王紹楠，劉立坤

（中國飛行試驗研究院，西安 710089）

顫振試飛信號具有信噪比低、模態(tài)密集、非平穩(wěn)的特點，且隨著飛機設(shè)計中折疊機翼的出現(xiàn)，復合材料的大量使用以及飛機外掛復雜化，使得信號的非平穩(wěn)特征更加突出[1]。對非平穩(wěn)信號處理成為飛行試驗工程中不可回避的問題[2]。

傳統(tǒng)的信號處理最常采用的方法是傅里葉變換（FFT），但該方法不適用于瞬態(tài)信號和非平穩(wěn)信號，只是一種單純的頻域分析方法，無法獲取時域信息。短時傅里葉變換和小波變換雖然能改進不足，能滿足信號的時頻局部化分析，但其本質(zhì)還是屬于傅里葉變換。小波分析結(jié)果受小波基影響很大，目前缺乏系統(tǒng)規(guī)范的小波基選取方法，且小波變換是非自適應的，小波基一旦被選定，整個分析過程只能采用同一小波基。1998 年，美籍華人N. E. Huang[3]提出了一種針對非平穩(wěn)、非線性的數(shù)據(jù)處理方法，稱為希爾伯特黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）。該方法以經(jīng)驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）為核心，能夠自適應地將非平穩(wěn)信號分解為單一組分的平穩(wěn)信號，在處理非平穩(wěn)信號方面有著廣泛應用。但該方法實踐超前于理論，目前尚沒有嚴格的理論支持。2005 年，Smith 等[4]提出了局部均值分解（LMD），但遞歸式的模態(tài)分解（EMD、LMD 等）采用的是基于極值點的包絡(luò)求取方法，多次的遞歸式分解會很大程度上增加計算誤差，容易出現(xiàn)模態(tài)混疊。雖然采用集成式模態(tài)分解方法，如EEMD[5]和ELMD[6]，可在一定程度上抑制模態(tài)混疊現(xiàn)象，但計算量將大幅增加，且這兩種方法也無法將兩個頻率相近的分量正確分離，均存在采樣效應和端點效應的問題。

直到2014 年，Dragomiretskiy 等人[7]提出了一種完全不同于遞歸式模態(tài)分解的新方法，稱為變分模態(tài)分解（VMD）。該方法理論的總體思路為求解變分問題，具有堅實的理論基礎(chǔ)。其假設(shè)信號是由若干個不同的具有中心頻率和有限帶寬的模態(tài)組成，由此構(gòu)造變分問題。再通過乘法算子交替方向法不斷搜尋變分問題最優(yōu)解，使得每個模態(tài)的估計帶寬之和最小。最終，自適應地將信號中的單一組分模態(tài)成功分離。VMD 可以將兩個頻率接近的諧波信號很好分離，表現(xiàn)出更好的噪聲魯棒性。相比于遞歸式的模態(tài)分解方法，VMD 的端點效應也更弱[8-9]。

VMD 一經(jīng)提出，即成為眾多研究者研究的熱點[10-13]。目前，該方法已用于機械、電子、生物、能源等領(lǐng)域，尤其在機械故障診斷中應用最廣[14-20]。武英杰等[11]將VMD 應用于風機電組故障診斷中，證明了VMD 比EMD 和LMD 等遞歸式模態(tài)分解方法，能更有效地避免噪聲和沖擊信號的頻率混疊現(xiàn)象，也更適合提取信號中的低頻成分。趙巖等[14]將VMD 用于旋轉(zhuǎn)機械碰摩故障診斷，并得出該方法與EEMD相比可以有效抑制模態(tài)混疊，更加準確地反映故障信息。唐貴基等[15]將參數(shù)優(yōu)化變分模態(tài)分解方法應用于滾動軸承的早期故障診斷。陳立軍等[17]將VMD 應用于水聲跳頻信號的時頻分析，結(jié)果表明其能在低信噪比情況下獲得高清時頻圖。劉長福等[18]將VMD 用于變切深側(cè)銑顫振特征的提取。然而，還未有將該方法應用于顫振飛行數(shù)據(jù)處理的研究報道。鑒于該方法在處理信噪比低、模態(tài)密集、非平穩(wěn)信號中的優(yōu)勢，文中首次將VMD 方法引入顫振試飛領(lǐng)域，將其與希爾伯特變換結(jié)合，用于顫振試飛數(shù)據(jù)的時頻分析。

1 理論介紹

1.1 變分模態(tài)分解（VMD）理論

在VMD 算法中，本征模函數(shù)（IMF）被重新定義為一個調(diào)幅-調(diào)頻信號，表達式為：

為求以上變分問題的最優(yōu)解，引入了二次罰因子α 及拉格朗日乘法算子 λ(t) ，得到如下的擴展拉格朗日表達式：

1.2 基于VMD 的時頻分析方法理論

通過1.1 節(jié)介紹的VMD 將初始信號分解為不同的IMF 分量進行希爾伯特變換得：

Re 表示取實部，式（7）右端即為希爾伯特譜。它表示瞬時振幅在頻率-時間平面上的分布，記作：

2 仿真算例

為驗證該時頻分析方法的正確性，構(gòu)造仿真信號f，由三部分組成，如式（9）所示：

式中：v1是頻率為2 Hz 的正弦信號；v2是余弦調(diào)頻信號，頻率隨時間成正弦波動，其頻率值以5 Hz為中心，在4～6 Hz 之間成余弦波動；v3為正弦掃頻信號，頻率從10 Hz 起，呈2 Hz/s 線性增加。構(gòu)造的仿真信號時間為6 s，仿真信號f的時域波形如圖1所示。

