郭通，李斌，張生坤

（1.中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所 航空聲學(xué)與動(dòng)強(qiáng)度航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710065；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；3.中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430000）

動(dòng)力吸振器作為一種可靠性高、耐久性長(zhǎng)的被動(dòng)抑振裝置在工程上有大量應(yīng)用[1-3]。隨著技術(shù)更新，利用導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)或?qū)w處于時(shí)變磁場(chǎng)中受Lorentz 力作用的原理制成的電渦流吸振器，在減振降噪領(lǐng)域開始有一定應(yīng)用[4-6]。但現(xiàn)有的電渦流吸振器距寬頻域、寬速度域應(yīng)用還有較大距離，原因是目前對(duì)電渦流阻尼的定量計(jì)算研究并不充分，常用的定性解析法僅在限定條件下具有一定的科學(xué)性。解析法是較為傳統(tǒng)的一種電渦流阻尼求解方法，該方法將永磁鐵視為一圈環(huán)形電流， 并應(yīng)用畢奧- 薩法爾（Biot-Savart）定理積分計(jì)算，先得到電磁場(chǎng)強(qiáng)度[7]，再得到導(dǎo)體管相對(duì)永磁鐵運(yùn)動(dòng)所受的Lorentz 力，然后求得電渦流阻尼系數(shù)。1999 年，林德華[8]基于畢奧-薩法爾和疊加積分定理直接求得方形永磁鐵近場(chǎng)磁場(chǎng)分布，并研究了磁鐵尺寸與磁鐵表面磁場(chǎng)的分布規(guī)律。2004 年，茍曉凡[9]基于分子環(huán)流模型和畢奧-薩法爾定理推導(dǎo)了多塊磁鐵按極性相反排列時(shí)的磁場(chǎng)解析表達(dá)式。2016 年，李斌[10]等人采用分子環(huán)流模型和畢奧-薩法爾定理，并基于準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)研究了圓柱形永磁鐵的近場(chǎng)磁場(chǎng)分布，推導(dǎo)了其產(chǎn)生的電渦流阻尼力解析表達(dá)式。但解析法從準(zhǔn)靜態(tài)理論出發(fā)，認(rèn)為導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)磁場(chǎng)是均勻分布的，感生的電渦流阻尼力可線性無限增大且和運(yùn)動(dòng)頻率無關(guān)，實(shí)際上電渦流互感效應(yīng)是高度動(dòng)態(tài)的[11]。因此，這種等效阻尼還待進(jìn)一步明確其動(dòng)態(tài)特性，獲取其動(dòng)態(tài)規(guī)律。

本研究將直接從時(shí)變狀態(tài)下的Maxwell 方程出發(fā)，突破解析法的準(zhǔn)靜態(tài)求解約束，采用有限元方法[12]更全面真實(shí)地分析柱塞型電渦流吸振器的動(dòng)態(tài)電磁場(chǎng)分布和等效電渦流阻尼效應(yīng)，進(jìn)一步解釋主要設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)電渦流阻尼的影響規(guī)律。

1 等效阻尼系數(shù)計(jì)算

1.1 解析法

采用環(huán)形電流模型，將圓柱形永磁鐵等效為一圈導(dǎo)體上的軸對(duì)稱環(huán)形電流， 并應(yīng)用畢奧-薩法爾（Biot-Savart）定理積分計(jì)算出電磁場(chǎng)強(qiáng)度B[13-14]，B 存在Br、Bz兩個(gè)分量，分別對(duì)應(yīng)徑向和軸向。

設(shè)導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)速度為v，由于Bz的矢量方向與v 相同，則Bz不引起渦流效應(yīng)。因此，圓柱形永磁鐵與導(dǎo)體管誘導(dǎo)電渦流之間產(chǎn)生的電磁阻尼力可表示為：

式中：outr 為導(dǎo)體管外半徑；inr 為導(dǎo)體管內(nèi)半徑；H 為導(dǎo)體管高度。式（2）中導(dǎo)體管厚度遠(yuǎn)小于導(dǎo)體管中徑，因此，等效電渦流阻尼系數(shù)c 為：

