林大超，徐 謙，王仲琦，劉海波

(1. 華北科技學(xué)院 建筑工程學(xué)院，北京 東燕郊 0652012. 北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室，北京 100081)

0 引言

斷裂是一類十分常見的材料和結(jié)構(gòu)受載破壞現(xiàn)象。由于斷裂可能引發(fā)的災(zāi)難性后果，長期以來，它在理論和應(yīng)用研究兩個方面都得到了相當(dāng)廣泛的關(guān)注[1]。相關(guān)工作可以粗略劃分為三個理論框架范疇，包括：建立在宏觀現(xiàn)象觀測結(jié)果基礎(chǔ)上的材料力學(xué)理論[2]，以宏/微觀缺陷(裂紋)作為控制要素的斷裂力學(xué)理論[3]，以及立足破壞演化過程細(xì)/微觀機(jī)制的材料物理力學(xué)理論[4]。不過，這種劃分傾向于強(qiáng)調(diào)物理現(xiàn)象觀測尺度間的差異。事實上，無論觀測尺度如何，它們之間的融合已經(jīng)成為理論發(fā)展的必然趨勢。更為重要的是，外力作用能量的耗散既是其共同的客觀事實基礎(chǔ)，也是深入認(rèn)識斷裂發(fā)生規(guī)律的核心所在[5]。

Maxwell最早注意到通過能量描述建立材料破壞準(zhǔn)則的可能性[6]。他的預(yù)言被后來發(fā)展起來的Mises屈服準(zhǔn)則所印證[7]。雖然屈服和斷裂屬于兩種不同的材料變形破壞形態(tài)，但實驗觀測結(jié)果表明二者的強(qiáng)度變化具有相似的函數(shù)關(guān)系[8]，因此，Mises準(zhǔn)則也被用作為斷裂判據(jù)[9-11]。主應(yīng)力空間中沿等斜面(即八面體面)滑動的剪切彈性應(yīng)變能，即形狀畸變能，揭示了Mises準(zhǔn)則屈服函數(shù)與變形能相互關(guān)聯(lián)的物理含義。它也可以用于闡釋斷裂發(fā)生的能量耗散和轉(zhuǎn)化條件。遺憾的是，這個能量表述沒有考慮到滑動面上正應(yīng)力(或靜水應(yīng)力)的影響[12]。

為了解釋材料表觀強(qiáng)度遠(yuǎn)小于理論強(qiáng)度的事實，Griffith提出了一個斷裂理論模型[13]。這個模型明確了材料強(qiáng)度與其內(nèi)部缺陷的密切聯(lián)系，用裂紋-材料系統(tǒng)表征了裂紋擴(kuò)展時外力作用的能量耗散關(guān)系。當(dāng)系統(tǒng)儲存的彈性能達(dá)到新生裂紋形成所需的表面能時，裂紋處于臨界擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。裂紋擴(kuò)展時，系統(tǒng)的彈性能降低，其降低部分即為新生裂紋的表面能。Griffith模型理論上的嚴(yán)密性及其數(shù)學(xué)推演過程的一般性為斷裂力學(xué)理論的誕生奠定了基礎(chǔ)[1,3]。此后，應(yīng)力強(qiáng)度因子和脆性斷裂K準(zhǔn)則[14]，D-M模型[15]和裂紋張開位移COD準(zhǔn)則[16]，J積分[17]、HRR理論[18,19]和J積分?jǐn)嗔褱?zhǔn)則[20]等的提出，逐漸堅實了斷裂力學(xué)的基本理論框架。與此同時，它們也開啟了斷裂力學(xué)理論深入于各種斷裂現(xiàn)象分析的道路。如今，無論在宏觀還是微觀層面，只要談到材料斷裂強(qiáng)度，若沒有應(yīng)用斷裂力學(xué)理論進(jìn)行分析，似乎都容易被認(rèn)定為是缺乏創(chuàng)新性的工作[12]。然而，對于那些不存在或者不考慮初始裂紋或幾何奇異性的材料，它們的強(qiáng)度該如何分析處理？迄今，斷裂力學(xué)理論還沒有給出明確的回答。

