王 川，方海輝，那 楓，金 浩，王安義，劉 靜

（1.西南石油大學(xué)機電工程學(xué)院，四川成都610500；2.中國石油技術(shù)開發(fā)有限公司，北京100009；3.中國船舶重工集團公司第七一四研究所，北京100101；4.國家油氣鉆井裝備工程技術(shù)研究中心，陜西寶雞721002）

采油樹系統(tǒng)下放安裝過程比較復(fù)雜，容易受到波浪和海流等各種惡劣環(huán)境因素的影響。在下放過程中需要控制采油樹的下放精度，否則會影響采油樹下放的安全以及采油樹與井口的對準安裝。目前許多學(xué)者對采油樹的安裝穩(wěn)定性展開了相關(guān)研究，如：Bai等［1］介紹了利用隔水管安裝采油樹的方法，并進行了安裝安全性分析；Hu等［2］研究了采油樹下放和與井口對接的2個階段，分析了海洋環(huán)境中立管的應(yīng)力和位移；Zhang等［3］給出了在安裝過程中應(yīng)對繞線和其他操作風險的解決方案；林秀娟等［4］根據(jù)在海洋環(huán)境中的實際安裝工況，建立了深水采油樹在下放過程中鉆柱的橫向力學(xué)分析模型，討論了一些基本參數(shù)對鉆柱的應(yīng)力、位移的影響；龔銘煊等［5］根據(jù)安裝工況建立了在采油樹下放安裝過程中鉆桿的力學(xué)分析模型，但未考慮升沉補償裝置以及鉆柱的縱向振動；肖易萍等［6］介紹了水下采油樹的發(fā)展、構(gòu)造以及不同類型采油樹的優(yōu)缺點，研究了采油樹下放安裝的步驟與要求；葉永彪等［7］介紹了水下臥式采油樹的結(jié)構(gòu)及采油樹的主流類型，并總結(jié)了水下采油樹采用動態(tài)定位船吊機下放安裝的幾個要點。脫浩虎等［8］用OrcaFlex軟件建立了水深為1 500 m時采油樹下放安裝過程的數(shù)值仿真模型，研究環(huán)境差異等因素對采油樹橫向偏移和受力的影響。

目前，針對采油樹安裝穩(wěn)定性的研究，主要是分析鉆柱橫向振動的影響，并沒有考慮采油樹的縱向振動以及其與海底井口連接時開啟升沉補償裝置導(dǎo)致的振動的影響。本文針對鉆柱-采油樹安裝模式，建立鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)仿真模型，考慮平臺的升沉補償，定量研究升沉補償模式、PID控制器比例函數(shù)、補償缸體積、水深、鉆柱壁厚、采油樹質(zhì)量等因素對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響，以對采油樹現(xiàn)場下放安裝提供一定的參考。

1 水下采油樹安裝工況分析

水下采油樹在剛開始下放時，與平臺的連接為剛性連接。通過鉆柱一直下放到井口，到井口附近開啟與鉆柱上端連接的升沉補償裝置，以確保水下采油樹與海底井口安裝對接的穩(wěn)定性。采油樹從下放到安裝結(jié)束一直處于懸掛狀態(tài)，如圖1所示［9］。圖1（a）中鉆柱與平臺為剛性連接，稱為采油樹硬懸掛；圖1（b）中鉆柱與平臺通過升沉補償裝置連接，稱為采油樹軟懸掛。

圖1 采油樹懸掛模式示意圖Fig.1 Schematic diagram of production tree suspension mode

為了更好地分析和計算，作如下假設(shè)［10-14］：

1）鉆柱為均質(zhì)、各向同性的等截面圓管；

2）鉆柱上端與平臺上的升沉補償裝置相連，鉆柱下端與采油樹相連，將采油樹視為集中質(zhì)量塊懸掛在鉆柱的底部；

3）忽略鉆柱內(nèi)部流體對鉆柱的影響。

2 基于升沉補償?shù)你@柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型的建立

2.1 鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)分析

鉆柱-采油樹結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中L為鉆柱的長度。將鉆柱底部的采油樹視為坐標原點，沿水深方向為x向，水平方向為y向，建立鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型。鉆柱微元段力學(xué)模型如圖3所示，其中：E為鉆柱彈性模量，Pa；A為鉆柱截面積，mm2；mz為鉆柱微元段質(zhì)量，kg；u（x，t）為距離坐標原點為x的鉆柱微元段的縱向振動位移，m；v為海水的線性阻尼系數(shù)；g為重力加速度。

