張肇弛

(1.鶴壁職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鶴壁 458030； 2.河南理工大學(xué)鶴壁工程技術(shù)學(xué)院，河南 鶴壁 458030)

0 引言

目前體測(cè)成績(jī)的評(píng)定參照的是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)(2014年修訂)》，該標(biāo)準(zhǔn)將體測(cè)成績(jī)與學(xué)生評(píng)優(yōu)評(píng)先及畢業(yè)證取得掛鉤[1]。因此，對(duì)學(xué)生體質(zhì)測(cè)試每一項(xiàng)成績(jī)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)顯得尤為關(guān)鍵。體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定方法客觀、公正與否，會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生直接影響[2]。

基于評(píng)分表中測(cè)試結(jié)果與得分構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系滿足單調(diào)性，本研究旨在使用線性插值的方法，將評(píng)分表每個(gè)項(xiàng)目的每1個(gè)結(jié)果均能算出對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，且得分不再局限于離散的幾個(gè)數(shù)。

1 插值法

所謂插值，是指經(jīng)過平面中n+1個(gè)相異點(diǎn)(xi,yi)，i=0,1,2,…,n，做1個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式：

(1)

例如，空間上的3個(gè)點(diǎn)(1，0)、(-1，3)、(2，4)，可以構(gòu)造1個(gè)過這3個(gè)點(diǎn)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式：

f(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)

(2)

(3)

整理得：

(4)

構(gòu)造的多項(xiàng)式f(x)既滿足f(1)=0，f(-1)=3，f(2)=4，并且可通過該多項(xiàng)式算出區(qū)間(-1,2)內(nèi)的任何一點(diǎn)的函數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)了離散點(diǎn)的連續(xù)化過程。

然而，當(dāng)點(diǎn)數(shù)超過10個(gè)時(shí)，所做出的曲線會(huì)產(chǎn)生“龍格現(xiàn)象”[4]，即所生成的多項(xiàng)式會(huì)產(chǎn)生較大的截?cái)嗾`差。為防止“龍格現(xiàn)象”的產(chǎn)生，可選用“分段線性插值”的方法，即將區(qū)間(a,b)內(nèi)插入n+1個(gè)點(diǎn)滿足a=x0

(5)

構(gòu)造“分段線性插值”可有效避免“龍格現(xiàn)象”，同時(shí)可計(jì)算出(a,b)內(nèi)任一函數(shù)值[5]。

2 用插值法計(jì)算單項(xiàng)成績(jī)

因體質(zhì)測(cè)試每一單項(xiàng)約20個(gè)分?jǐn)?shù)檔，相當(dāng)于平面中20個(gè)點(diǎn)。本研究使用“分段線性插值”方法，完成每個(gè)單項(xiàng)測(cè)試的成績(jī)計(jì)算。以大學(xué)男生肺活量項(xiàng)目為例，《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)(2014修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)中給出各“肺活量成績(jī)”對(duì)應(yīng)等級(jí)的單項(xiàng)得分和等級(jí)，如表1所示。

表1 大學(xué)男生“肺活量”單項(xiàng)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)照表Tab.1 Comparison table of standard of evaluation of “vital capacity” single event of male college students

顯然，表1只能根據(jù)學(xué)生測(cè)試的肺活量成績(jī)，找到該成績(jī)所達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，而無(wú)法算出具體得分。為估算學(xué)生肺活量測(cè)試成績(jī)對(duì)應(yīng)的更精確得分，可將“單項(xiàng)得分”和“具體成績(jī)”視為1個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，如：大一男生肺活量4 300、得分標(biāo)準(zhǔn)為80分，則可將其視為1個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A(4 300，80)，同時(shí)設(shè)肺活量為0時(shí)，得分為0。這樣，大一男生肺活量成績(jī)與得分關(guān)系對(duì)應(yīng)22個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。將這22個(gè)點(diǎn)做“分段線性插值”，利用MATLAB軟件做出“實(shí)際肺活量成績(jī)”與“得分”直接函數(shù)關(guān)系圖形，如圖1所示。