初始裂紋是構(gòu)成斷裂理論模型的基本要素。是否可以放寬這個要素的要求？有研究針對這一問題，在Griffith能量耗散(守恒)概念的基礎(chǔ)上提出了探索[21-23]。它們將所考察的彈性變形能儲能體系退化到有限微分體積內(nèi)，但是相關(guān)工作尚未發(fā)現(xiàn)突破性認(rèn)識的跡象。如果將問題繼續(xù)退化到任意物質(zhì)點，能量耗散關(guān)系又將呈現(xiàn)出哪些特點？它是否可以為材料斷裂認(rèn)識提供新的視角？為了回答這些問題，我們提出了本文的研究工作。

斷裂面上一點處儲存了貢獻(xiàn)于破壞運(yùn)動的彈性應(yīng)變能。假設(shè)它完全耗散于該點破裂發(fā)生所需的表面能，于是，可以從能量守恒關(guān)系獲得一點處斷裂的臨界能量條件。本文通過兩種巖石側(cè)限(三軸)壓縮的實驗結(jié)果證明了這個能量條件的正確性。這個結(jié)果可望為無初始裂紋或幾何奇異性材料的斷裂強(qiáng)度分析提供新的基礎(chǔ)理論認(rèn)識。

1 斷裂面上一點的能量分析

在斷裂發(fā)生的臨界時刻，斷裂面依然屬于完整的承載面。斷裂面上一點分別受到沿法線方向的正應(yīng)力σn和位于斷裂面內(nèi)的切應(yīng)力τn的共同作用。斷裂一旦發(fā)生，裂紋面隨之形成，這兩個應(yīng)力分量也將因破壞變形的顯現(xiàn)而卸除。在這個過程中，儲存于破壞面的彈性能得以釋放，并轉(zhuǎn)化為新生裂紋的表面能。因此，斷裂面上一點的彈性能與裂紋表面能之間的守恒關(guān)系確定了一點處斷裂(開裂)發(fā)生的臨界能量條件。

其實，斷裂面上一點處切應(yīng)力所存儲彈性應(yīng)變能的物理概念十分清晰。它代表了該點處位于斷裂面內(nèi)的切應(yīng)力τn關(guān)于彈性切應(yīng)變γn的變形勢能。然而，正應(yīng)力的能量貢獻(xiàn)尚未見到理論上的明確論述。就一點處的變形而言，除去形狀畸變變化外，剩余的變形成分應(yīng)該是尺寸相關(guān)的體積變化。這里，形狀畸變已經(jīng)由彈性切應(yīng)變γn給定。事實上，真實的斷裂面并不恰巧對應(yīng)于主應(yīng)力(變)空間的等斜八面體面。但是，只有在等斜八面體面上，沿法向方向作用的正應(yīng)力(變)才與體積應(yīng)力(變)具有完全的對等關(guān)系。它意味著切應(yīng)變γn所主導(dǎo)的變形分解不屬于完全解耦形式[24]。也就是說，不是所有的彈性變形能都構(gòu)成斷裂發(fā)生的有效作用能。

在斷裂面內(nèi)，體積應(yīng)變εV疊加了影響到剪切變形運(yùn)動的成分。這個變形成分屬于同一個方向上兩個彼此相向的運(yùn)動。由于切應(yīng)力具有固定的作用方向，因此它們不會儲存附加的變形能。沿斷裂面法向，體積應(yīng)變εV與正應(yīng)力σn在正反兩個方向同時發(fā)生作用，能夠存儲體積變形能。它們確定了破壞面上正應(yīng)力σn的能量貢獻(xiàn)。顯然，拉應(yīng)力σn促進(jìn)斷裂面的形成，提供的是正的斷裂能。與此相對地，壓應(yīng)力σn抑制斷裂面的形成，提供的是負(fù)的斷裂能。

可以看出，斷裂發(fā)生前，斷裂面上一點所儲存貢獻(xiàn)于斷裂的彈性應(yīng)變能包含了剪切能和體積能兩個部分。其中，剪切能由切應(yīng)力τn關(guān)于彈性切應(yīng)變γn的變形勢能所確定，體積能由正應(yīng)力σn關(guān)于體積應(yīng)變εV在兩個相向作用方向的變形勢能所確定。據(jù)此，有