式中： mr 為導(dǎo)體管中徑； δ 為導(dǎo)體管壁厚度。

1.2 有限元方法

對(duì)于一般時(shí)變電磁場(chǎng)，Maxwell 方程組的微分形式為[15]：

式中：H 為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；D 為電位移矢量。

同時(shí)，需要電場(chǎng)的連續(xù)性方程為：

式中： ρ 為體電荷密度。

要獲得一個(gè)封閉的系統(tǒng)，僅有Maxwell 方程組還是不夠的，還應(yīng)包括一些描述介質(zhì)屬性的本構(gòu)方程，它們包括：

式中：M 是磁化強(qiáng)度。已知時(shí)變磁場(chǎng)是無散場(chǎng)，故B 可表達(dá)為矢量場(chǎng)A 的旋度，即可令：

式中：A 為矢量位。那么，對(duì)于時(shí)變磁場(chǎng)情形，導(dǎo)體相對(duì)磁場(chǎng)以速度v 運(yùn)動(dòng)，誘導(dǎo)電流密度可以表示為：

式中：eJ 為除誘導(dǎo)電流之外的外部電流密度，求解時(shí)，其默認(rèn)值為0。聯(lián)立式（4）—（8），得到包含矢量磁位和標(biāo)量電位的時(shí)變磁場(chǎng) Maxwell 方程：

針對(duì)討論的電渦流阻尼系數(shù)計(jì)算問題，所涉及到的介質(zhì)均為連續(xù)的連通介質(zhì)，因此不考慮電位移D對(duì)電磁場(chǎng)方程求解的影響，這樣就得到時(shí)變磁場(chǎng)下的由矢量磁位表示的Maxwell 方程：

基于COMSOL Multiphysics 可以對(duì)永磁鐵磁場(chǎng)分布進(jìn)行有限元求解，并對(duì)電流密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度積分，求得電渦流阻尼力：

2 電渦流阻尼計(jì)算結(jié)果分析

本研究利用Bae 等人[16]的磁鐵在銅管中自由下落的實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證兩種算法的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)如圖1 所示，將永磁鐵放進(jìn)足夠長(zhǎng)的銅管作自由落體運(yùn)動(dòng)，銅管上感生環(huán)向渦流與磁場(chǎng)相互作用，進(jìn)而對(duì)磁鐵產(chǎn)生阻尼力，阻礙磁鐵的加速下落。當(dāng)阻尼力與重力大小相同時(shí)，永磁體達(dá)到受力平衡狀態(tài)，將不再向下加速，以平衡速度繼續(xù)勻速下落至地。

圖1 永磁鐵自由下落實(shí)驗(yàn)原理Fig.1 Schematic diagram of free falling experiment of permanent magnet

表1 為兩種算法的結(jié)果對(duì)比。由表1 可知，有限元方法在電渦流阻尼計(jì)算上精度更高，結(jié)果更準(zhǔn)確?；诖?，為進(jìn)一步明確動(dòng)態(tài)特性對(duì)等效阻尼效應(yīng)的影響，用有限元法分別求解了永磁鐵在不同運(yùn)動(dòng)速度下的等效阻尼系數(shù)，以闡述動(dòng)態(tài)行為對(duì)等效電渦流阻尼的影響規(guī)律，算例參數(shù)見表2。模型采用如圖2 所示的二維軸對(duì)稱形式建立，圖2a 中的黑色部分為永磁鐵，橙色部分為導(dǎo)體銅管，灰色部分為空氣。

相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度設(shè)置形式如下式所示：式中：v表示磁鐵銅管相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；v0表示基準(zhǔn)速度，取為20 mm/s；n為速度放大倍數(shù)。n分別取為1、50、1000、5000，即磁鐵與銅管相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度分別為0.02、1、20、100 m/s，分析得到的電渦流阻尼力和阻尼系數(shù)見表3。

表1 兩種算法結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of results of two algorithms

表2 模型參數(shù)Tab.2 Model parameters

圖2 兩類求解狀態(tài)對(duì)比模型Fig.2 Comparison model of two kinds of solution states: a)Two dimensional case; b) Three dimensional case

表3 不同速度下的阻尼系數(shù)Tab.3 Damping coefficient with different velocity

由表3 可以發(fā)現(xiàn)，解析法所得阻尼系數(shù)不隨相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度變化而變化，時(shí)變有限元法求解狀態(tài)下，阻尼系數(shù)會(huì)隨速度增大而發(fā)生變化。低速情況時(shí)，時(shí)變與解析法結(jié)果差異不大，而高速情況時(shí)，時(shí)變有限元求解結(jié)果與準(zhǔn)靜態(tài)的解析法結(jié)果差異明顯，總體來講，速度越大偏差越大。

