顧艷春，魯海燕 ，2，向 蕾，沈莞薔，2

1.江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

2.江南大學(xué) 無錫市生物計(jì)算工程技術(shù)研究中心，江蘇 無錫 214122

1 引言

群智能優(yōu)化算法是通過模擬自然現(xiàn)象的物理規(guī)律及自然界各類生物種群的生活習(xí)性和行為特點(diǎn)而構(gòu)造的一類隨機(jī)優(yōu)化算法，如遺傳算法[1-2]（Genetic Algorithm，GA）、粒子群算法[3-4]（Particle Swarm Optimization，PSO）、蝙蝠算法[5]（Bat Algorithm，BA）、蜂群算法[6-7]（Artificial Bee Colony，ABC）等。這些算法為解決大量存在于計(jì)算科學(xué)、工程科學(xué)、管理科學(xué)等領(lǐng)域的復(fù)雜問題提供了新的求解途徑。

雞群算法[8]（Chicken Swarm Optimization，CSO）是2014年由孟獻(xiàn)兵等人提出的一種智能優(yōu)化算法，該算法具有原理簡單、易于實(shí)現(xiàn)和全局搜索能力較強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛研究并應(yīng)用于圖像處理[9]、電網(wǎng)優(yōu)化[10]、傳感器與通信[11]等優(yōu)化問題[12-14]。但雞群算法也存在求解精度偏低、局部求解能力較弱等問題，因此，眾多學(xué)者進(jìn)行研究改進(jìn)，提出了一系列改進(jìn)雞群優(yōu)化算法。李振壁等人[15]將模擬退火的思想引入雞群算法，提高了算法的尋優(yōu)性能。史旭棟等人[16]把雞群算法和人工蜂群算法相融合，平衡了算法的全局和局部搜索能力。張慕雪等人[17]在算法的公雞更新公式中添加了向當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和最差個(gè)體學(xué)習(xí)部分，提高了算法跳出局部極值的能力。鄭家明等人[18]在算法中用佳點(diǎn)集構(gòu)造初始種群，并引入了尋食速度因子和聚集度因子，提高了算法的穩(wěn)定性和求解精度。張瑩杰等人[19]改進(jìn)了雞群算法的邊界約束處理機(jī)制，提高了算法的收斂速度。韓萌[20]將耗散結(jié)構(gòu)引至公雞位置的更新中，并對隨機(jī)選擇的個(gè)體進(jìn)行差分變異操作，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力。

上述改進(jìn)算法在一定程度上提高了算法的尋優(yōu)能力，但仍存在著一些不足。比如，有些改進(jìn)算法雖然提高了算法的求解精度，但算法的收斂速度較慢；還有些改進(jìn)算法在求解高維問題上，仍存在早熟收斂等問題。為此，本文提出自適應(yīng)動態(tài)學(xué)習(xí)雞群優(yōu)化算法（ADLCSO），利用反向覓食機(jī)制和非線性遞減的學(xué)習(xí)因子來動態(tài)地自適應(yīng)更新種群中的公雞位置，以提高公雞個(gè)體跳出局部極值的能力，從而提高求解精度和收斂速度；同時(shí)利用整個(gè)種群中個(gè)體間適應(yīng)度值之差定義了一種新的種群相似度指標(biāo)，根據(jù)該指標(biāo)使母雞個(gè)體進(jìn)行自適應(yīng)更新，在保持種群多樣性的同時(shí)使母雞個(gè)體朝著對整個(gè)群體較為有利的方向覓食。通過對12個(gè)經(jīng)典測試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明上述兩個(gè)更新策略能夠有效地提高雞群算法的求解精度和收斂速度，特別是在求解高維問題上ADLCSO算法比標(biāo)準(zhǔn)雞群算法有顯著優(yōu)勢。

2 雞群優(yōu)化算法

雞群算法是模擬雞群的等級制度和覓食行為的一種隨機(jī)優(yōu)化算法，該算法遵循如下規(guī)則：

（1）將整個(gè)雞群分成若干子群，每個(gè)子群都由一只公雞，若干只母雞和小雞組成，即子群的個(gè)數(shù)由公雞的個(gè)數(shù)決定。

（2）按照每只雞適應(yīng)度值的大小將種群分為公雞、母雞和小雞三種，其中適應(yīng)度較好的若干個(gè)體為公雞，適應(yīng)度較差的若干個(gè)體為小雞，其余的為母雞。