(1)

式中，e表示一點所儲存貢獻(xiàn)于斷裂的總有效彈性應(yīng)變能，μ和K分別為材料破壞卸載的剪切彈性模量和體積模量，σV為體積應(yīng)力。絕對值符號的引入在于區(qū)分正應(yīng)力性質(zhì)相關(guān)的體積能的正負(fù)。體積應(yīng)力與三個主應(yīng)力分量σ1、σ2和σ3有關(guān)系，σV=σ1+σ2+σ3，它同時表示了應(yīng)力狀態(tài)的第一不變量。

在主應(yīng)力空間(σ1≥σ2≥σ3)中，若斷裂面的法線方向余弦為l1、l2和l3，應(yīng)有

(2)

(3)

這里，法線方向余弦各分量應(yīng)滿足條件：

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)，可得

(5)

式中，參數(shù)k為

k=μ/(3K)

(6)

真實的斷裂應(yīng)該發(fā)生在有效彈性應(yīng)變能最大的面上，它要求

?e/?l1=?e/?l2=0

(7)

由此得到

(8)

(9)

注意到l10，這個方程組有解

(10)

這個結(jié)果確定了破裂發(fā)生的位向。將其代回式(5)，得到一點處的斷裂能eF為

(11)

2 臨界能量條件

若材料的單位表面能為γs，斷裂所形成兩個裂紋面的總表面能應(yīng)為2γs。根據(jù)能量守恒原理，斷裂發(fā)生時，彈性斷裂能eF轉(zhuǎn)化為裂紋面的表面能。因此，斷裂的臨界能量條件為

eF=1/(8μ)[(σ1-σ3)2+4k|σV|(σ1+σ3)

(12)

在純剪應(yīng)力狀態(tài)下，有σV= 0，由式(10)知，斷裂面位向與最大剪應(yīng)力面一致。若材料純剪破壞強(qiáng)度為τ0，由式(12)，知

(13)

它表明材料的表面能可以借助其純剪強(qiáng)度得到確定。將式(13)代回式(12)，整理后，有

(14)

于是，我們得到了以物質(zhì)點為考察對象時，外力作用能轉(zhuǎn)化為裂紋表面能的能量耗散關(guān)系。這個能量耗散關(guān)系描述了一點處斷裂發(fā)生的臨界能量條件。它與Mohr-Coulomb準(zhǔn)則力學(xué)模型的一個能量描述關(guān)系的推導(dǎo)結(jié)果基本一致[25]。不同之處在于，這里將問題上升到了整個應(yīng)力空間。

臨界能量條件(14)包含了兩個材料參數(shù)，τ0和k。參數(shù)τ0代表了材料的純剪破壞強(qiáng)度。它是一個材料常數(shù)。參數(shù)k由式(6)給出了定義。它與材料在斷裂發(fā)生時刻的剪切彈性模量和體積模量的比值相關(guān)。由于剪切模量隨應(yīng)力狀態(tài)的變化不是十分顯著，因此可以將其假設(shè)為常數(shù)。不過，強(qiáng)烈的拉伸或者壓縮載荷會使體積變形相當(dāng)困難。此時，體積模量不再是常數(shù)。它表明參數(shù)k不能被簡單地視為一個材料常數(shù)，而是應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)的可變材料參數(shù)。因此，當(dāng)參數(shù)k尚不明確時，臨界能量條件(14)并不能直接用作斷裂判據(jù)。

單軸(簡單)拉伸和壓縮具有相同的變形特征。不妨假設(shè)它們也具有相同的參數(shù)k，設(shè)為k0。單軸拉伸時，σ1=σV=σT，σ2=σ3= 0，其中，σT為拉伸斷裂強(qiáng)度，從臨界能量條件(14)，得到

σT=2τ0/(1+2k0)

(15)

此外，由式(10)的第一式可以發(fā)現(xiàn)，破斷角(斷裂面與拉伸力作用面間的夾角)θT滿足關(guān)系

(16)

