方啟林

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，安徽 合肥 230022）

0 引言

陣列信號處理在雷達(dá)、導(dǎo)航和其他通信領(lǐng)域中得到了廣泛運用，ESPRIT、MUSIC 等方法能精確估計來波角度。然而，隨著陣列規(guī)模的不斷擴大，整個信號處理過程中處理的數(shù)據(jù)量不斷增加。當(dāng)來波信號個數(shù)較少時，全采樣整個陣列會產(chǎn)生冗余。因此，合理減少采樣陣元數(shù)可以有效提高效率。另外，增加陣列規(guī)模會增大陣元損壞可能性，如果陣元發(fā)生損壞，DOA 估計精度將會受到影響。以上兩種情況可以統(tǒng)一看作缺損的是對應(yīng)位置上的陣元，接收數(shù)據(jù)矩陣出現(xiàn)缺失元素。如何解決接收數(shù)據(jù)矩陣的缺失元素的恢復(fù)問題具有重要的價值。

矩陣填充（Matrix Completion，MC）[1-2]理論是一種已知矩陣的部分元素，利用矩陣的低秩性重構(gòu)出原始矩陣的有效方法。矩陣填充理論已經(jīng)被運用于波達(dá)方向估計[3-4]，取得了較好的結(jié)果。但是，在實際應(yīng)用過程中，陣元缺損也許會使接收數(shù)據(jù)矩陣的某一整行的數(shù)據(jù)全部缺失，而一般的MC 理論需要采樣矩陣至少存在一個非零元素的每一行或者每一列來保證重構(gòu)的原始接收數(shù)據(jù)矩陣的準(zhǔn)確性。所以，文獻[5]將接收到的單次快拍列向量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成等效低秩矩陣，再用MC 方法恢復(fù)缺失數(shù)據(jù)，但是因為只用到一次的數(shù)據(jù)，降低了估計精度。文獻[6]對出現(xiàn)全零行的接收數(shù)據(jù)矩陣的每個列向量進行變換，變成一個Hankel 矩陣，再把得到的Hankel 矩陣重構(gòu)成一個二重塊Hankel 矩陣，然后采用MC 理論填充變換后的矩陣，利用反變換重構(gòu)出完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，獲得了較高精度的角度估計值。然而，文獻[5-6]都是針對均勻線陣提出的方法，如果是一般的陣列（如二維陣列、非均勻線陣等），這些方法將會失效。由于不能推廣到二維陣列，它將無法同時實現(xiàn)對方位角和俯仰角的估計。

針對任意陣列結(jié)構(gòu)的一般陣列且有部分陣元缺損的情況，在傳統(tǒng)的MC 問題基礎(chǔ)上引入子空間約束，構(gòu)造了一個新的凸優(yōu)化問題，通過求解凸優(yōu)化問題，能夠恢復(fù)出接收數(shù)據(jù)矩陣中的整行缺失的元素，同時能夠?qū)崿F(xiàn)對角度的有效估計。

1 信號模型和問題描述

假設(shè)空間中存在K個相互獨立的窄帶輻射源，它們的中心頻率為f，波長為λ，接收天線數(shù)為M，任意一般陣列K＜＜M。忽略噪聲時，在t時刻陣列接收到的信號向量為：

所以，陣列的接收數(shù)據(jù)矩陣可以看作是低秩的。一般地，會有一些噪聲混入陣列天線接收信號，此時接收數(shù)據(jù)矩陣可以寫成：

式中，N表示加性空時高斯白噪聲。在噪聲較小的情況下，可以認(rèn)為接收的數(shù)據(jù)矩陣滿足低秩性，依然可以用MC 理論對其進行分析研究[7]。

在有部分陣元缺損的情況下，缺損陣元將沒有輸出信號（輸出為0），此時接收數(shù)據(jù)矩陣X的一些行的數(shù)據(jù)整行缺失。不失一般性，本文用XΩ表示有Mb行元素整行缺失的數(shù)據(jù)矩陣，下標(biāo)Ω為矩陣X未缺失元素位置的集合，且滿足M-Mb>K?，F(xiàn)在問題是如何利用XΩ和X的低秩性求出原矩陣X，從而恢復(fù)出Mb行整行缺失的數(shù)據(jù)。