圖2 鉆柱-采油樹結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structural diagram of drill string-production tree

圖3 鉆柱微元段力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of micro-segment of drill string

距離坐標原點為x的鉆柱微元段受到的縱向應(yīng)力F（x）可以表示為：

在x+dx處鉆柱縱向應(yīng)力可以表示為：

根據(jù)牛頓第二定律，鉆柱縱向振動微分方程為：

整理式（3）可得：

式中：mg=mz/dx。

2.2 升沉補償裝置力學(xué)分析

升沉補償裝置近似于一個大型的氣液彈簧，由波浪引起的鉆柱升沉運動在補償裝置的作用下會減小振幅，在實際應(yīng)用中可通過調(diào)節(jié)補償缸的壓力來適應(yīng)不同井深的鉆柱。主動式升沉補償裝置的工作原理如圖4所示。

圖4 主動式升沉補償裝置工作原理示意圖Fig.4 Schematic diagram of working principle of active heave compensation device

設(shè)定：將升沉補償裝置補償缸內(nèi)的氣體視為無重力的彈簧，其黏性阻尼系數(shù)為c1，等效剛度為k1，N/m；升沉補償裝置與鉆柱連接的鋼絲繩等效為彈簧，其等效剛度為k2，N/m。

當平臺上升時補償缸活塞的受力如圖5所示，其中：x1為平臺上升位移，m；F1為彈簧恢復(fù)力，平臺上升時補償缸內(nèi)氣體被壓縮，則F1方向向上，F(xiàn)1=k1（x1-x2），N；f1為補償缸液阻尼力，方向向上，N；F2為鉆柱對活塞的作用力，方向向下，N；Fa1為活塞、活塞桿的慣性力，與活塞運動方向相反，方向向下，N。

圖5 平臺上升時補償缸活塞受力示意圖Fig.5 Diagram of compensation cylinder piston force with the platform riseing

通過受力分析，得到活塞和鉆柱的動力學(xué)方程為：

式中：x2為補償缸活塞的位移，m；m2為活塞和活塞桿的質(zhì)量，kg。

設(shè)x3為升沉補償裝置與鉆柱之間的彈性伸長量，其值為平臺上升位移與活塞桿運動位移的差值，通過分析可知：

分別對式（5）至式（7）進行拉普拉斯變換，可得：

整理式（8），得活塞位移和平臺上升位移之比的拉氏變換為：

同理，當平臺下沉時對補償缸活塞進行力學(xué)分析，得到的拉氏變換公式和式（9）相同。

2.2.1 補償缸等效剛度k1的求取

由理想氣體狀態(tài)方程和彈簧等效剛度的定義可得：

式中：V0為初始工作時補償缸內(nèi)氣體的體積，V1為活塞桿運動后補償缸內(nèi)氣體的體積，m3；p0為補償缸內(nèi)氣體的初始壓力，p1為補償缸內(nèi)氣體的體積為V1時氣體的壓力，MPa；n為多變指數(shù)，等溫過程中n=1.0，絕熱過程中n=1.4，本文取n=1.0；A2為補償缸有桿腔工作面積，m2。

由式（10）可解得：

2.2.2 鋼絲繩等效剛度k2的求取

根據(jù)前文的設(shè)定，由材料力學(xué)可得鋼絲繩等效剛度k2為：

式中：E1為鋼絲繩彈性模量，Pa；S1為鋼絲繩的截面積，m2；l為鋼絲繩的長度，m。

2.3 鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型的邊界條件

平臺隨海浪升沉的運動經(jīng)升沉補償裝置作用后施加在鉆柱的頂部。將升沉補償裝置作用后平臺的位移看作鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型的上邊界條件。

