時晨光，丁琳濤，周建江

（南京航空航天大學(xué)雷達成像與微波光子技術(shù)教育部重點實驗室，南京210016）

1 引 言

隨著電子對抗技術(shù)的不斷發(fā)展，未來空戰(zhàn)中，單一的有人機作戰(zhàn)或無人機作戰(zhàn)將很難滿足作戰(zhàn)需求。而有人機/無人機混合集群協(xié)同作戰(zhàn)，可以充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，安全高效的完成作戰(zhàn)任務(wù)，注定會成為未來空戰(zhàn)中的一種重要作戰(zhàn)形式。有人機/無人機混合集群通常由一架有人機和多架無人機組成，有人機作為長機，為無人機提供指揮和控制；無人機作為僚機，可以執(zhí)行戰(zhàn)場信息搜集、目標打擊等危險的任務(wù)。在提高有人機戰(zhàn)場生存能力的同時，又延伸了無人機的探測攻擊距離，充分結(jié)合二者的作戰(zhàn)優(yōu)勢，發(fā)揮綜合效能。因此，有人機/無人機混合集群協(xié)同作戰(zhàn)受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-8］。2016年，空軍工程大學(xué)的鐘赟等［3］采用一種區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，對有人機/無人機編隊決策分配過程中的屬性值和專家建議的不確定性問題展開了研究。2017年，合肥工業(yè)大學(xué)的胡凱［4］建立了有人機/無人機混合編隊協(xié)同能力的評估模型和優(yōu)化模型，用以解決面向任務(wù)的有人機/無人機混合編隊協(xié)同問題。針對有人機/無人機群對目標群協(xié)同作戰(zhàn)的任務(wù)分配問題，2018年，空軍工程大學(xué)的韓博文等［5］基于Holon 組織構(gòu)建理論，根據(jù)有人機和無人機的任務(wù)資源需求和作戰(zhàn)資源能力，探討并構(gòu)建了最優(yōu)的有人機/無人機群的作戰(zhàn)聯(lián)盟。2019年，海軍航空大學(xué)的薄寧等［6］提出了一種基于馬爾科夫決策過程模型的策略，用于解決有人機/無人機的對地攻擊作戰(zhàn)行動規(guī)劃問題。為了促進有人機/無人機編隊協(xié)同作戰(zhàn)技術(shù)發(fā)展，空軍工程大學(xué)的羅維爾和魏瑞軒［7］對演示試飛驗證進行了研究，詳細論述了編隊作戰(zhàn)過程中試飛項目規(guī)劃、環(huán)境構(gòu)建、任務(wù)規(guī)劃、虛擬試飛和結(jié)果評估等主要研究內(nèi)容，為該領(lǐng)域相關(guān)技術(shù)的發(fā)展提供了指導(dǎo)。2020年，海軍航空大學(xué)的吳立堯等［9］以無人機的運動學(xué)模型為基礎(chǔ)，設(shè)計了一種路徑跟蹤為主、速度調(diào)節(jié)為輔的有人機/無人機編隊隊形變換策略，有效減輕了有人機駕駛員操縱壓力并提高了編隊隊形變換效率。