根據(jù)式（11）可知，導(dǎo)體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受的電渦流阻尼力與感生渦流有關(guān)。為分析產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因，繪制了不同速度下的磁場(chǎng)分布和銅管中渦流分布情況，如圖3 和圖4 所示。

圖3 為不同速度下的磁場(chǎng)分布情況，圖中的線為磁場(chǎng)磁力線。由圖3 可知，磁力線隨速度變化而變化，而非恒定。低速情況下，磁場(chǎng)磁力線分布基本恒定均勻，而高速情況下，時(shí)變磁場(chǎng)磁力線相對(duì)低速（或準(zhǔn)靜態(tài)場(chǎng)）發(fā)生扭曲，速度越大扭曲越明顯。

圖3 不同速度放大倍數(shù)下的空間磁場(chǎng)Fig.3 Space magnetic field with different velocity magnification

圖4 為不同速度下銅管中的渦流場(chǎng)。由圖4 可知，銅管中的渦流分布隨速度逐漸變化，速度越大，渦流越往銅管內(nèi)壁集中，這就是電流的趨膚效應(yīng)[17-18]。對(duì)表的參數(shù)模型來講，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度20 m/s 可視為準(zhǔn)靜態(tài)和時(shí)變狀態(tài)的分界線，在此之前，由于電流趨膚效應(yīng)較弱，可以忽略電流趨膚效應(yīng)和渦流對(duì)磁場(chǎng)的反項(xiàng)）。在此之后，上述電流的趨膚效應(yīng)和渦流對(duì)磁場(chǎng)的反作用不能忽略，故準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)不再成立。

圖4 不同速度下銅管中的渦流場(chǎng)Fig.4 Eddy current field in copper tube at different velocity

本研究認(rèn)為基于時(shí)變狀態(tài)參數(shù)求解的有限元法較解析法更為精確和適用，原因概括如下：

1）銅管厚度方向磁場(chǎng)分布的差別：解析方法利用環(huán)形電流模型進(jìn)行永磁鐵近場(chǎng)磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)，為簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，認(rèn)為磁場(chǎng)沿銅管厚度方向均勻分布，而實(shí)際中恒定磁場(chǎng)分布是不存在的，有限元法是基于真實(shí)磁場(chǎng)分布求解電渦流阻尼效應(yīng)，真實(shí)度依賴于網(wǎng)格密度，故比解析方法更加精確。

2）銅管厚度方向誘導(dǎo)電渦流分布差別：銅管中誘導(dǎo)電渦流與磁場(chǎng)強(qiáng)度存在線性關(guān)系，因此解析方法計(jì)算得到的誘導(dǎo)電渦流在銅管厚度方向也是均勻分布的，而時(shí)變有限元法的計(jì)算結(jié)果則是高度依存磁場(chǎng)真實(shí)分布，呈非均勻狀態(tài)。

3 結(jié)論

以算例實(shí)測(cè)值為參考，分別應(yīng)用解析法和有限元法求解其電渦流阻尼系數(shù)。結(jié)果證明，與解析法計(jì)算結(jié)果相比，有限元法與實(shí)測(cè)值更接近，有更高的準(zhǔn)確性。又基于有限元法，研究了相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和頻率對(duì)等效電渦流阻尼效應(yīng)的影響規(guī)律，得到如下結(jié)論：磁體運(yùn)動(dòng)后，由于逐漸增強(qiáng)的電流趨膚效應(yīng)和渦流對(duì)磁場(chǎng)的反作用，磁場(chǎng)磁力線將出現(xiàn)扭曲，磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化導(dǎo)致等效電渦流阻尼系數(shù)與永磁鐵運(yùn)動(dòng)速度呈非線性負(fù)相關(guān)現(xiàn)象。解析法由于基于恒定磁場(chǎng)假設(shè)，求得電渦流阻尼系數(shù)與實(shí)測(cè)值誤差較大。有限元法基于時(shí)變電磁場(chǎng)理論，能反應(yīng)磁場(chǎng)分布的真實(shí)情況，所求得的電渦流阻尼系數(shù)與實(shí)測(cè)值更為接近，計(jì)算結(jié)果更加精確。