顯然，這個角度應(yīng)小于45°。單軸壓縮時，σ1=σ2= 0，σ3=σV=σC，這里，σC為單軸壓縮強(qiáng)度，臨界能量條件(14)給出

σC=2τ0/(1-2k0)

(17)

由式(10)的第一式得到，破斷角(斷裂面與壓縮力作用面間的夾角)θC滿足關(guān)系

(18)

不同于拉伸斷裂情況，單軸壓縮的破斷角大于45°。

3 分析與討論

不同于斷裂力學(xué)中的裂紋—材料系統(tǒng)模型，上述臨界能量條件所考察的對象屬于物質(zhì)點。它表征了斷裂發(fā)生或裂紋擴(kuò)展時外力作用的能量耗散關(guān)系。雖然這個關(guān)系屬于嚴(yán)格的理論推導(dǎo)結(jié)果，但它所能反映的材料斷裂強(qiáng)度變化規(guī)律仍值得進(jìn)一步考察。

3.1 參數(shù)k

參數(shù)k不能被簡單地視為材料常數(shù)。它構(gòu)成了臨界能量條件(14)推廣應(yīng)用的主要困難。為了對參數(shù)k有更深入的理解，這里以巖石三軸壓縮為例展開分析。

按照巖石力學(xué)的約定，取壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力取為負(fù)，式(14)的臨界能量條件改寫為

(19)

利用式(17)，將τ0替換為σC，上式可以表示為

(20)

在這個表達(dá)式中，σC可由單軸壓縮試驗直接確定。若單軸拉伸或壓縮斷裂破壞的剪切彈性模量和體積模量均為已知，易于根據(jù)定義式(6)得到參數(shù)k0的值。其實，參數(shù)k0也可以根據(jù)單軸壓縮或拉伸的破斷角計算確定。以單軸壓縮為例，若破斷角為θC，由式(18)，有

k0=0.5-cos2θC

(21)

此外，如果單軸拉伸和壓縮強(qiáng)度均已給定，依據(jù)式(16)和(17)，也可以得到

(22)

當(dāng)σC和k0確定后，根據(jù)已知的破壞應(yīng)力狀態(tài)，從方程(20)求解得到參數(shù)k為

(23)

另一方面，在巖石三軸壓縮實驗時可以同時測試記錄試樣的變形情況，獲得其體積應(yīng)力-應(yīng)變曲線。體積應(yīng)變的最大值點標(biāo)示了試樣的極限儲能狀態(tài)。它所對應(yīng)的割線模量K近似了巖石的彈性體積模量，且有

3K=(σV)p/(σV)p

(24)

這里，(σV)p和(εV)p分別表示體積應(yīng)力-應(yīng)變曲線上應(yīng)變最大值點的體積應(yīng)力和體積應(yīng)變值。若單軸壓縮時二者的取值分別為(σV)0和(εV)0，且剪切彈性模量為常數(shù)，由式(6)，得

(25)

因此，參數(shù)k也可以通過體積應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值點的坐標(biāo)值計算確定。

3.2 臨界能量條件的適用性驗證

從上文分析看出，參數(shù)k可以根據(jù)破壞發(fā)生的應(yīng)力狀態(tài)從臨界能量條件計算確定，也可以根據(jù)材料體積應(yīng)力-應(yīng)變曲線的體積壓縮峰值點坐標(biāo)進(jìn)行估值。如果兩者一致，正好說明臨界能量條件的正確性。因此，臨界能量條件適用性可以通過參數(shù)k的這種一致性進(jìn)行驗證。

文獻(xiàn)[26]給出了Fauske大理巖在側(cè)限壓力σ1=σ3分別為0、10、30、55、85和120MPa時，每組三個試樣的平均壓縮強(qiáng)度，見表1。Fauske大理巖的單軸壓縮強(qiáng)度為σC= 93.2MPa，破裂角為θC= 66°[26]。從式(21)計算得到，參數(shù)k0= 0.3346。根據(jù)臨界能量條件的解答式(23)，計算得到不同側(cè)限壓力下的參數(shù)k值，記為(k)E。同時給出了參數(shù)k值的誤差δk=|(k)E-(k)ε|/ (k)E×100%，見表1。