近年來，Stackelberg 博弈已被廣泛地應(yīng)用在認知無線電以及雷達信號處理等問題中［10-13］。2010年，南京郵電大學(xué)的羅榮華和楊震［14］提出了認知無線電中基于Stackelberg 博弈的分布式功率分配算法，將主用戶作為博弈模型中的領(lǐng)導(dǎo)者（Leader），認知用戶作為跟隨者（Followers），認知用戶使用主用戶的工作頻段時需要支付給主用戶相應(yīng)的費用，而主用戶則通過調(diào)整干擾功率價格，限制認知用戶產(chǎn)生的干擾功率不超過其最大可接受的干擾溫度閾值，以獲得最大收益。另外，不同認知用戶之間則根據(jù)主用戶制定的干擾功率價格，進行非合作博弈。仿真結(jié)果表明，該算法不僅減少了主用戶與認知用戶之間的信息交互，而且可以獲得與最優(yōu)功率分配算法相近的系統(tǒng)性能。文獻［15］研究了協(xié)作通信中基于Stackelberg 博弈的功率與帶寬資源聯(lián)合分配算法。2014年，文獻［16］提出了異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中基于能效的低復(fù)雜度Stackelberg 博弈功率分配算法，并用拉格朗日對偶分解法對此問題進行了求解。北京郵電大學(xué)的都晨輝等［17］則運用Stackelberg 博弈理論研究了基于物理層安全的協(xié)作干擾策略，仿真結(jié)果表明，與平均功率分配算法相比，該算法具有明顯更優(yōu)的能效。2016年，Yin 等［18］研究了設(shè)備到設(shè)備（Device to Device，D2D）通信與蜂窩網(wǎng)絡(luò)共存下的頻譜與功率資源聯(lián)合分配問題。作者將通信基站作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，將D2D 通信對作為博弈跟隨者，建立了基于Stackelberg 博弈的頻譜與功率聯(lián)合優(yōu)化模型，并從數(shù)學(xué)上嚴格證明了納什均衡解的存在性和唯一性。2018年，重慶郵電大學(xué)的朱江等［19-20］針對認知無線網(wǎng)絡(luò)功耗過大的問題，提出了一種基于Stackelberg 博弈的功率控制算法，將主用戶作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，次用戶作為博弈跟隨者，建立主次用戶雙層博弈模型，并定量分析了次用戶對主用戶產(chǎn)生的干擾。2019年，王汝言等［21］針對虛擬化無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的資源競爭問題，提出了基于Stackelberg 博弈的虛擬化無線傳感器網(wǎng)絡(luò)資源分配算法，根據(jù)不同業(yè)務(wù)對服務(wù)質(zhì)量的需求，采用分布式迭代算法，獲取無線傳感器網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)價格和虛擬傳感網(wǎng)絡(luò)請求的最優(yōu)資源需求，并根據(jù)納什均衡進行優(yōu)化分配。針對無人機網(wǎng)絡(luò)的抗干擾問題，北京郵電大學(xué)的張新宇［22］采用Stackelberg 博弈理論，建立了單一信道和多信道傳輸?shù)臒o人機網(wǎng)絡(luò)模型，并通過分析求得博弈均衡解，從而得到無人機Stackelberg 博弈最優(yōu)抗干擾策略。

2012年，Song 等［23］首次利用Stackelberg 博弈理論研究了目標與分布式MIMO 雷達之間的電子對抗問題。2015年，空軍工程大學(xué)的蘭星等［24-26］提出了基于Stackelberg 博弈的MIMO雷達信號與目標干擾優(yōu)化算法，將環(huán)境中的雜波因素考慮進博弈模型中，分別獲得了強弱雜波環(huán)境下目標占優(yōu)與雷達占優(yōu)兩種Stackelberg 博弈優(yōu)化策略，可為雜波環(huán)境中雷達與目標的博弈提供有用的借鑒。

上述研究成果提出了基于Stackelberg 博弈的認知無線電功率分配思想，在保證認知用戶正常通信的條件下，有效降低了認知無線電系統(tǒng)的功耗。同時減少對授權(quán)用戶的干擾，為后續(xù)研究打下了堅實的基礎(chǔ)。然而，上述算法卻存在如下幾個不足之處：（1）雖然文獻［10-22］中的算法均采用Stackelberg博弈模型研究無線傳感網(wǎng)絡(luò)功率分配問題，進一步提升了系統(tǒng)能效，然而，已有的研究成果絕大部分是針對認知無線通信中的功率控制問題，如何將Stackelberg 博弈思想應(yīng)用于有人機/無人機混合集群輻射功率控制的問題，還有待進一步研究；（2）雖然文獻［23-26］等將Stackelberg 博弈模型運用于雷達信號處理問題中，分析了雜波背景中MIMO 雷達與目標之間的動態(tài)博弈問題，而現(xiàn)代戰(zhàn)爭對雷達系統(tǒng)射頻隱身性能的需求，則要求最小化有人機/無人機混合集群的總輻射功率［27-40］。因此，如何利用Stackelberg 博弈思想優(yōu)化控制各雷達發(fā)射功率，從而在保證雷達系統(tǒng)目標探測性能的條件下，獲得更好的射頻隱身性能，是有人機/無人機混合集群設(shè)計的一個關(guān)鍵問題。另外，至今尚未有基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制的公開報道，這促使我們首次研究這個問題。

