鄭興林，王 月，劉 偉

重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065

1 引言

毫米波大規(guī)模多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）系統(tǒng)，由于其高帶寬和高頻譜效率而成為下一代通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)[1-4]。例如，在30 GHz 的載波頻率下，波長為10 mm，這使得大量天線可以封裝在微小區(qū)域中。大規(guī)模天線陣列能夠帶來較高的波束賦形增益，以補(bǔ)償毫米波信號的高路徑損耗[4]。然而，在傳統(tǒng)的MIMO 系統(tǒng)中，傳輸預(yù)編碼通常只考慮數(shù)字域，并且需連接與天線數(shù)量相同數(shù)目的射頻（Radio Frequency，RF）鏈路[5-8]。毫米波系統(tǒng)結(jié)合大量天線陣元，抵消路徑和穿透損耗，由于硬件成本和功耗很高，傳統(tǒng)全數(shù)字預(yù)編碼在毫米波通信系統(tǒng)中是不可行的。為了解決這一問題，文獻(xiàn)[9]提出了混合預(yù)編碼的概念，用兩階段的預(yù)編碼器代替?zhèn)鹘y(tǒng)純數(shù)字預(yù)編碼器。首先用小型數(shù)字預(yù)編器對信號進(jìn)行處理，然后用大型模擬預(yù)編碼器得到高波束形成增益。

目前混合預(yù)編碼方案有全連接（Fully-Connected，F(xiàn)C）和部分連接（Partially Connected，PC）結(jié)構(gòu)[10]，發(fā)送端系統(tǒng)模型如圖1 所示。在全連接結(jié)構(gòu)中，每條RF 鏈通過大量移相器與所有天線連接，以最大化實(shí)現(xiàn)可達(dá)到的傳輸增益，然而將會導(dǎo)致高能耗[11]。相比之下，部分連接結(jié)構(gòu)需要較少數(shù)量的移相器，雖然性能有所損失，但能帶來更高的能源效率[12]。對于全連接型混合預(yù)編碼的研究，文獻(xiàn)[13]提出了基于流形優(yōu)化的交替算法（MO-AltMin Algorithm，MO-Alt）來接近全數(shù)字預(yù)編碼器的性能，然而，模擬預(yù)編碼器的更新涉及到線性搜索算法，嵌套循環(huán)將減慢整個(gè)求解過程，復(fù)雜度很高。文獻(xiàn)[14]采用DFT碼本構(gòu)成模擬預(yù)編碼矩陣，大大降低了算法復(fù)雜度，但由于模擬預(yù)編碼是從DFT 碼本集中選取，沒有很好的匹配信道，性能增益小。對于部分連接型混合預(yù)編碼，由于其能耗更低，是近年來研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[13]利用半定松弛（Semidefinite Relaxation，SDR）思想，提出一種交替最小化算法，通過凸優(yōu)化工具箱（Convex optimization toolbox，CVX）求解數(shù)字預(yù)編碼器，每一次迭代需要借助標(biāo)準(zhǔn)凸優(yōu)化算法來求解半定規(guī)劃（Semidefinite Programming，SDP）問題，導(dǎo)致復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[15]中利用注水算法設(shè)計(jì)數(shù)字預(yù)編碼，將模擬預(yù)編碼設(shè)計(jì)等效為單天線功率約束下單流最優(yōu)發(fā)射機(jī)波束形成問題，復(fù)雜度很高。

圖1 發(fā)送端混合預(yù)編碼系統(tǒng)模型

基于上述分析，考慮工程實(shí)際應(yīng)用，本文研究部分連接型混合預(yù)編碼。證明了信道右奇異值向量的相位角來初始化模擬預(yù)編碼器的可行性。為了獲取更優(yōu)的性能和更高的能源效率，設(shè)計(jì)了一種基于SVD 的交替迭代（Alternating Iterative SVD，Alt-ISVD）混合預(yù)編碼算法。仿真結(jié)果表明，所提算法隨著信噪比增加，性能更加優(yōu)于傳統(tǒng)部分連接型算法，且復(fù)雜度與文獻(xiàn)[15]提出的算法相比明顯降低，與傳統(tǒng)正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法[8]相比擁有更高的能源效率。