表1 Fauske大理巖的實驗結(jié)果及臨界能量條件的驗證計算

在不同側(cè)限壓力下，F(xiàn)auske大理巖的壓縮差應(yīng)力σ1-σ3隨軸向應(yīng)變εA及徑向應(yīng)變εR的變化曲線如圖1所示。相關(guān)曲線是文獻(xiàn)[25]所給實驗記錄在峰值強(qiáng)度前代表性離散點的三次函數(shù)擬合插值結(jié)果。實驗所用的是圓柱試樣，體積應(yīng)變可以近似為εV=εA+2εR，由此得到圖2所示壓縮差應(yīng)力 (σ1-σ3)的體積應(yīng)變εV變化曲線。圖中同時標(biāo)示了體積應(yīng)變最大值點的坐標(biāo)值((εV)p,(σ1-σ3)p)。根據(jù)體積應(yīng)變的最大值(εV)p及其所對應(yīng)的體積應(yīng)力(σV)p，利用式(25)計算得到不同側(cè)限壓力條件下參數(shù)k的值，記為(k)ε，如表1所示。

圖1 Fauske大理巖三軸壓縮差應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖2 Fauske大理巖三軸壓縮差應(yīng)力-體積應(yīng)變曲線

從表1可以看出，上述兩種方法所獲得參數(shù)k的最大相對百分誤差為10.08%，表明了二者良好的一致性。由此可見，臨界能量條件用于斷裂分析的正確性。此外，從破裂位向關(guān)系式(10)的第一式，得到破斷角θ為

(26)

將實測破壞應(yīng)力及臨界能量條件確定的參數(shù)k值(k)E代入上式，計算得到破斷角的理論結(jié)果如表1所示?？梢钥闯觯碚撝蹬c實驗結(jié)果良好的一致性。

與Fauske大理巖分析完全類似地，利用側(cè)限壓力0、10、30、55和85MPa時Iddefjord花崗巖的三軸壓縮實驗結(jié)果[26]，如表2所示，可以進(jìn)行臨界能量條件的驗證計算。實驗表明，Iddefjord花崗巖的單軸壓縮強(qiáng)度σC= 129.1MPa，破裂角θC= 79°[26]，從式(21)計算得到參數(shù)k0= 0.4636。圖3給出了實驗曲線插圖[26]在峰值強(qiáng)度前代表性離散點三次函數(shù)擬合的壓縮差應(yīng)力σ1-σ3關(guān)于軸向應(yīng)變εA和徑向應(yīng)變εR的變化曲線。它們所對應(yīng)的體積應(yīng)變曲線如圖4所示。

表2 Iddefjord花崗巖的實驗結(jié)果及臨界能量條件的驗證計算

圖3 Iddefjord花崗巖三軸壓縮差應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖4 Iddefjord花崗巖三軸壓縮差應(yīng)力—體積應(yīng)變曲線

從式(23)計算得到Iddefjord花崗巖參數(shù)k的值(k)E，從體積應(yīng)變曲線圖4讀取的數(shù)據(jù)結(jié)合式(25)，計算得到參數(shù)k的值(k)ε，如表2所示。對比可見，兩種方法所獲得參數(shù)k基本一致。不過，破斷角的理論與實驗值存在著明顯的差異。如果注意到試樣破裂的原始照片[25]，可以看出，這里的理論結(jié)果更接近于真實斷裂位向。其實，斷裂發(fā)生的主導(dǎo)控制破壞面的位向應(yīng)該非常接近上述理論破壞角。宏觀破壞面的形成是這些主導(dǎo)控制破壞面彼此貫通的結(jié)果。它比僅僅只關(guān)注初始裂紋的影響[22]能更為合理地解釋類似花崗巖這類高硬度或高脆性巖石壓縮破壞面的翼狀裂紋現(xiàn)象[27]。

3.3 臨界能量條件的基本特征

臨界能量條件(14)為以斷裂形式發(fā)生的材料破壞現(xiàn)象提供了一個一般性能量描述關(guān)系。一旦參數(shù)k的變化規(guī)律得到確定，這個能量關(guān)系將直接轉(zhuǎn)化為材料破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則。因此，臨界能量條件為材料破壞準(zhǔn)則的建立提供了理論基礎(chǔ)。