（3）公雞、母雞、小雞三者之間的等級制度一旦確立將數(shù)代保持不變，等級制度每隔G(G∈[2,20])代更新一次。

（4）每個(gè)組內(nèi)母雞跟隨該組的公雞覓食，也可隨機(jī)偷取其他組內(nèi)食物；每組內(nèi)小雞跟隨媽媽母雞進(jìn)行覓食。

（5）每一只雞的位置都對應(yīng)優(yōu)化問題的一個(gè)解。假設(shè)在一個(gè)種群里有N個(gè)個(gè)體，公雞、母雞、小雞、媽媽母雞的數(shù)量分別為NR、NH、NC、NM。媽媽母雞是從母雞中隨機(jī)選取，每個(gè)母雞媽媽有若干個(gè)孩子小雞。

（6）在雞群中，不同等級的雞的位置更新方式有所不同。公雞作為適應(yīng)度最好的雞群，在整個(gè)覓食過程中占據(jù)主導(dǎo)地位，可以在更廣泛的空間里尋找食物。公雞位置更新公式如下：

其中，randn(0,σ2)是均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為σ2的一個(gè)高斯分布；fi為個(gè)體i的適應(yīng)度值；ε為充分小的正數(shù)，以防止的分母取值為0；k為任一公雞個(gè)體的編號，且k≠i。

母雞位置更新公式如下：

其中，r1 為第i只母雞的配偶公雞個(gè)體的編號，r2 為隨機(jī)選取的任一公雞或母雞個(gè)體的編號，且r1 ≠r2，rand為[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

小雞位置更新公式如下：

其中，xm,j(t)代表第t次迭代時(shí)第i只小雞的媽媽的位置，F(xiàn)L(FL∈[0,2])為跟隨系數(shù)。

3 自適應(yīng)動態(tài)學(xué)習(xí)雞群算法

本文在標(biāo)準(zhǔn)雞群優(yōu)化算法中引入了非線性遞減學(xué)習(xí)因子和反向覓食機(jī)制，使公雞個(gè)體在向全局最優(yōu)個(gè)體動態(tài)學(xué)習(xí)的同時(shí)還自適應(yīng)地進(jìn)行反向覓食，可提高算法跳出局部極值的能力；此外定義了種群相似度指標(biāo)，根據(jù)該指標(biāo)使母雞個(gè)體進(jìn)行自適應(yīng)更新，可進(jìn)一步提高算法的性能。

其中，tmax為總迭代次數(shù)；w(t)為第t次迭代的學(xué)習(xí)因子；wmax和wmin為學(xué)習(xí)因子的最大值和最小值(wmax=0.9,wmin=0.4)。

在算法迭代前期，學(xué)習(xí)因子較大，從而使公雞個(gè)體有較大的學(xué)習(xí)范圍，不僅能擴(kuò)大搜索區(qū)域，還能有利于跳出局部極值；而在算法后期搜索階段學(xué)習(xí)因子較小，有利于提高公雞群體的局部搜索能力，從而有利于找到全局最優(yōu)值。

3.1.2 公雞個(gè)體向最優(yōu)個(gè)體學(xué)習(xí)

公雞群體是整個(gè)種群中適應(yīng)度值最好的群體，它起著引領(lǐng)其他群體向全局最優(yōu)位置前進(jìn)的作用。為了加快整個(gè)種群搜索到最優(yōu)解的速度，本文使公雞個(gè)體在向自身學(xué)習(xí)的同時(shí)還要向當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體動態(tài)學(xué)習(xí)，從而能夠使公雞個(gè)體盡快地進(jìn)入最優(yōu)解附近的區(qū)域。改進(jìn)的公雞更新公式如下：

其中，xbest(t)為第t次迭代最優(yōu)個(gè)體的位置。

3.1.3 反向覓食機(jī)制

公雞個(gè)體向當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體學(xué)習(xí)雖然能夠提升算法的收斂速度和求解精度，但在解決高維多峰函數(shù)時(shí)容易使大多數(shù)個(gè)體聚集在局部極值附近難以跳出，算法會出現(xiàn)早熟收斂的情況。

