趙新宇，趙則祥，劉如意，竇武陽

(1.中原工學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院，河南 鄭州 451191；2.中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，河南 鄭州 451191)

0 引 言

對(duì)于高精度的圓柱孔和軸，其不僅有較高的尺寸精度要求，而且有較高的幾何精度要求，分別根據(jù)GB/T 1800[1]和GB/T 1182[2]等國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)注和控制，但相配合的孔、軸的可裝配性和配合性能是由實(shí)際尺寸和形狀誤差綜合作用的結(jié)果。

ISO/TC 213在ISO 14405.1[3]中，將實(shí)際尺寸與形狀誤差綜合作用的結(jié)果用全局尺寸表征，全局尺寸包括最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內(nèi)切尺寸和最大最小尺寸。Ze-xiang ZHAO等[4-5]對(duì)圓柱體全局尺寸的測(cè)量以及偏心、傾斜對(duì)圓柱體全局尺寸評(píng)定結(jié)果的影響問題進(jìn)行了研究。圓柱體全局尺寸中的最小外接尺寸、最大內(nèi)切尺寸和最大最小尺寸的評(píng)定，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)‘minimax’問題，分別與圓柱度誤差評(píng)定中的最小外接法、最大內(nèi)切法和最小區(qū)域法對(duì)應(yīng)。

許多學(xué)者對(duì)圓柱度誤差評(píng)定中優(yōu)化算法進(jìn)行了研究。YANG Y等[6]提出了一種改進(jìn)的協(xié)調(diào)搜索算法；ZHENG P等[7]采用運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)了圓柱度誤差的最小區(qū)域法評(píng)定；宗濤等[8]提出了雙圓心擬合與網(wǎng)格逼近的優(yōu)化算法；史栩屹等[9]將二次插值鯨魚優(yōu)化算法應(yīng)用于圓柱度誤差的評(píng)定；趙藝兵等[10]采用擬粒子群進(jìn)化算法對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)提取的圓柱體輪廓進(jìn)行了圓柱度誤差的評(píng)定。

上述圓柱度誤差評(píng)定所用的優(yōu)化算法均可用于圓柱體全局尺寸的評(píng)定。為了使評(píng)定結(jié)果更加直觀，需要對(duì)評(píng)定結(jié)果可視化。

本文以局部放大的圓柱體圓周輪廓為基礎(chǔ)，研究圓柱體全局尺寸評(píng)定結(jié)果的可視化。

1 圓柱體圓周輪廓的可視化

已知圓柱體圓周輪廓上所有采樣點(diǎn)到工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線的徑向距離，可求得上述距離值的均值，即：

(1)

式中：ρij—第i圓周輪廓上第j采樣點(diǎn)到工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線的徑向距離；m—圓周輪廓數(shù)；n—每個(gè)圓周輪廓上的采樣點(diǎn)數(shù)。

為使圓周輪廓的可視化，筆者對(duì)圓周輪廓進(jìn)行局部放大，局部放大后第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)到工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線(z軸)的徑向距離可表示為：

ρAij=R+(ρij-R)×A

(2)

式中：A—局部放大倍數(shù)。A值過大，顯示的圓周輪廓變形；A值過小，起不到輪廓局部放大的作用，A值的選擇，滿足圓周輪廓適宜放大即可。當(dāng)A為1時(shí)，局部放大后圓周輪廓的ρAij就是實(shí)際圓周輪廓的ρij。

圓柱體局部放大后的圓周輪廓在oAxAyAz坐標(biāo)系中的示意圖如圖1所示。

圖1 局部放大后的圓周輪廓在oA xA yA z坐標(biāo)系中的示意圖dAij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)到全局尺寸圓柱面軸線的垂直距離，全局尺寸圓柱面可以是最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面、最大最小圓柱面等4種全局尺寸圓柱面之一；eLi(xLi,yLi,zi)—全局尺寸圓柱面的軸線與局部放大后的第i圓周輪廓所在平面的交點(diǎn)；eL1(xL1,yL1,0)—全局尺寸圓柱面的軸線在xA oA yA平面上的坐標(biāo)；oAi—工作臺(tái)回轉(zhuǎn)軸線與局部放大后的第i圓周輪廓所在平面的交點(diǎn)

局部放大后的第i圓周輪廓示意圖如圖2所示。

圖2 局部放大后的第i圓周輪廓示意圖lLi—eLi與oAi之間的距離；θLi—oAieLi與xAi軸之間的夾角；rAij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)到eLi的距離；φij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)與xAi間的夾角

lLi和θLi由下式確定:

(3)