2 矩陣填充的基本模型

因為接收數(shù)據(jù)矩陣是低秩的，所以在XΩ有強不相干性[7]（Strong Incoherence Property，SIP）時（如數(shù)據(jù)矩陣X的部分元素隨機缺失，而不是整行缺失），則可通過秩最小化約束，利用缺失部分元素的數(shù)據(jù)矩陣XΩ重構(gòu)出原始數(shù)據(jù)矩陣X。這個約束優(yōu)化問題可以表示為：

式中，X′∈RM×L為變量矩陣。問題（7）是秩最小化問題，求解是NP-hard 問題[8]，因此通常將式（7）轉(zhuǎn)化為求解約束凸優(yōu)化問題：

進一步，可以轉(zhuǎn)化為解決無約束凸優(yōu)化問題：

其中，||·||*表示矩陣的核范數(shù)，||·||F表示矩陣的Frobenius 范數(shù)，α是正則化系數(shù)。

對于一般陣列而言，如果有Mb陣元缺損，矩陣XΩ將出現(xiàn)Mb行的數(shù)據(jù)整行缺失（為零），此時不滿足SIP 條件，不能直接通過求解凸優(yōu)化問題（9）恢復(fù)缺失數(shù)據(jù)。因此，本文擬引入子空間約束構(gòu)造新的凸優(yōu)化問題，從而解決數(shù)據(jù)矩陣整行缺失時的數(shù)據(jù)恢復(fù)問題。

3 引入子空間約束的陣元缺損的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法

3.1 子空間加權(quán)的矩陣填充方法

通過利用矩陣X子空間的先驗信息，文獻[9]提出了一種子空間加權(quán)MC 方法。

對矩陣X進行奇異值分解，得到：

其中QUK,ω和QVK,ω分別表示子空間UK和VK的投影矩陣的加權(quán)矩陣，權(quán)值ω∈(0,1]。

利用QUK,ω和QVK,ω，基本的MC 問題（8）可轉(zhuǎn)換為子空間加權(quán)MC 問題：

比較式（8）和式（10）可知，當(dāng)ω=1 時，式（14）退化為式（8），可見子空間加權(quán)MC 方法是基本MC 方法的推廣。

與基本的MC 問題類似，子空間加權(quán)MC 方法可轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題：

3.2 子空間的估計

由3.1 節(jié)可知，子空間加權(quán)的MC 方法需要子空間UK和VK的先驗信息。但是，在實際運用時，完整數(shù)據(jù)矩陣X是未知的，已知的數(shù)據(jù)矩陣為XΩ，因此必須要利用XΩ對子空間UK和VK進行估計。文獻[9]中的策略是通過對矩陣XΩ進行SVD 分解來獲得子空間UK和VK的估計。

3.3 近端梯度下降法求優(yōu)化問題（15）

仔細(xì)觀察式（15）的優(yōu)化問題可知，該凸優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)是兩個凸函數(shù)之和，其中一個凸函數(shù)可微，而另一個凸函數(shù)不可微。根據(jù)優(yōu)化理論，這類凸優(yōu)化問題可用近端梯度下降法（Proximal Gradient Descent）進行求解[10]。

令Y=QUK,w·X′·QVK,w，則式（15）的優(yōu)化問題可表示為：

令：

顯然，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(Y)=g(Y)+h(Y)、g(Y)可微，h(Y)不可微。根據(jù)近端梯度下降算法的原理，式（18）的優(yōu)化問題分兩步進行。

首先，利用可微函數(shù)g(Y)的梯度對Y進行迭代更新，即：

其中w>0 為步長，Δg(Y)表示g(Y)的梯度，表達(dá)式為：

從而獲得優(yōu)化問題（15）的解X′。

值得指出的是，式（19）和式（21）中的步長參數(shù)w 有兩種方法確定，即采用固定步長或使用線性搜索方法來確定[11]。

3.4 整行數(shù)據(jù)缺失的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法

由于陣列的部分陣元缺損導(dǎo)致陣列接收數(shù)據(jù)矩陣的一些行全為0（整行缺失），此時不能用常規(guī)的矩陣填充方法恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)。通過引入子空間約束，構(gòu)造一個的矩陣填充問題，可以有效恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)?；谟懻摵头治觯袛?shù)據(jù)缺失的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法總結(jié)如下。

輸入：部分行整行缺失的數(shù)據(jù)矩陣XΩ，整行缺失的元素位置集合Ω，陣列的幾何結(jié)構(gòu)；

初始化：

4 仿真實驗與分析

4.1 仿真條件和評價性能的指標(biāo)