本文針對上述存在的問題，研究基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法。首先，基于Stackelberg 博弈理論，將有人機作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，將各無人機作為博弈跟隨者，各無人機雷達工作于同一頻段并以輻射功率為單位支付給有人機相應(yīng)的費用，而有人機則通過調(diào)整單位輻射功率價格，控制各無人機載雷達的總輻射功率，以獲得最大收益。同時，各無人機與目標之間根據(jù)有人機制定的價格，進行合作博弈功率分配。在此基礎(chǔ)上，分別設(shè)計綜合考慮目標探測性能、無人機輻射功率及敵方截獲接收機接收到無人機輻射功率的各博弈參與者效用函數(shù)，并建立基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制模型，該優(yōu)化模型在滿足一定目標探測性能和系統(tǒng)輻射功率資源約束的條件下，最小化混合集群的總輻射功率，同時可實現(xiàn)各無人機之間的公平性。最后，將基于Stackelberg博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的最優(yōu)化問題，采用牛頓迭代法獲得各無人機的最優(yōu)輻射功率迭代公式，并證明納什議價解的存在性和唯一性。仿真結(jié)果驗證了該文所提算法的正確性和有效性。

2 系統(tǒng)模型

本文考慮一個由一架有人機和Nt架無人機組成的有人機/無人機混合集群，如圖1 所示。為了提高系統(tǒng)的頻譜資源利用率，系統(tǒng)中各無人機載雷達工作于同一頻段，且由于各無人機難以做到精確同步，從而造成不同雷達間的發(fā)射信號互相相關(guān)。第i架無人機發(fā)射并接收經(jīng)目標反射的雷達信號以對目標進行探測。同時，無人機可由兩條信道接收其他無人機發(fā)射的信號：一條是無人機j(j=1，…，Nt)到無人機i接收機的直達波信號，另一條是無人機j發(fā)射并經(jīng)目標反射達到無人機i接收機的回波信號。另外，假設(shè)各無人機載雷達的高增益、窄波束定向天線指向目標，從而使得敵方截獲接收機只能接收到各無人機發(fā)射的直達波信號。由于經(jīng)目標反射到達截獲接收機的雷達信號強度遠遠小于直達波信號，為方便起見，忽略不計。假設(shè)系統(tǒng)中每架無人機可以獨立對目標進行探測，并將目標探測數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)據(jù)鏈路發(fā)送至有人機進行信息融合。當目標存在時，無人機i接收到的信號為［40］

圖1 有人機/無人機混合集群模型Fig.1 System model for manned/unmanned aerial vehicle hybrid swarm

當目標不存在時，無人機i接收到的信號為

式中，xi=φi ai表示無人機i的發(fā)射信號，ai=表示無人機i相對目標的多普勒轉(zhuǎn)向矢量，fD，i為目標相對于無人機i的多普勒頻移，N為無人機載雷達駐留時間內(nèi)接收到的脈沖數(shù)目，φi為無人機i的發(fā)射信號。χi表示無人機i與目標之間的信道增益，Pi為無人機i的發(fā)射功率，為無人機i與無人機j之間的互信道增益，wi表示無人機i接收機處均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲。假設(shè)有且wi～CN(0，σ2IN)，其中表示無人機i-目標-無人機i信道增益的方差表示無人機i-目標-無人機j信道增益的方差表示無人機i-無人機j信道增益的方差，ci，j表示無人機i與無人機j之間的互相關(guān)系數(shù)，IN為N階單位矩陣。定義相應(yīng)信道增益的方差如下

