臧 貽 甜

(山東省濰坊基礎工程公司，山東 濰坊 261061)

1 概述

滑坡是一種常見的地質災害，給工程建設帶來巨大損失。目前，再現巖土工程力學行為的手段有兩種，即實驗研究和數值模擬。針對土質邊坡穩(wěn)定的平面應變問題，常利用數值模擬法，即假設工程土性質符合Drucker-Prager本構關系，基于相關流動法則，采用強度折減系數法得到土質邊坡在自重作用下的安全系數。文章基于無網格法編制了計算程序，結合工程實際并與有限元法計算結果進行對比，結果表明采用無網格法能克服數值計算中網格畸變問題，適于解決土質邊坡穩(wěn)定問題。

2 無網格法簡介

無網格法的近似函數不依賴于網格，而是采用基于點的近似函數。所以在解決邊坡穩(wěn)定等可能引起網格拓撲關系的問題上比有限元法方便實用。無網格法的這種性質使得為了得到離散的代數方程組僅需要對節(jié)點和邊界條件進行描述即可，從而避免了大量的單元網格劃分工作，并且克服了有限元法中由于場函數的局部化近似所引起的誤差。文章研究了利用伽遼金無網格法計算土質邊坡穩(wěn)定問題，其基本函數如下。

移動最小二乘法是用加權最小二乘法來近似場函數的一種方法。從數學理論上講，最小二乘法描述的是函數逼近問題，即最小二乘逼近。

設函數u(x)在域Ω中的N個節(jié)點xI(I=1,2,…,N)處的值uI=u(xI)是已知的，u(x)的全局近似函數為uh(x)，則u(x)在高斯點的鄰域Ωx內可以局部近似為：

(1)

a(x)=[a1(x),a2(x),…,am(x)]T,ai(x)是待定系數。

3 無網格法的彈塑性理論

3.1 屈服準則

Drucker-Prager屈服條件的表達式為:

(2)

其中，α，k均為正常數。

平面應變問題:

(3)

其中，c為黏聚力;φ為內摩擦角。

3.2 加載和卸載準則

理想彈塑性材料[1]不發(fā)生強化，其屈服面的大小和形狀不隨內變量的發(fā)展而變化。其表達式為：

(4)

3.3 彈塑性本構矩陣的一般表達式

屈服條件用式(5)表示:

F(σij,K)=0

(5)

其中，σij為應力狀態(tài)；K為硬化函數。

應用增量理論，彈性增量和塑性增量為：

d[ε]=d[ε]e+d[ε]p

(6)

其中，彈性應變部分與應力增量之間的關系服從胡克定律，即:

d[σ]=[D]d[ε]e

(7)

其中,[D]為彈性矩陣。

應用流動法得增量理論的彈塑性矩陣通式：

(8)

(9)

4 無網格法的程序實現

4.1 離散化方法

依據Belytschko等[3]的研究理論，把規(guī)則網格對域Ω的積分轉化為對各規(guī)則格子(cell)的積分之和，然后再在每個規(guī)則格子中使用高斯積分，如圖1所示。

4.2 數值積分

將計算區(qū)域劃分為若干規(guī)則網格，在每一個子域上采用高斯積分。如圖2所示，計算域Ω為圖中實線所包圍區(qū)域，圖中各空心圓為節(jié)點，可采取規(guī)則布置或不規(guī)則布置。

5 土質邊坡穩(wěn)定計算

為驗證無網格法解決土質邊坡穩(wěn)定問題的有效性，并與工程實踐相結合，現以濰坊青州市民兵訓練基地打靶場護坡工程為例進行驗算，并與有限元法計算結果進行對比。該項目位于青州市彌河鎮(zhèn)大馬山東北，赤澗村正西，現場地形為坡度約1∶7的土質邊坡，場地尺寸約為30 m×140 m，最大挖深約20 m，周圍50 m范圍內無建筑物和構筑物，擬采用1∶1放坡后噴錨支護方式，放坡后尺寸約80 m×160 m，不考慮地下水和地震對邊坡穩(wěn)定的影響。根據巖土工程勘察報告，其巖土基本參數為：土容重γ=19 kN/m3，粘聚力c=42 kPa，內摩擦角φ=17°。

如圖3所示，根據平面應變建立計算模型(β=45°)，邊界條件為左右兩側水平約束，下部固定，上部為自由邊界，采用關聯流動法則計算。

計算域內采用非均勻節(jié)點布置，在預期滑裂面周圍適當增加節(jié)點的數量。采用21×8個積分背景網格，每個網格布置4個高斯積分點(2×2高斯積分)，其網格劃分見圖4。

為檢驗土體的變形模量和泊松比對土坡穩(wěn)定安全系數影響，文章計算了有限元強度折減法與無網格法在不同土體變形模量和泊松比條件下的解。從表1，表2的計算結果可以看出土體的變形模量和泊松比對土坡安全系數的影響是非常小的，并且有限元解與無網格解是非常吻合的。

表3為有限元解和無網格法的計算結果，從表3中數值可以看到無網格法計算的結果是非常精確的。因此，利用無網格法求解土質邊坡穩(wěn)定問題是有效的。

表1 不同變形模量計算的最小安全系數

表2 不同泊松比計算的最小安全系數

表3 不同坡腳計算的最小安全系數

圖5為該邊坡有限元(ANSYS)計算收斂(泊松比v=0.3)時的塑性區(qū)分布，圖6為無網格法計算的滑裂面形狀，可以看出有限元法與無網格法所計算出的滑裂面的位置是非常接近的。

該工程通過利用無網格法確定了土質邊坡破裂面的位置，為邊坡支護設計提供了強有力的數據支撐。

6 結語

與有限元法相比，無網格法不需要劃分單元，只需布置節(jié)點，特別適合于彈塑性等大變形問題的分析。文章計算了土質邊坡穩(wěn)定的安全系數，數值結果表明采用無網格法求解土質邊坡穩(wěn)定問題是有效的。