仿真實驗中，天線陣列設(shè)置為二維均勻圓陣，陣元數(shù)M=8，圓陣半徑等于波長；陣元缺損的數(shù)目Mb=4 且是隨機缺損，即每次實驗隨機關(guān)閉8 個陣元中的4 個陣元（缺損率為50%）。到達(dá)陣列的輻射源為兩個不相關(guān)且等功率的窄帶隨機信號，其DOA 分別為(θ1,φ1)=(25°,50°)和(θ2,φ2)=(35°,40°)；信噪比SNR 定義為

算法的參數(shù)設(shè)置：正則化參數(shù)α=10，子空間加權(quán)系數(shù)ω=0.01；近端算法中的步長參數(shù)w采用線搜索方法確定，初始值w0=1。

采用DOA 估計的平均誤差和缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)的相對誤差來評價算法的性能。

DOA 估計的平均誤差E1定義為：

恢復(fù)數(shù)據(jù)的相對誤差E2定義為：

另外，仿真實驗中快拍數(shù)L=500，隨機的獨立實驗次數(shù)N=500 次。

4.2 DOA 估計的平均誤差E1 與信噪比之間的關(guān)系

DOA 估計采用MUSIC 方法，在不同的信噪比條件下觀察本文算法求出的DOA 估計的平均誤差E1與信噪比SNR之間的關(guān)系，仿真曲線如圖1 所示。

圖1 E1 與SNR 的關(guān)系曲線

圖1 中帶“加”符號的曲線表示缺失4 個陣元（Mb=4）時，直接應(yīng)用MUSIC 算法得到的估計角度的平均誤差；帶“圈”的曲線表示利用完整的8個陣元（無缺失陣元，Mb=0）和MUSIC 算法，得到的估計角度的平均誤差；帶“叉”和“菱形”符號的曲線都表示利用本文算法恢復(fù)缺失數(shù)據(jù)后，利用MUSIC 算法得到的估計角度的平均誤差，帶“叉”符號的曲線代表迭代次數(shù)I=1，帶“菱形”符號的曲線代表迭代次數(shù)I=3。

由圖1 可知，由于陣元缺損所導(dǎo)致的整行數(shù)據(jù)缺失，本文提出的算法能有效恢復(fù)缺失的數(shù)據(jù)，降低了DOA 估計的角度誤差。另外，隨著迭代次數(shù)的增加，角度估計的平均誤差越小。在低信噪比時，缺失陣元帶來的性能變化相對不大，而在較高的信噪比下進行矩陣填充后的性能改善明顯。

4.3 恢復(fù)數(shù)據(jù)的相對誤差E2 與信噪比的關(guān)系

在不同的信噪比條件下，利用本文算法恢復(fù)的缺失數(shù)據(jù)，其相對誤差E1與SNR的關(guān)系曲線如圖2 所示。

圖2 E2 與SNR 的關(guān)系曲線

圖2 中，帶“圈”符號和“加”符號分別表示迭代次數(shù)為I=1 和I=3 時，利用本文算法恢復(fù)的缺失數(shù)據(jù)的相對誤差。容易看出，當(dāng)信噪比增加時，在不同迭代次數(shù)下，恢復(fù)數(shù)據(jù)的相對誤差會逐漸減小。而在同樣信噪比下，迭代次數(shù)增大，相對誤差也會減少。

綜合圖1 和圖2 的仿真結(jié)果可知，本文提出的數(shù)據(jù)恢復(fù)算法在低信噪比時，恢復(fù)數(shù)據(jù)的相對誤差和DOA 估計的平均誤差的性能改善較小，而在中、高信噪比時性能改善較大。這主要是由于各個陣元上的加性噪聲是相互獨立的，且噪聲矩陣N不具有低秩性，同時噪聲較大時子空間估計的誤差也較大。本文算法主要是基于接收數(shù)據(jù)矩陣的低秩性和子空間約束設(shè)計的，所以在低信噪比時，性能改善要劣于高信噪比時的性能改善。

5 結(jié)語

本文提出了一種將子空間約束引入MC 理論的新方法，可以通過加權(quán)方式引入子空間約束，最終實現(xiàn)在一般陣列陣元出現(xiàn)缺損的情況下仍然能恢復(fù)接收數(shù)據(jù)矩陣。所提方法適用于一般陣列，可以解決二維角度估計問題，具有廣泛的應(yīng)用場景。