圖1 分段線性插值后，大一男生肺活量成績(jī)與得分的函數(shù)關(guān)系Fig.1 Function relationship of vital capacity results and scores of male freshmen after linear interpolation

除此之外，還可通過MATLAB軟件計(jì)算出分段線性插值后，肺活量為0～5040所對(duì)應(yīng)的所有分?jǐn)?shù)，舉例如表2所示。

表2 大學(xué)男生“肺活量”任意單項(xiàng)得分舉例Tab.2 Illustration of any single score of “vital capacity” of male college students

可以用同樣的方法計(jì)算出大一男生、女生其他各單項(xiàng)成績(jī)與得分直接的函數(shù)關(guān)系圖，并通過程序計(jì)算出各單項(xiàng)成績(jī)對(duì)應(yīng)的得分。

對(duì)于分段線性插值的使用，有三點(diǎn)注意事項(xiàng)：第一，由于單項(xiàng)評(píng)分的表格中最低分為10分，為確保得分的全面性，需設(shè)置(0，0)點(diǎn)，即單項(xiàng)成績(jī)?yōu)?時(shí)，得分為0分，例如男生1 000米這樣的“低優(yōu)指標(biāo)”，可設(shè)置10分鐘對(duì)應(yīng)0分，函數(shù)如圖2所示。第二，對(duì)于超過100分標(biāo)準(zhǔn)的單項(xiàng)成績(jī)，需在程序中設(shè)置“超過100分標(biāo)準(zhǔn)的成績(jī)得分為100分”。第三，《標(biāo)準(zhǔn)》中1 000/800米成績(jī)用“分和秒”來(lái)表示，需要先將其轉(zhuǎn)化為秒，如圖2所示。

圖2 分段線性插值后，大一男生1 000米成績(jī)與得分的函數(shù)關(guān)系Fig.2 Function relationship of 1 000-meter results and scores of male freshmen after linear interpolation

3 實(shí)驗(yàn)舉例

以河南理工大學(xué)鶴壁工程技術(shù)學(xué)院2018級(jí)電氣班五位男生大一時(shí)體測(cè)成績(jī)?yōu)槔?，方法一使用“只取測(cè)試結(jié)果”對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)的得分，方法二使用“分段線性插值”方法計(jì)算出測(cè)試結(jié)果對(duì)應(yīng)的得分，結(jié)果如表3所示。

表3 院2018級(jí)五位男生大一體測(cè)總分兩種方法對(duì)比Tab.3 Comparison of physical fitness test of two kinds of five male freshmen of 2018 grade

通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，按“分段線性插值”計(jì)算出的分?jǐn)?shù)普遍比“原計(jì)算方法”計(jì)算出來(lái)的分?jǐn)?shù)高。并且對(duì)于原分?jǐn)?shù)不及格學(xué)生，增長(zhǎng)幅度較大，有1.5～2.0分之多；對(duì)于及格分?jǐn)?shù)以上學(xué)生，增長(zhǎng)幅度較平緩，平均約1.0分。此外，由圖1與圖2觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)單項(xiàng)得分為60時(shí)，圖形斜率會(huì)有顯著變化，這與《標(biāo)準(zhǔn)》中“單項(xiàng)得分對(duì)照表”中的設(shè)計(jì)密切相關(guān)——60分以上的節(jié)點(diǎn)數(shù)量多，60分以下的節(jié)點(diǎn)數(shù)量少。以大一男生肺活量成績(jī)?yōu)槔?，傳統(tǒng)算分法60分以下只能有5種成績(jī)，而插值法多達(dá)850種，甚至更多。故利用插值法，60分以下學(xué)生成績(jī)?cè)龇?0分以上學(xué)生更顯著。

插值法能在一定程度上提高學(xué)生總成績(jī)且提高幅度不大，即整體符合《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)學(xué)生各單項(xiàng)成績(jī)的要求。