鉆柱底部連接采油樹，將采油樹看作鉆柱底部的附加集中質(zhì)量塊，則鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型的底部邊界條件可以表示為：

式中：M為采油樹質(zhì)量，t。

3 基于有限差分法的鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型求解

3.1 有限差分法的基本思路

鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型包含對時間和空間的二階偏導(dǎo)方程，采用有限差分法對鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型求解［15-19］。其基本思路為：

1）利用差分網(wǎng)格對偏微分方程的求解域進行劃分；

2）利用向前差分法離散微分方程組，得到方程組的差分格式；

3）將定解條件進行離散，導(dǎo)出相應(yīng)的離散化差分格式；

4）通過迭代法得到偏微分方程定解區(qū)域內(nèi)的解。

3.2 方程組差分的格式

將鉆柱視為一個梁單元，沿x方向均勻劃分m段，共有m+1個節(jié)點，每段長度為h。自下而上依次給節(jié)點i編號，i=1，2，…，m，m+1。模型計算時間為t，用Δt表示時間間隔，對時間進行離散，得到j(luò)個時間節(jié)點，j=1，2，…，b，b+1，則鉆柱的i節(jié)點在j時刻的位移為ui，j。

根據(jù)有限差分法可得到差分公式，把差分公式代入式（4）和式（13），可以得到鉆柱-采油樹縱向振動微分方程的差分格式為：

3.3 模型求解

在上一節(jié)已經(jīng)求解出升沉補償裝置活塞位移與平臺升沉位移之比的拉氏變換，在MATLAB中搭建升沉補償裝置的Simulink模型，如圖6和圖7所示。主動式升沉補償裝置可以通過檢測活塞的位移信號，獲得鉆柱移動的位移，并主動進行補償以保持鉆柱位置的平衡。本文采用PID（proportion integration diferentiation，比例積分微分）控制器作為主動式升沉補償裝置的控制模塊，該控制器具有算法簡單、穩(wěn)定性和可靠性好等優(yōu)點。

圖6 主動式升沉補償裝置的Simulink模型Fig.6 Simulink model of active heave compensation device

圖7 被動式升沉補償裝置的Simulink模型Fig.7 Simulink model of passive heave compensation device

將模型運行后的仿真數(shù)據(jù)保存到MATLAB的工作區(qū)間，作為鉆柱-采油樹縱向振動動力學(xué)模型的上邊界條件。式（14）所示的差分方程組有m+1個未知量，通過MATLAB編程對該封閉方程組（m個方程組及上邊界條件）求解。

4 實例仿真與結(jié)果分析

某井位作業(yè)環(huán)境水深為1 500 m，海水密度為1 030 kg/m3，鉆井液密度為1 600 kg/m3；鉆柱外徑為127 mm，鉆柱壁厚為10.92 mm，鉆柱密度為7 850 kg/m3，鉆柱的彈性模量為206 GPa；采油樹質(zhì)量為40 t，平臺升沉運動振幅為2 m，運動周期為30 s，補償缸體積為1 m3，PID控制器的參數(shù)為：kp=8，ki=2.0，kd=1.0。

基于以上基本參數(shù)，討論升沉補償模式、PID控制器比例系數(shù)、補償缸體積、水深、鉆柱壁厚和采油樹質(zhì)量等因素對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

4.1 升沉補償模式的影響

保持其他參數(shù)不變，分別采取硬懸掛被動式升沉補償模式（以下簡稱為被動模式）、主動式升沉補償模式（以下簡稱為主動模式）進行仿真分析。圖8所示為不同補償模式對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

圖8 不同補償模式對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.8 Influence of different types of compensation modes on the longitudinal vibration performance of drill stringproduction tree