在此，采用廣義似然比檢驗作為無人機載雷達的最優(yōu)檢測器［40］。無人機i的目標檢測概率pD，i(δi，γi)和虛警概率pFA，i(δi)分別定義如下

式中，δi為檢測門限，γi表示無人機i所獲得的SINR值，其定義為

式（5）可以重寫為

式中，無人機i接收到的總干擾加噪聲可表示為

根據(jù)Bacci G 和Panoui A 等［39-40］的分析易知，可由預(yù)先設(shè)定的檢測概率pD，i(δi，γi)和虛警概率pFA，i(δi)求得檢測門限δi，隨后可得到各無人機所獲得的SINR 值γi，并可用其表征目標探測性能。為了得到有人機/無人機混合集群的最優(yōu)發(fā)射功率策略，本文基于Stackelberg 博弈理論來建模和分析系統(tǒng)中各無人機、目標及敵方截獲接收機之間的相互影響。在Stackelberg 博弈中，將有人機作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，將各無人機作為博弈跟隨者，各無人機載雷達工作于同一頻段并以輻射功率為單位支付給有人機相應(yīng)的費用，而有人機則通過調(diào)整單位輻射功率價格，控制無人機產(chǎn)生的射頻輻射，以獲得最大收益。同時，各無人機與目標之間根據(jù)有人機制定的價格，進行合作博弈功率分配，從而最大化無人機集群的綜合效用函數(shù)。

3 數(shù)學(xué)建模

本節(jié)建立基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制模型，該模型以最小化系統(tǒng)中各無人機載雷達的輻射功率為目標，以給定目標探測性能以及系統(tǒng)輻射功率資源為約束條件，借助Stackelberg 博弈理論對優(yōu)化模型進行求解，控制各無人機的輻射功率，從而提升有人機/無人機混合集群的射頻隱身性能。

3.1 基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制模型

本文將有人機與各無人機之間的動態(tài)交互過程建模為Stackelberg 博弈，其中，將有人機作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，將混合集群中各無人機作為博弈跟隨者。有人機出售功率資源給集群中各架無人機，并根據(jù)敵方截獲接收機所接收到的無人機射頻輻射，設(shè)定單位輻射功率價格，同時將價格發(fā)送給各無人機。各無人機根據(jù)有人機設(shè)定的單位輻射功率價格，通過合作博弈功率分配，最大化無人機集群的綜合效用函數(shù)。在這一博弈過程中，有人機就單位輻射功率價格與各無人機進行動態(tài)交互，直至博弈領(lǐng)導(dǎo)者和博弈跟隨者的效用最大化，即達到Stackelberg均衡。

作為Stackelberg 博弈模型中的領(lǐng)導(dǎo)者，在整個射頻輻射資源動態(tài)分配過程中，有人機通過制定單位輻射功率價格以獲取最大收益。因此，考慮截獲接收機所接收到無人機射頻輻射，設(shè)計博弈領(lǐng)導(dǎo)者的效用函數(shù)為各無人機支付給有人機的費用［39］，即

因此，作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，有人機的主要目的是根據(jù)截獲接收機所接收到各無人機的射頻輻射，通過調(diào)整單位功率價格，最大化其自身效用函數(shù)。于是，有人機的效用函數(shù)優(yōu)化模型為

作為Stackelberg 博弈模型中的跟隨者，各無人機與目標之間根據(jù)有人機制定的價格，進行合作博弈功率分配。在目標探測場景下，各無人機對目標的SINR 值必須大于等于預(yù)先設(shè)定的目標檢測性能SINR閾值。較高的SINR值將獲得較好的目標檢測性能，然而各無人機將輻射較大的功率，這不僅有損于有人機/無人機混合集群的射頻隱身性能，又會使得各無人機之間的干擾問題進一步惡化。由于無人機集群通過對外輻射功率進行目標探測，各無人機需要向有人機支付一定的費用。在此，綜合考慮目標探測性能需求、無人機輻射功率資源約束及截獲接收機所接收到無人機射頻輻射，設(shè)計無人機i的效用函數(shù)為

在傳統(tǒng)的Stackelberg 博弈模型中，博弈跟隨者之間通過非合作博弈使得自身的效用最大化，然而，系統(tǒng)的整體效能并不能達到最優(yōu)。在本文中，博弈跟隨者通過合作博弈，采用妥協(xié)和討價還價的方式，提升系統(tǒng)的整體效能。根據(jù)納什定理，合作博弈模型下無人機集群的綜合效用函數(shù)為