2 系統(tǒng)模型與信道模型

2.1 系統(tǒng)模型

考慮下行鏈路毫米波單用戶系統(tǒng)，基站（Base Stations，BS）側(cè)配備Nt根發(fā)射天線，發(fā)射端射頻鏈路數(shù)為NtRF，系統(tǒng)模型如圖1（b）所示。每條RF 鏈路僅與一個(gè)獨(dú)立的子陣列相連，且每個(gè)獨(dú)立子陣列均包含M根天線，即從圖1 可以看出，當(dāng)基站配有Nt根天線，全連接型中模擬域需個(gè)移相器與所有天線相連，而部分連接型中模擬域只需Nt個(gè)移相器與部分天線相連，因此采用部分連接結(jié)構(gòu)，硬件成本和功耗更低，更貼切實(shí)際應(yīng)用。發(fā)送端有Ns條數(shù)據(jù)流發(fā)送，數(shù)據(jù)流s∈?Ns×1首先在數(shù)字域經(jīng)數(shù)字基帶預(yù)編碼器進(jìn)行預(yù)處理，然后在模擬域經(jīng)過模擬預(yù)編碼器調(diào)相到各天線陣元，形成波束賦形增益，經(jīng)過兩階段預(yù)編碼器，最終的發(fā)送信號為：

式中，發(fā)送信號s應(yīng)滿足，模擬預(yù)編碼器和數(shù)字預(yù)編碼器應(yīng)滿足總的功率限制Ns。其中，E[?]表示求期望，I為單位矩陣表示Frobenius范數(shù)。接收端經(jīng)過解碼處理后信號為：

式中，ρ為接收功率，WBB和WRF分別表示為接收端數(shù)字合并器和模擬合并器。FRF和WRF應(yīng)滿足單模限制，即維毫米波幾何信道矩陣。分布的加性高斯噪聲。其中，(?)H表示取共軛轉(zhuǎn)置，Nr為移動臺（Mobile Station，MS）配有的天線數(shù)目。

2.2 信道模型

考慮到毫米波信道的有限散射特性，本文采用擴(kuò)展的Saleh-Valenzuela簇信道模型[9]，窄帶毫米波信道矩陣H表示為：

式中，L為系統(tǒng)傳播路徑數(shù)，且每條簇能夠產(chǎn)生一條傳播路徑。αl為服從CN(0,)分布的第l條路徑的復(fù)增益，矢量ar(θl)和at(φl)分別定義為接收和發(fā)送陣列矢量，其中，θl∈[0,2 π]和φl∈[0,2 π]是第l條徑的到達(dá)和離開方位角。當(dāng)收發(fā)端天線陣列為均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA）時(shí)，發(fā)送和接收天線陣列歸一化響應(yīng)矢量表示如下：

式中，λ為載波波長，d為天線間距。

2.3 問題描述

本文設(shè)計(jì)混合預(yù)編碼的目標(biāo)是減小算法復(fù)雜度，提高系統(tǒng)頻譜效率。系統(tǒng)頻譜效率表示為：

發(fā)送端預(yù)編碼器和接收端合并器優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)公式相似，只是預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)需要考慮功率約束，因此本文主要研究發(fā)送端預(yù)編碼器的設(shè)計(jì)。

首先對H進(jìn)行奇異值分解H=UΣVH，其中，U和V分別為H對應(yīng)的左奇異值矩陣和右奇異值矩陣，Σ為特征矩陣。將H=UΣVH代入式（7）得：

對Σ,V進(jìn)行分塊表示：

式中，Σ1為Ns×Ns維對角陣，V1的維度為Nt×Ns，最優(yōu)無約束預(yù)編碼器Fopt=V1，將式（9）代入式（8）中，則式（8）中部分項(xiàng)可以表示為：

式（12a）表示應(yīng)用：lb(|INs-X|)≈lb(1-tr(X))=-tr(X),其中，tr(?)表示矩陣或矢量的跡。式（12b）表示采用高有效信噪比近似，即由式（12）得，獲取最大化R等價(jià)于最大化，即FRFFBB越接近于Fopt=V1時(shí)，R最大。由以上分析可知，最大化頻譜效率等效于混合預(yù)編碼矩陣與最優(yōu)預(yù)編碼矩陣間歐式距離最小的，即：

式中，F(xiàn)RF的維度為中每一塊向量為fi=j=1,2,…,Nt為第j個(gè)相移器的相位。

3 混合預(yù)編碼設(shè)計(jì)