由圖8可以看出，采油樹底部縱向位移和鉆柱頂部應(yīng)力均隨時間呈正弦變化。硬懸掛模式下位移和應(yīng)力最大，其次是被動模式，最小的為主動模式，說明主動模式效果最優(yōu)。被動式升沉補償裝置補償后鉆柱-采油樹縱向最大位移為0.95 m，補償率為52.5%；主動式升沉補償裝置補償后的最大位移為0.18 m，補償率為91%。因此，在采油樹下放時應(yīng)優(yōu)先選擇主動模式。

4.2 PID控制器比例系數(shù)的影響

PID控制器有比例、積分、微分三種調(diào)節(jié)方式，由于篇幅所限本文僅對PID控制器的比例系數(shù)kp對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響進行分析。在主動模式下，保持其他參數(shù)不變，分別取比例系數(shù)kp=8，9，10進行仿真分析。圖9所示為PID控制器比例系數(shù)對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

圖9 PID控制器比例系數(shù)對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.9 Influence of PID controller proportional coefficient on the longitudinal vibration performance of drill stringproduction tree

由圖9可以看出，隨著水深的加大，鉆柱-采油樹的縱向振動位移及受到的應(yīng)力逐漸減小，且在1 000 m水深后減小趨勢變緩慢。由位移圖可以看出，隨著kp增大，鉆柱-采油樹縱向振動位移減小，kp=10時其最大縱向振動位移為23 mm，kp=8時其最大縱向振動位移為27 mm，且在1 000 m水深下鉆柱縱向振動位移有重合。由應(yīng)力圖可以看出，隨著kp增大，鉆柱-采油樹受到的應(yīng)力減小，在1 000 m水深下應(yīng)力出現(xiàn)波動，說明鉆柱-采油樹系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在主動模式下應(yīng)該選擇合適的kp以確保鉆柱-采油樹系統(tǒng)的穩(wěn)定。

4.3 補償缸體積的影響

保持其他參數(shù)不變，分別選取補償缸體積V=1，10，20 m3進行仿真分析。圖10所示為補償缸體積對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響，其中，zd表示主動模式，bd表示被動模式。

由位移圖可知：在被動模式下，補償缸體積為1 m3時鉆柱-采油樹最大縱向振動位移為185.8 mm，補償缸體積為20 m3時最大縱向振動位移為169.0 mm；在主動模式下，補償缸體積為1 m3時最大縱向振動位移為37.2 mm，補償缸體積為20 m3時最大縱向振動位移為33.9 mm；隨著補償缸體積的增大，鉆柱-采油樹的縱向振動位移減小。

圖10 補償裝置氣缸體積對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.10 Influence of compensation cylinder volume of compensation device on longitudinal vibration performance of drill string-production tree

由應(yīng)力圖可知；鉆柱-采油樹受到的應(yīng)力隨補償缸體積的增大而減小；在被動模式下，隨著補償缸體積的變化，鉆柱-采油樹頂部受到的最大和最小應(yīng)力分別為122 MPa和111 MPa；在主動模式下，鉆柱-采油樹頂部受到的最大和最小應(yīng)力分別為51 MPa和45 MPa。

由上可知，在被動模式下補償缸體積的變化對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響較主動模式更明顯。

4.4 水深的影響

保持其他參數(shù)不變，分別選取水深d=500，1 500，2 500 m進行仿真分析。圖11為水深對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

由位移圖可以看出：在不同水深條件下，鉆柱-采油樹頂部縱向振動位移基本相同，沿軸向方向逐漸減小，在鉆柱-采油樹底部表現(xiàn)出增大的趨勢；當鉆柱長度增加到1 500 m以后，鉆柱-采油樹底部縱向振動位移變化很??；在被動模式下，1 500 m的鉆柱-采油樹底部縱向振動位移為20.1 mm，水深為2 500 m時其底部位移為9.8 mm；在主動模式下，1 500 m的鉆柱-采油樹底部縱向振動位移為11.8 mm，水深為2 500 m時其底部位移為7.3 mm，而鉆柱頂部受到升沉補償裝置的持續(xù)激勵作用，所以振動位移相同。在主動模式下頂部縱向振動位移為40.1 mm，被動模式下頂部縱向振動位移為114.2 mm，主動模式下頂部振動位移僅為被動模式的35%，可見主動模式的補償效果優(yōu)于被動模式。