因此，作為博弈跟隨者，組網(wǎng)雷達系統(tǒng)的主要目的是在滿足一定目標探測性能和無人機集群輻射功率資源約束的條件下，最小化各無人機的總輻射功率。于是，在有人機對各無人機單位輻射功率價格已知的情況下，基于合作博弈的無人機集群分布式功率控制模型為

3.2 無人機輻射功率迭代公式求解

本小節(jié)采用牛頓迭代法來推導(dǎo)各無人機的最優(yōu)發(fā)射功率迭代公式。當?shù)玫接腥藱C對無人機集群的單位輻射功率價格后，各無人機通過合作博弈來獲得最優(yōu)輻射功率，有人機則根據(jù)敵方截獲接收機接收到的無人機集群射頻輻射，動態(tài)調(diào)整單位輻射功率價格，以獲得自身收益的最大化。

由式（12）可知，基于合作博弈的無人機集群分布式功率控制模型是一個具有多重約束條件的最優(yōu)化問題。于是，在有人機對各無人機單位輻射功率價格已知的情況下，可采用拉格朗日乘子法對式（12）進行求解。引入拉格朗日乘子和τ，優(yōu)化模型（12）可以等價轉(zhuǎn)化為

重新整理式（14）后，可得無人機i的輻射功率Pi為：

因此，借助牛頓迭代法，得到無人機i的輻射功率迭代表達式為

式中，

ite為迭代次數(shù)索引，另外，采用次梯度方法對拉格朗日乘子和τ(ite)進行更新，從而保證算法的快速收斂性，即

式中，st＞0 為迭代步長；當x＞0 時否則。

3.3 納什議價解的存在性與唯一性證明

定理1（存在性）：當對于?i，滿足下列兩個條件時，本文提出的基于Stackelberg博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法至少有一個納什議價解存在［38］：

（a）無人機i的輻射功率Pi是歐幾里得空間上的非空、閉合、有界的凸集合；

（b）無人機i的效用函數(shù)UUAV，i(Pi，P-i，ξi)是連續(xù)的擬凹函數(shù)。

證明：由式（12）中各無人機的輻射功率策略可以得到，無人機i的輻射功率Pi是歐幾里得空間上的非空、閉合、有界的凸集合，故滿足第1 個條件。

對效用函數(shù)UUAV，i(Pi，P-i，ξi)相對于Pi求二階偏導(dǎo)數(shù)，可得

則效用函數(shù)UUAV，i(Pi，P-i，ξi)在策略空間上為連續(xù)的凹函數(shù)，而凹函數(shù)也是擬凹函數(shù)。因此，本文所提算法存在納什議價解，得證。

定理2（唯一性）：本文提出的基于Stackelberg博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法具有唯一的納什議價解。

證明：根據(jù)文獻［38］可知，當且僅當下列四個條件滿足時，合作博弈模型存在唯一納什議價解：

（2）存在Pi∈Si使得f(Pi)≥0 滿足，其中，Si為博弈方i的策略集合；

（3）博弈方i的效用函數(shù)UUAV，i(Pi，P-i，ξi)是連續(xù)的擬凹函數(shù)；

（4）對于任意的（P(0)≠P(1)），其中，P(k)=且 有滿足

式中，

由式（12）中各無人機的輻射功率策略可得，條件（1）和（2）滿足，而條件（3）已由定理1 證明。下面證明條件（4），由于

綜上所述，本文提出的基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法具有唯一的納什議價解，證畢。

3.4 基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合編隊輻射功率迭代算法

在證明本文基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合編隊輻射功率控制算法具有唯一納什議價解的基礎(chǔ)上，根據(jù)無人機i的輻射功率迭代表達式（18），給出基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合編隊輻射功率迭代算法流程，如圖2 所示。首先，有人機根據(jù)截獲接收機接收到的無人機集群射頻輻射，設(shè)定單位輻射功率價格，并將價格發(fā)送給各無人機。各無人機根據(jù)有人機設(shè)定的單位輻射功率價格，通過合作博弈功率分配，經(jīng)過多次博弈直至綜合效用函數(shù)最大化。之后，有人機再根據(jù)各無人機的輻射功率調(diào)整單位功率價格，多次動態(tài)博弈后使得各博弈參與者的收益最大化，即達到Stackelberg 均衡。