圖1 仿真信號f 的時域波形Fig.1 Waveform of simulation signal f in time domain

采用VMD 對原信號進行分解，模態(tài)數(shù)K取5。VMD 分解信號的頻譜與仿真信號的對比如圖2 所示，其中黑色虛線為仿真信號頻譜。從頻譜中能清晰看到該信號第一個組分的主頻為2 Hz，第二個組分信號5 Hz 及其變化邊界4 Hz 和6 Hz，還有第三個組分信號從10 Hz 變化到22 Hz 的譜圖。此外，還有信號中沒出現(xiàn)過的3 Hz 和7 Hz 的 “偽” 諧波分量。

圖2 VMD 分解頻譜與仿真信號對比Fig.2 Comparison between the frequency spectrum decomposed by VMD and the simulation signal

由于設(shè)置模態(tài)數(shù)為5，故VMD 分解出了u1～u5共5 個諧波分量，結(jié)果如圖3 所示。圖3 第一行為原始信號波形，之后從上到下依次為VMD 分解得到的諧波分量與原始信號分量的對比。其中，虛線顯示的是原信號分量的波形，實線為VMD 分解的波形?？梢姡琕MD 準確地分解出了前兩個組分信號，對應了原信號中的v1和v2。v3是頻率變化很快的掃頻信號，VMD 分了3 次對該信號進行了分解。u3、u4和u5分別對應了該信號的不同頻率段的波形，但都與v3對應段的波形吻合良好。

圖3 VMD 分解結(jié)果與仿真信號對比Fig.3 Comparison between the result decomposed by VMD and the simulation signal

圖4 基于VMD 的時頻分析圖Fig.4 Time-frequency analysis diagram based on VMD

VMD 方法的時頻分析如圖4 所示，描繪了信號不同組分的頻率隨時間的變化。為了對比，采用小波分析的方法也對這段信號進行了時頻分析，分辨率取0.2 Hz，如圖5 所示?？梢?，基于VMD 的時頻分析方法可以很好地展示出原非平穩(wěn)信號的時頻特征，包括頻率隨時間線性增長和正弦波動的特性，而小波分析無法描繪出頻率呈正弦變化的過程，得到的頻帶也不夠清晰。

3 試飛應用

某型飛機在某高度跨音速飛行時，給外掛物上施加側(cè)脈沖激勵，外掛物的振動響應并未衰減，而是出現(xiàn)等幅振蕩的異?，F(xiàn)象。施加激勵后外掛物的時域振動如圖6 所示。

圖5 小波分析時頻圖Fig.5 Time-frequency diagram of wavelet analysis

圖6 外掛物的振動時間歷程Fig.6 Vibration time history of the aircraft stores

將時域信號放大，可見在整個振蕩過程信號波形有變化。為研究其非平穩(wěn)的變化特性，采用VMD 時頻分析方法對典型的不同特性的三段信號進行分析。第一段為0～3 s（如圖7 所示），可見，VMD 方法完全捕捉到了所有的頻率成分。從時域波形看出，在0.3 s 時施加的激勵，從時頻圖中可見，在施加激勵前9 Hz 頻率就存在，對應了外掛物的側(cè)平振動。施加激勵后，其振幅逐漸衰減，而17.5 Hz 的振動是在施加激勵后才被激發(fā)出來，對應了外掛物的偏航振動，伴隨出現(xiàn)的還有它的2 倍頻。第二段為7.8～10.3 s 數(shù)據(jù)（如圖8 所示），可見9 Hz 模態(tài)已消失，只有17.5 Hz模態(tài)及2 倍頻存在。第三段為18～21.3 s 數(shù)據(jù)（如圖9 所示），該段信號時域幅值略有增大，且波形有明顯變化，波峰與波谷出現(xiàn)許多鋸齒，類似多頻率的疊加現(xiàn)象。從頻譜圖和時頻譜圖可見，該段只呈現(xiàn)外掛物偏航振動，同時出現(xiàn)了其2 倍頻和3 倍頻，且偏航振動頻率由最初的17.5 Hz 左右變?yōu)榱?6 Hz 左右。即脈沖激勵后，主要呈現(xiàn)的是外掛物的持續(xù)偏航振動，隨著時間的推移，其倍頻振動也越發(fā)顯著，振幅在后期還有增大趨勢，直到飛機減速爬升，退出異常振動過程，該振動才衰減。由此，通過基于VMD 的時頻分析可以清楚詳細地分析出外掛物以偏航振動為主導的極限環(huán)振蕩過程，找到了故障的來源，為解決異常振動問題提供支撐。

圖7 前0～3 s 信號分析結(jié)果Fig.7 Analysis results of the first 0～3 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

圖8 前7.8～10.3 s 信號分析結(jié)果Fig.8 Analysis results of the first 7.8～10.3 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

圖9 前18～21 s 信號分析結(jié)果Fig.9 Analysis results of the first 18～21 s: a) time domain signal of interception section; b) comparison between signal spectrum decomposed by VMD and intercepted spectrum; c) time frequency analysis based on VMD

4 結(jié)論

1）基于VMD 的時頻分析方法能細致清晰地展示出非平穩(wěn)信號的時頻特性，有較高聚集度。

2）該方法在實際顫振試飛數(shù)據(jù)處理應用中取得了良好效果。對于飛行異常振動數(shù)據(jù)，有助于分析試飛故障來源，為后續(xù)問題解決提供支撐。