由圖2可知：局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點(diǎn)的ρAij可表示為：

(4)

2 局部放大后的全局尺寸的確定

依據(jù)圖1所示的圓周輪廓采用圓柱度誤差評(píng)定方法(最小二乘法、最小外接法、最大內(nèi)切法和最小區(qū)域法)，可得到相應(yīng)的全局尺寸圓柱面，全局尺寸圓柱面的直徑即為圓柱體局部放大后的全局尺寸。圓柱體全局尺寸的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內(nèi)切尺寸和最大最小尺寸分別對(duì)應(yīng)于最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面和最大最小圓柱面。

根據(jù)圖1，筆者建立最小二乘圓柱面的方程：

(5)

式中：RAL—最小二乘圓柱面的半徑。

式(5)中的全局尺寸圓柱面為最小二乘圓柱面。

式(5)是一個(gè)非線性最小二乘方程。由于圓周輪廓提取前已進(jìn)行了調(diào)心調(diào)平處理，lLi較小，式(5)中的dAij可由圖(2)中的rAij代替，并假設(shè)式(4)中的[lLisin(φij-θLi)]2≈0，式(3)可近似表示為：

ρAij≈lLi(cosφijcosθLi+sinφijsinθLi)+rAij=
lLicosθLicosφij+yLisinφij+rAij=
xLicosφij+yLisinφij+rAij

則有：

rAij=ρAij-xLicosφij-yLisinφij

(6)

式中：xLi，yLi—最小二乘圓柱面軸線在第i圓周輪廓平面內(nèi)的xAi和yAi坐標(biāo)值。

xLi和yLi可由下式確定：

(7)

式中：xL1—最小二乘圓柱面軸線在xAoAyA平面上的xA的坐標(biāo)值；yL1—最小二乘圓柱面軸線在xAoAyA平面上的yA的坐標(biāo)值；pL—最小二乘圓柱面軸線參數(shù)cosαL/cosγL，αL，γL—最小二乘圓柱面軸線與xA和z軸之間的夾角；qL—最小二乘圓柱面軸線參數(shù)cosβL/cosγL，βL—最小二乘圓柱面軸線與yA軸之間的夾角；zi—局部放大后的第i圓周輪廓與xAoAyA平面之間的距離。

將式(5)的非線性最小二乘問題轉(zhuǎn)化為線性最小二乘問題，即：

(8)

將式(8)分別對(duì)xL1,yL1,pL,qL和RAL求偏導(dǎo)，并令其為0，可得到五元一次方程組。解該方程組，即可得到最小二乘圓柱面軸線參數(shù)xL1,yL1,pL,qL和圓柱體輪廓局部放大后的最小二乘圓柱面直徑，即：

(9)

依據(jù)最小外接尺寸、最大內(nèi)切尺寸和最大最小尺寸的定義，最小外接尺寸DAC、最大內(nèi)切尺寸DAI可用優(yōu)化函數(shù)表示：

(10)

式中：XAC—最小外接圓柱面的軸線參數(shù)，XAC=[xC1,yC1,pC,qC]T；XAI—最大內(nèi)切圓柱面的軸線參數(shù)，XAI=[xI1,yI1,pI,qI]T。

最大最小尺寸DAZ可由下式確定：

(11)

式中：XAZ—最大最小圓柱面的軸線參數(shù)，XAZ=[xZ1,yZ1,pZ,qZ]T。

式(10)和式(11)中的dAij可由下式得到：

(12)

式中：T—全局尺寸圓柱面的類型，T可為L(zhǎng)、C、I、Z之一，分別代表最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面和最大最小圓柱面的軸線參數(shù)。

3 全局尺寸圓柱面的可視化

3.1 全局尺寸圓柱面輪廓坐標(biāo)的確定

全局尺寸評(píng)定結(jié)果的可視化實(shí)質(zhì)上是全局尺寸相對(duì)應(yīng)的圓柱面的可視化。全局尺寸圓柱面的可視化首先要確定全局尺寸圓柱面輪廓的坐標(biāo)值。

由于全局尺寸圓柱面的軸線與z軸間不平行，全局尺寸圓柱面在平行于xAoAyA平面的截面上的輪廓為一橢圓，如圖3所示。

圖3 全局尺寸圓柱面軸線傾斜時(shí)的橢圓輪廓示意圖ETL—橢圓輪廓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；ETS—橢圓輪廓的短半軸長(zhǎng)；γT—全局尺寸圓柱面的軸線與z軸間的夾角

ETL和ETS可由下式確定：

(13)