圖11 水深對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.11 Influence of water depth on longitudinal vibration performance of drill string-production tree

由應(yīng)力圖可以看出；在不同水深條件下，鉆柱-采油樹頂部受到的應(yīng)力相差不大；隨著水深的增加，應(yīng)力從頂部到底部表現(xiàn)出先減小后增大的趨勢，增大的趨勢隨著水深的增加而減弱；在被、主動模式下鉆柱-采油樹受到的最大應(yīng)力分別為68.1，34.2 MPa，主動模式下鉆柱-采油樹的應(yīng)力為被動模式的一半，補償效果明顯。

4.5 鉆柱壁厚的影響

保持其他參數(shù)不變，分別選取鉆柱壁厚D=8.56，10.92，12.7 mm進行仿真分析。圖12為鉆柱壁厚對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

由圖12可以看出：鉆柱-采油樹縱向振動位移和受到的應(yīng)力均隨鉆柱壁厚的增大而減小，且變化趨勢在鉆柱壁厚較小時更明顯；鉆柱-采油樹頂部響應(yīng)變化趨勢較底部更明顯，當壁厚從8.56 mm增大為12.7 mm時，在被動模式下鉆柱-采油樹最大縱向振動位移減少了92.6 mm，受到的最大應(yīng)力減少了61.8 MPa；在主動模式下最大縱向振動位移減小了18.5 mm，最大應(yīng)力減小了28.1 MPa；主、被動模式下鉆柱-采油樹最大縱向振動位移分別為51.3，256.5 mm，主動模式下最大縱向振動位移僅為被動模式的20.0%，其補償效果優(yōu)于被動模式。采油樹下放安裝時應(yīng)該選擇合適的鉆柱壁厚。

圖12 鉆柱壁厚對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.12 Influence of drill string wall thickness on longitudinal vibration performance of drill string-production tree

4.6 采油樹質(zhì)量的影響

保持其他參數(shù)不變，分別選擇采油樹質(zhì)量M=30，40，50 t進行仿真分析。圖13為采油樹質(zhì)量對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響。

由位移圖可知：在深水條件下采油樹質(zhì)量對鉆柱-采油樹縱向振動位移基本沒有影響；在不同采油樹質(zhì)量條件下，鉆柱-采油樹在0～800 m的淺水區(qū)域的振動位移曲線基本重合，而在800～1500 m的深水區(qū)域有較小變化；被、主動模式下鉆柱-采油樹最大縱向振動位移分別為138.3，26.5 mm，主動模式下的最大縱向振動位移僅為被動模式的19.2%。

由應(yīng)力圖可知：鉆柱-采油樹受到的應(yīng)力與采油樹質(zhì)量成正比。被動模式下鉆柱-采油樹頂部受到的最大和最小應(yīng)力分別為67.88，57.64 MPa；主動模式下鉆柱-采油樹頂部受到的最大和最小應(yīng)力分別為29.56，18.58 MPa。

由上可知，采油樹質(zhì)量主要影響鉆柱-采油樹的應(yīng)力分布，不影響其縱向振動位移。

圖13 采油樹質(zhì)量對鉆柱-采油樹縱向振動性能的影響Fig.13 Influence of production tree weight on longitudinal vibration performance of drill string-production tree

5 結(jié)論

1）基于動力學(xué)基本原理建立了鉆柱-采油樹在下放安裝過程的縱向振動動力學(xué)仿真模型，在MATLAB中采用有限差分法對該模型進行離散求解。

2）通過實例仿真可知，在采油樹下放安裝時，應(yīng)優(yōu)先選擇主動模式，并且選擇合適的PID控制器的系數(shù)、補償缸體積、水深、鉆柱壁厚和采油樹質(zhì)量，以提高采油樹的安裝穩(wěn)定性。