考慮單用戶傳輸場景，本文采用部分連接結(jié)構(gòu)，證明了信道矩陣H的有序右奇異值向量角度可以作為初始化模擬預(yù)編碼矩陣，不需要發(fā)射機(jī)處的天線陣列響應(yīng)矢量。

3.1 初始化模擬預(yù)編碼器設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]和[13]中分析，混合預(yù)編碼優(yōu)化問題可以重寫為：

由式（17）可得：

將式（11）代入式（10）中得到：

命題1給定矢量，集合F={f∈ ?N×1:|f(n)|=1,?n} ，對任意f∈F，有：

證明設(shè)，則有：

根據(jù)命題1可知，要使SRF和Sopt內(nèi)積最大，則FRF和Fopt構(gòu)成的子空間相同，已知Fopt為信道矩陣右奇異值矩陣，對應(yīng)相位角度構(gòu)成其子空間，由于單模限制，則FRF可取信道右奇異值矩陣元素對應(yīng)的相位角度構(gòu)成。

通過以上分析可知，可用信道矩陣右奇異值矩陣元素的相位角度初始化模擬預(yù)編碼器。具體初始化過程即：

式中，U為Nr×Nr維酉矩陣，V為Nt×Nt維酉矩陣，Σ是對角矩陣，且對角元素按降序排列。設(shè)φm,n為V的第m行和第n列元素的相位角度，取V中元素的相位角度作為集合F，即：

也即取F 集的前NRF列矢量。應(yīng)用到式（14）中，進(jìn)行塊對角化，則最終得到的初始模擬預(yù)編碼矩陣為：

式中，vi((i-1)M+1:iM)表示取vi中第(i-1)M+1 至iM個(gè)元素。

3.2 應(yīng)用交替迭代結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

獲取初始化模擬預(yù)編碼器FRF后，應(yīng)用交替最小化結(jié)構(gòu)，固定FRF，根據(jù)最小化Fopt和FRFFBB的歐氏距離，優(yōu)化FBB，?。?/p>

4.1 實(shí)驗(yàn)仿真分析

本文仿真基于部分連接結(jié)構(gòu)下毫米波MIMO系統(tǒng)，其中毫米波信道路徑數(shù)L=10 ，ULA 的天線間距為d=λ/2，假設(shè)到達(dá)和離開方位角在[0,2 π]上均勻分布。本節(jié)給出了在低信噪比和高信噪比下以及不同射頻鏈路下Alt-ISVD 算法的頻譜效率的仿真曲線，并仿真了不同射頻鏈路下Alt-ISVD 算法的能效。實(shí)驗(yàn)仿真中，發(fā)射天線數(shù)目為Nt=128，接收天線數(shù)目為Nr=16 或Nr=32。

在收發(fā)端天線配置為Nt×Nr=128×16 且發(fā)送端射頻鏈4，數(shù)據(jù)流數(shù)為Ns=4，低信噪比下不同算法的頻譜效率隨信噪比變化曲線如圖2所示，可以看出，本文Alt-ISVD算法性能優(yōu)于文獻(xiàn)[13]提出的Alt-SDR算法和文獻(xiàn)[15]提出的算法1，且隨著信噪比增大，差異越明顯。隨著信噪比增大，本文所提算法性能越來越接近文獻(xiàn)[15]提出的算法2，但復(fù)雜度低于文獻(xiàn)[15]提出的算法1和算法2。

圖2 低信噪比下，Nt×Nr=128×16 且=Ns=4時(shí)的系統(tǒng)性能

圖3 所示為Nt×Nr=128×16 且s=4 時(shí)，高信噪比下，不同算法的頻譜效率隨信噪比增加的曲線，由圖可知，在高信噪比下，本文所提Alt-ISVD 算法明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[13]Alt-SDR算法和文獻(xiàn)[15]提出的算法1。當(dāng)信噪比約大于5 dB 時(shí)，Alt-ISVD 算法的頻譜效率高出文獻(xiàn)[15]提出的算法2，并且隨著信噪比增加，性能越優(yōu)于文獻(xiàn)[15]提出的算法2。

