦和低阻炭質(zhì)板巖礦的實(shí)踐中并未出現(xiàn)飽和效應(yīng)問(wèn)題，且完成了銅球和石墨球的水槽實(shí)驗(yàn)，以進(jìn)一步說(shuō)明激發(fā)極化不存在飽和效應(yīng)，同樣適合尋找電性差異較大的極化礦體[12]。

針對(duì)賽格爾公式的近似精度問(wèn)題以及飽和效應(yīng)的認(rèn)識(shí)問(wèn)題，筆者進(jìn)行了激發(fā)極化中賽格爾公式的推導(dǎo)，分別用等效電阻率法和賽格爾公式法兩種方法進(jìn)行了正演模擬和分析，通過(guò)對(duì)比這兩種方法的正演結(jié)果，給出賽格爾公式的適用范圍；同時(shí)對(duì)激發(fā)極化中的飽和效應(yīng)進(jìn)行正演模擬，研究了飽和效應(yīng)的影響因素并分析了其物理實(shí)質(zhì)。該研究對(duì)選擇正確的激發(fā)極化正演方法及激發(fā)極化中飽和效應(yīng)的認(rèn)識(shí)有重要意義。

1 激發(fā)極化中的賽格爾近似正演理論

根據(jù)等效電阻率法正演理論：

(1)

(2)

由視極化率定義

(3)

整理可得：

(4)

由于大多數(shù)極化體的極化率η遠(yuǎn)<1，因此

(5)

得出賽格爾公式：

(6)

以上為賽格爾公式推導(dǎo)過(guò)程，其中有兩處進(jìn)行了近似處理：一是在式(1)中將總場(chǎng)電位表達(dá)式用一次電位與各個(gè)極化體產(chǎn)生的二次電位線性相加；二是在式(6)中，等效視電阻率近似等于視電阻率。

實(shí)際地下的這種結(jié)構(gòu)為非線性，

(7)

2 模型試算

2.1 賽格爾公式的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證賽格爾公式計(jì)算的準(zhǔn)確性，要求理論正演必須有解析表達(dá)式，確保理論正演正確，那么對(duì)有理論解析式的均勻半空間中單個(gè)極化球體以及有極化層的層狀介質(zhì)模型進(jìn)行理論正演(等效電阻率法正演)計(jì)算，其結(jié)果與相應(yīng)的賽格爾公式正演計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

均勻半空間中的極化球體視極化率曲線對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖1。圖1(a)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)為：球體中心坐標(biāo)(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 1.0。圖1(b)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)為：球體中心坐標(biāo)(26,80)，半徑50 m，極化率0.5，圍巖不極化，球體與圍巖電阻率比值 0.01。

a.球體與圍巖電阻率1∶1視極化率曲線對(duì)比結(jié)果圖; b.球體與圍巖電阻率1∶100視極化率曲線對(duì)比結(jié)果圖。圖1 均勻半空間中極化球體的視極化率曲線Fig.1 Apparent polarization curves of a polarization sphere in homogeneous half space

從圖1可以看出在計(jì)算低阻高極化球體的視極化率上，賽格爾公式計(jì)算的視極化率異常要小于理論計(jì)算的異常，并且隨球體電阻的降低其誤差隨之增大。

高極化率層狀介質(zhì)視極化率曲線對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖2。模型為4層介質(zhì)，第一二三層厚度分別為100 m、500 m、1 000 m，一二三四層的電阻率分別為10 Ω·m、100 Ω·m、1 000 Ω·m、10 000 Ω·m，極化率分別為0、0.2、0.5、0.8。

從圖2可以看出，對(duì)于高極化的層狀介質(zhì)，利用賽格爾公式計(jì)算的結(jié)果出現(xiàn)較大誤差。

對(duì)于極化率不是很高的層狀地電結(jié)構(gòu)進(jìn)行正演計(jì)算(圖3)。模型的厚度和電阻率同圖2模型，但極化率變小。極化率分別為0、0.05、0.1、0，在不同極距下視極化率的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。

圖2 極化率差別較大情況下層狀介質(zhì)的視極化率曲線對(duì)比Fig.2 Apparent polarization curves of a layered earth model in high-contrast polarization

從圖3可以看到，對(duì)于極化率不是很高的層狀介質(zhì)，賽格爾公式計(jì)算結(jié)果同樣出現(xiàn)較大誤差，說(shuō)明該公式對(duì)復(fù)雜的層狀介質(zhì)計(jì)算不準(zhǔn)確。

圖3 極化率差別較小情況下層狀介質(zhì)的視極化率曲線對(duì)比Fig.3 Apparent polarization curves of a layer model in general-contrast polarization

綜上，對(duì)多層有極化的層狀介質(zhì)或低阻高極化球體來(lái)說(shuō)，賽格爾公式計(jì)算結(jié)果會(huì)有較大誤差。這種情況表明，利用賽格爾公式反演極化率同樣會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，即使可以通過(guò)增加電阻率反演迭代次數(shù)來(lái)改善電阻率反演結(jié)果進(jìn)而改善極化率的結(jié)果，但這種改善只能是對(duì)反演曲線擬合程度的改善，無(wú)法避免賽格爾公式的近似性所造成的誤差。

2.2 飽和效應(yīng)的模擬

采用2.5維直流電法有限元正演進(jìn)行二維視極化率正演模擬研究。給定的模型如圖4所示，其正演結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖4 正演模型及參數(shù)Fig.4 Forward calculation model and parameters

圖5 二維正演模擬視極化率異常剖面曲線圖Fig.5 Two dimensional forward modeling apparent charge ability anomaly map

圖5說(shuō)明在相對(duì)高阻體A上的視極化率異常要高于相對(duì)低阻B上的視極化率異常，這說(shuō)明數(shù)值模擬中也能看到所謂的“飽和效應(yīng)”的存在。

為了進(jìn)一步說(shuō)明飽和效應(yīng)的規(guī)律，圖6給出了一組不同球體半徑r對(duì)應(yīng)的視極化率異常值隨μ12變化的曲線圖，球體中心相同。

圖6 球體視極化率ηs隨μ12變化的對(duì)比曲線圖Fig.6 Apparent charge ability ηs curves with different radius μ12

3 結(jié)論

(1)賽格爾公式在任何情況下，都是一個(gè)近似公式。特別是高極化情況下，利用賽格爾公式計(jì)算視極化率存在較大偏差。

(2)飽和效應(yīng)不僅受電阻率的影響，而且受極化體大小影響，極化體越大，飽和極值所對(duì)應(yīng)的μ12值越小，也就是說(shuō)相對(duì)更低阻的極化才能達(dá)到飽和。

(3)用激發(fā)極化法研究特別低阻的極化礦床時(shí)，異常的極大值可能會(huì)偏離富集礦體中心，因此根據(jù)異常定性分析預(yù)測(cè)礦體的位置可能出現(xiàn)偏差。