當(dāng)全局尺寸圓柱面的軸線與z軸不重合時(shí)，全局尺寸圓柱面橢圓輪廓在xAoAyA平面上的投影如圖4所示。

圖4 橢圓輪廓在xA oA yA平面上的投影示意圖λT—橢圓輪廓長(zhǎng)軸在xA oA yA平面上與xA軸間的夾角

λT可由下式確定：

(14)

全局尺寸圓柱面第i輪廓第j采樣點(diǎn)到z軸的徑向距離為：

(15)

式中：a,b，c—一元二次方程中的3個(gè)參數(shù)。

a,b，c可分別由以下各式確定：

(16)

(17)

(18)

當(dāng)ρTEij確定后，全局尺寸圓柱面上輪廓的三維坐標(biāo)可由下式確定：

(19)

確定軸線在xAoAyA平面和第m圓周輪廓平面上的坐標(biāo)，即可實(shí)現(xiàn)圓柱面軸線的可視化，其坐標(biāo)可由下式確定：

(20)

式中：k=1，z1=0，k=m，zm=L；L—軸向測(cè)量長(zhǎng)度。

3.2 程序編制

最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面和最大最小圓柱面的直徑通過對(duì)式(10)和式(11)優(yōu)化問題采用Matlab中的‘fminimax’函數(shù)獲得，最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面和最大最小圓柱面的軸線的優(yōu)化初始值均是最小二乘圓柱面的軸線參數(shù)值。

圓柱體局部放大后的輪廓坐標(biāo)、全局尺寸圓柱面的輪廓坐標(biāo)和全局尺寸圓柱面軸線兩端點(diǎn)的坐標(biāo)確定后，可將Matlab中的plot3三維繪圖函數(shù)與hold on語句組合使用，把m個(gè)局部放大圓周輪廓、全局尺寸圓柱面的m個(gè)橢圓輪廓、全局尺寸圓柱面的軸線呈現(xiàn)在一張圖上。

對(duì)于圓柱體全局尺寸圓柱面的顯示，可將m個(gè)橢圓輪廓的坐標(biāo)利用Matlab中的surf或mesh函數(shù)顯示。

4 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

在Talyround 585LT圓柱度儀上，筆者對(duì)一孔進(jìn)行了圓周輪廓提取，并將圓周輪廓數(shù)據(jù)以‘.CVS’格式導(dǎo)出?？椎墓Q尺寸D為51.5 mm，測(cè)量長(zhǎng)度L為100 mm，圓周輪廓數(shù)m為21，每個(gè)圓周輪廓的采樣點(diǎn)數(shù)n為2 000。

筆者用所建立的模型編制的程序，對(duì)被測(cè)孔的輪廓進(jìn)行了全局尺寸的評(píng)定。該孔的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內(nèi)切尺寸和最大最小尺寸分別為50.994 8 mm、51.016 mm、50.976 8 mm和50.996 7 mm。

為簡(jiǎn)化起見，筆者僅給出了局部放大后的圓周輪廓、最小外接尺寸圓柱面及其軸線2種可視化方法的顯示，如圖5所示。

圖5 最小外接圓柱面與最小外接尺寸

由圖5可知：xA和yA的坐標(biāo)并不是真實(shí)的坐標(biāo)，而是局部放大后輪廓的坐標(biāo)，輪廓局部放大倍數(shù)為500；2種可視化方法均能較清晰地顯示被測(cè)孔的圓周輪廓、全局尺寸圓柱面及其軸線，圖中的MC表示最小外接評(píng)定方法。

5 結(jié)束語

以局部放大的圓柱體圓周輪廓為基礎(chǔ)，筆者建立了確定圓柱體最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內(nèi)切圓柱面和最大最小圓柱面的尺寸和軸線參數(shù)的模型；由全局尺寸圓柱面的尺寸和軸線參數(shù)，建立了全局尺寸圓柱面輪廓坐標(biāo)的生成模型，并提出了全局尺寸圓柱面及其軸線的2種可視化方法；基于所建立的模型，筆者編寫了圓柱體全局尺寸的評(píng)定及其可視化程序，并對(duì)一個(gè)孔的全局尺寸進(jìn)行了評(píng)定及其結(jié)果顯示，給出了基于圓柱面輪廓法和surf圓柱面法的最小外接尺寸評(píng)定的可視化結(jié)果。

可視化結(jié)果表明：筆者所建模型正確，圓周輪廓、全局尺寸圓柱面及其軸線的2種可視化方法的結(jié)果直觀清晰；2種可視化方法也可用于圓柱度誤差評(píng)定中的圖形顯示。