圖4 所示為SNR=0 ，Nt×Nr=128×32 且Ns=2時(shí)，不同射頻鏈路數(shù)目下，本文Alt-ISVD 算法、全連接OMP 算法、全數(shù)字預(yù)編碼器和文獻(xiàn)[13]Alt-SDR 算法頻譜效率曲線。由圖可知，本文Alt-ISVD 算法與全連接OMP算法相比，性能略低，這是由于使用較少的相移器帶來的性能損失，但本文Alt-ISVD算法性能高于文獻(xiàn)[13]Alt-SDR算法。

圖3 高信噪比下，Nt×Nr=128×16 且=Ns=4時(shí)的系統(tǒng)性能

圖4 SNR=0,Nt×Nr=128×32 且 N s=2時(shí)，不同射頻鏈數(shù)的系統(tǒng)性能

本文還仿真了不同數(shù)目下，Alt-ISVD 算法、全連接OMP算法、文獻(xiàn)[13]Alt-SDR算法的能源效率，仿真參數(shù)設(shè)置為：Pco=10 W，PRF=100 mW，PPA=100 mW 和PPS=10 mW[13]。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，能效計(jì)算公式為：

式中，Pco為發(fā)送端公共功率，PRF,PPA和PPS分別為每條RF鏈，功率放大器和移相器的功率。其中，全連接移相器個(gè)數(shù)為，部分連接移相器個(gè)數(shù)為NPS=Nt。

圖5所示為SNR=0,Nt×Nr=128×32 且Ns=2 時(shí)，不同射頻鏈路數(shù)目下，本文Alt-ISVD算法、全連接OMP算法、文獻(xiàn)[13]Alt-SDR算法能源效率曲線。由圖可知，本文所提Alt-ISVD算法的能效高于全連接OMP算法和文獻(xiàn)[13]Alt-SDR 算法，且隨著RF 鏈數(shù)增加，本文Alt-ISVD算法與OMP算法的能源效率比值越高，這是因?yàn)殡S著RF 鏈數(shù)增加，全連接OMP 算法的移相器增加，大大增加了功耗。

圖5 SNR=0,Nt×Nr=128×32 且 N s=2時(shí)，不同射頻鏈數(shù)的能源效率

4.2 算法復(fù)雜度分析

文獻(xiàn)[15]的算法和提出的Alt-ISVD 算法復(fù)雜度如表1 所示。本文所提算法利用信道右奇異值矩陣的前列來初始化模擬預(yù)編碼器，根據(jù)截短SVD（Truncated SVD，TSVD）[16]，復(fù)雜度為，獲取最優(yōu)數(shù)字預(yù)編碼器復(fù)雜度為，每次迭代更新數(shù)字預(yù)編碼器復(fù)雜度為每次迭代更新模擬預(yù)編碼器復(fù)雜度為文獻(xiàn)[15]算法1 中，初始化復(fù)雜度為，每次迭代復(fù)雜度為，其中rH=rank(H)，利用注水算法求數(shù)字預(yù)編碼器復(fù)雜度為在文獻(xiàn)[15]算法2 中，每次迭代獲取模擬預(yù)編碼器的復(fù)雜度為，數(shù)字預(yù)編碼器通過注水得到，算法復(fù)雜度為在實(shí)際傳輸系統(tǒng)中，Ns≤NRF?M ＜Nr＜Nt，可以得出，本文所提Alt-ISVD算法復(fù)雜度比文獻(xiàn)[15]更低。

表1 文獻(xiàn)[15]算法和Alt-ISVD復(fù)雜度

5 結(jié)束語

考慮實(shí)際工程應(yīng)用，全連接型混合預(yù)編碼能耗太高。文章研究了毫米波MIMO 系統(tǒng)中部分連接型混合預(yù)編碼，證明了初始化模擬預(yù)編碼器可由信道右奇異值向量的相位角度導(dǎo)出，可以避免采用搜索近似最佳模擬預(yù)編碼矩陣的復(fù)雜優(yōu)化過程且不需要知道發(fā)射天線陣列響應(yīng)矢量，降低了復(fù)雜度，最后交替應(yīng)用最小化結(jié)構(gòu)提升性能。仿真結(jié)果表明，隨著信噪比的增高，本文所提算法性能高于文獻(xiàn)[15]提出的算法，且復(fù)雜度更低。與傳統(tǒng)OMP 算法相比，本文所提算法擁有更高的能源效率，降低了硬件功耗，更貼切實(shí)際應(yīng)用。