圖2 基于Stackelberg博弈的有人機/無人機混合編隊輻射功率迭代算法流程圖Fig.2 Flow diagram for transmit power control iterative algorithm in manned/unmanned aerial vehicle hybrid swarm based on Stackelberg game theoretic model

4 仿真結(jié)果及分析

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為了驗證基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法的正確性和有效性，本文進行了如下仿真。假設(shè)有人機/無人機混合集群由一架有人機和Nt= 8 架無人機組成，且各無人機在目標探測模式下某一時刻的相對位置如表1所示。敵方截獲接收機的位置為［20，0］km。為了驗證目標相對于集群中各無人機的位置關(guān)系對功率分配結(jié)果的影響，本文考慮某一時刻兩種不同的目標位置。其中，第一種情況下目標位置為［0，0］km，第二種情況下目標位置為［20，-30］km。各無人機間的互干擾系數(shù)為ci，j= 0.01(i≠j)。其他系統(tǒng)參數(shù)分別設(shè)置如下：無人機雷達天線增益Gt=Gr= 30 dB，== -30 dB，雷達信號波長λ=0.03 m；每部無人機載雷達的輻射功率上限為Pi，max=7000 W，混合集群的總輻射功率上限為Ptot=14000 W；漏檢概率pD，i(δi，γi)= 0.9973，虛警概率pFA，i(δi)= 10-6，雷達發(fā)射脈沖數(shù)N=512，檢測門限δi=0.0267，由式（4）可計算得到相應(yīng)的SINR 門限γmin=10 dB；截獲接收機接收天線增益GI=0 dB，其接收無人機輻射功率的目標值為Ttar=10-18W，靈敏度為Smin=-97 dBmW；背景噪聲功率σ2=10-18W；單位輻射功率價格= 5× 1020(?i)，誤差容限ε=10-16。

表1 各無人機在空間中的相對位置分布Table1 The relative position distribution of each drone in space

4.2 功率控制結(jié)果

圖3 不同情況下各無人機輻射功率收斂性能Fig.3 Convergence behavior for the transmit power of each unmanned aerial vehicle in different cases

圖3 示出了所提算法中各無人機輻射功率隨博弈迭代次數(shù)變化的曲線，其中，不同情況下各無人機發(fā)射功率初值分別設(shè)為P（0）=［1500，300，800，4800，500，2400，1800，3600］W，P（0）=［1500，1500，800，800，0，0，2400，2400］W，P（0）=［3000，3000，3000，3000，1000，1000，1000，1000］W，P（0）=［3000，3000，3000，3000，3000，3000，3000，3000］W。從圖3 中可以看出，所提算法大致經(jīng)過3～5 次迭代計算可以達到Stackelberg 均衡點，從而驗證了算法的收斂性。為了分析不同因素對無人機功率分配結(jié)果的影響，圖4 給出了不同情況下的無人機輻射功率分配比，其中，定義第i架無人機的功率分配比為

如圖4（b）所示，在第二種目標RCS 模型下，無人機3 和無人機6 發(fā)射較大的功率，而其他無人機則發(fā)射較小的功率，這是由于無人機3 和無人機6 相對目標視角RCS 較小，需要發(fā)射更多的功率以滿足其目標探測SINR 性能要求。由圖4（c）給出的功率分配結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在第二種目標位置下，無人機3 和無人機4 發(fā)射較大的功率，說明距離目標較遠的無人機發(fā)射較大的功率。因此，目標相對于各無人機位置關(guān)系及RCS 的不同會產(chǎn)生不同的輻射功率，從而影響有人機/無人機混合集群的射頻隱身性能。由圖4（d）給出的功率控制結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，無人機3、無人機4、無人機5 和無人機6 發(fā)射較大的功率，而無人機1、無人機2、無人機7 和無人機8 則發(fā)射很小的功率，這是由于無人機3、無人機4、無人機5 和無人機6距離目標較遠，且相對目標視角RCS 較小。綜上所述，基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法的無人機載雷達輻射功率與目標相對系統(tǒng)中各無人機的位置關(guān)系以及目標相對各無人機視角下的RCS 有關(guān)，且距離目標較遠、相對目標視角RCS 較小的無人機需要輻射較大的功率，從而滿足其設(shè)定的目標探測SINR性能要求。