不同于Griffith斷裂理論[13]，斷裂臨界能量條件僅關(guān)注破裂釋放能量的大小，并不直接描述材料所儲存彈性能隨裂紋發(fā)展或斷裂形成的釋放過程。與介質(zhì)力學(xué)基本方程的聯(lián)合分析，應(yīng)該有合適的理論解答用于表征斷裂發(fā)生或裂紋擴(kuò)展時外力作用能量耗散演化關(guān)系。斷裂力學(xué)已經(jīng)建立了成熟的理論體系，通過裂紋-材料系統(tǒng)總能量變化揭示了能量耗散規(guī)律。其中，初始裂紋被作為力學(xué)模型的構(gòu)成要素。如果不考慮初始裂紋或者幾何奇異性，理論模型失去了初始裂紋的支撐性要素，材料破壞強(qiáng)度準(zhǔn)則該如何合理表述？與此相對應(yīng)，材料力學(xué)給出了四個強(qiáng)度理論。稍作分析，不難發(fā)現(xiàn)，第一和第二強(qiáng)度理論屬于實驗現(xiàn)象的經(jīng)驗總結(jié)，第三和第四強(qiáng)度理論有合理物理解釋，卻沒有考慮到破壞面上正應(yīng)力的影響?？梢钥闯?，斷裂臨界能量條件的概念彌補(bǔ)了這一不足。因此，它也構(gòu)成了忽略初始裂紋影響條件下斷裂力學(xué)理論能量分析的某種補(bǔ)充。

臨界能量條件注意到斷裂面上載荷卸除所引起彈性能的釋放并轉(zhuǎn)化為裂紋表面能的事實。它以純剪破壞作為參考狀態(tài)，通過裂紋表面能的紐帶作用并有效地延伸，指明了不同應(yīng)力狀態(tài)下斷裂能之間的聯(lián)系，從理論上嚴(yán)格證明了材料強(qiáng)度判據(jù)的基本構(gòu)想，即依據(jù)簡單應(yīng)力狀態(tài)的試驗結(jié)果可以推知復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度特性。

4 結(jié)論

(1) 對于那些不存在或者不考慮初始裂紋和幾何奇異性的材料，斷裂力學(xué)理論還沒有明確的強(qiáng)度分析處理方法。因此，本文放棄了初始裂紋這個斷裂理論模型基本要素，將考察對象退化到物質(zhì)點，在能量耗散關(guān)系基礎(chǔ)上，提出一個斷裂發(fā)生的臨界能量條件。

(2) 斷裂面上一點的斷裂能包含剪切能和體積能兩個部分。前者是該點的切應(yīng)力關(guān)于彈性切應(yīng)變的勢能，后者是正應(yīng)力關(guān)于體積應(yīng)變在兩個方向同時作用的變形勢能。該能量的最大值確定了真實斷裂能，它所在平面的方向限定了斷裂發(fā)生的位向。真實斷裂能轉(zhuǎn)化為新生裂紋表面能的能量守恒關(guān)系，給出了斷裂的臨界能量條件。

(3) 斷裂臨界能量條件包括了兩個材料參數(shù)：材料的純剪強(qiáng)度；剪切彈性模量與體積模量比值相關(guān)的隨應(yīng)力狀態(tài)變化的可變材料參數(shù)。后者可以由斷裂發(fā)生的應(yīng)力狀態(tài)計算確定，也可以依據(jù)其定義式在彈性剪切模量常數(shù)近似條件下由體積應(yīng)變的極限狀態(tài)值計算確定。兩種方法所得結(jié)果的一致性給出了臨界能量條件實驗驗證的技術(shù)途徑。應(yīng)用Fauske大理巖和Iddefjord花崗巖三軸壓縮實驗結(jié)果的分析計算結(jié)果表明了臨界能量條件的正確性。此外，破斷角的理論值與實驗結(jié)果良好的一致性進(jìn)一步證實了理論分析結(jié)果的正確性。