圖4 不同情況下無人機發(fā)射功率分配比Fig.4 Convergence behavior for the transmit power allocation in different cases

圖5 給出了所提算法的各無人機SINR 收斂性能。結(jié)果顯示，經(jīng)過3～5 次迭代計算，各無人機所得的SINR 收斂到預(yù)先設(shè)定的SINR 閾值γmin，從而驗證了本文算法可以在控制各無人機載雷達輻射功率的同時，滿足給定的目標探測SINR 性能要求，同時實現(xiàn)了各無人機之間的公平性。

為了驗證有人機/無人機混合集群輻射功率控制對系統(tǒng)射頻隱身性能的影響，圖6 給出了不同情況下截獲接收機接收到各無人機總輻射功率的收斂性能。從仿真結(jié)果可以看出，在不同目標位置和RCS 模型條件下，經(jīng)過3～5 次左右的迭代計算，采用本文算法所得的截獲接收機接收到各無人機總輻射功率收斂到截獲接收機靈敏度以下，且低于平均功率分配算法下截獲接收機所接收的無人機輻射功率，這是由于后者是在沒有利用目標位置及RCS 先驗信息的情況下，將系統(tǒng)輻射功率均勻分配給各架無人機，從而具有更差的射頻隱身性能。特別地，從圖6（c）和圖6（d）可以看出，當達到博弈均衡狀態(tài)后，平均功率分配算法所得的截獲接收機接收到各無人機總輻射功率明顯高于截獲接收機靈敏度，從而使得無人機的射頻輻射極易被敵方截獲。因此，基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法能夠在滿足一定目標探測性能和系統(tǒng)輻射功率資源約束的條件下，有效降低各無人機的輻射功率，不僅減少了各無人機間的相互干擾，而且有效提升了混合集群的射頻隱身性能，實現(xiàn)了系統(tǒng)射頻隱身性能與目標探測性能之間的良好折中。

圖5 不同情況下各無人機SINR收斂性能Fig.5 Convergence behavior for the achievable SINR of each unmanned aerial vehicle in different cases

5 結(jié) 論

本文針對有人機/無人機混合集群目標探測時的射頻隱身問題，基于Stackelberg 博弈理論，將混合集群中的有人機作為博弈領(lǐng)導(dǎo)者，將各無人機作為博弈跟隨者，分別設(shè)計了綜合考慮目標探測性能、無人機輻射功率及敵方截獲接收機接收到無人機輻射功率的各博弈參與者效益函數(shù)，并提出了一種基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制模型。該算法可在滿足一定目標探測性能和系統(tǒng)輻射功率資源約束的條件下，最小化混合集群的總輻射功率。之后，采用牛頓迭代法獲得了各無人機的最優(yōu)輻射功率迭代公式，并證明了納什議價解的存在性和唯一性。仿真結(jié)果表明，基于Stackelberg 博弈的有人機/無人機混合集群輻射功率控制算法能在滿足一定目標探測性能和系統(tǒng)輻射功率資源約束的條件下，有效降低了各無人機的輻射功率，不僅減少了各無人機間的相互干擾，而且有效提升了有人機/無人機混合集群的射頻隱身性能，實現(xiàn)了系統(tǒng)射頻隱身性能與目標探測性能之間的良好折中。后續(xù)研究將在有人機/無人機混合集群射頻輻射控制問題中兼顧目標探測范圍約束，從而在未來集群協(xié)同作戰(zhàn)條件下，實現(xiàn)對戰(zhàn)場態(tài)勢的全域感知。

圖6 不同情況下截獲接收機接收到各無人機總輻射功率收斂性能Fig.6 Convergence behavior for the received power of all unmanned aerial vehicle at intercept receiver in different cases