為了合理地判斷算法是否陷入局部極值，本文通過計(jì)算從第t+1-K次迭代到第t次迭代出現(xiàn)的K個(gè)最優(yōu)解的方差來檢測算法是否早熟收斂，計(jì)算公式如下：

3.1 基于反向覓食機(jī)制的公雞位置更新

3.1.1 非線性遞減學(xué)習(xí)因子

為了能較好地平衡雞群算法的全局和局部的搜索能力，本文在雞群算法的公雞更新公式中引入非線性遞減的學(xué)習(xí)因子，該學(xué)習(xí)因子的公式如下：

其中，δ(t)為第t+1-K次迭代到第t次迭代出現(xiàn)的K個(gè)最優(yōu)解的方差；xmean為K個(gè)最優(yōu)解的均值。當(dāng)δ(t)＜ε（ε為充分小的正數(shù)），表明連續(xù)K次迭代最優(yōu)解沒有發(fā)生明顯變化，則可認(rèn)為算法出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象。

為了提高算法跳出局部極值的能力，文獻(xiàn)[17]在算法陷入局部極值時(shí)使公雞個(gè)體向當(dāng)前整個(gè)種群中最差粒子學(xué)習(xí)，使得整個(gè)雞群能夠以一定的概率跳出局部最優(yōu)區(qū)域，文獻(xiàn)[17]中的公雞更新公式為：

其中，xworst(t)為第t次迭代的最差解向量；Q為學(xué)習(xí)系數(shù)，在文獻(xiàn)[17]中Q=0.5。

文獻(xiàn)[17]的改進(jìn)策略一定程度地增強(qiáng)了算法跳出局部最優(yōu)的能力，但使用常數(shù)學(xué)習(xí)系數(shù)不利于平衡全局與局部的搜索能力。為此，本文在公雞位置更新中引入反向覓食機(jī)制，當(dāng)算法陷入局部極值時(shí)使公雞個(gè)體向遠(yuǎn)離全局最優(yōu)位置的方向進(jìn)行覓食，并且在更新公式中加入了非線性遞減的學(xué)習(xí)因子。此時(shí)公雞個(gè)體的更新公式為：

其中，xbest(t)為第t次迭代的最優(yōu)個(gè)體的位置。

3.2 基于種群相似度指標(biāo)的母雞位置更新

3.2.1 種群相似度指標(biāo)

當(dāng)前種群的多樣性與算法的搜索能力密切相關(guān)，當(dāng)種群多樣性較差時(shí)，算法的全局搜索能力較弱。因此，一些學(xué)者通過定義種群中個(gè)體之間的密集度來衡量當(dāng)前種群多樣性的高低。王叢佼等人[21]定義群體適應(yīng)度值方差來反映種群中所有個(gè)體聚集程度，以此來改進(jìn)差分進(jìn)化算法。何瓊月等人[22]在改進(jìn)粒子群算法時(shí)，用當(dāng)前粒子之間的歐氏距離來定義種群的相似度。

本文在雞群算法中引入種群相似度概念，利用當(dāng)前整個(gè)種群中每個(gè)個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體之間的適應(yīng)度的差來定義整個(gè)種群的相似度，繼而根據(jù)種群的相似度對母雞個(gè)體進(jìn)行自適應(yīng)更新。當(dāng)兩個(gè)個(gè)體之間的適應(yīng)度差值較大時(shí)，很容易判斷這兩個(gè)個(gè)體相似度較低；當(dāng)兩個(gè)個(gè)體之間的適應(yīng)度差值較小時(shí)，對個(gè)體之間相似度的判斷則較為困難。為了合理度量兩個(gè)個(gè)體之間的相似度高低，本文在設(shè)計(jì)相似度指標(biāo)函數(shù)時(shí)需要遵循以下幾點(diǎn)要求：

（1）函數(shù)的值域?yàn)?0,1)。

（2）在自變量較小時(shí)，函數(shù)值對自變量變化比較敏感，函數(shù)的圖像較陡。

（3）在自變量較大時(shí)，函數(shù)值受自變量變化的影響較小，函數(shù)的圖像較緩。

遵循以上幾點(diǎn)要求，定義個(gè)體之間的相似度指標(biāo)公式如下：

其中，fi為個(gè)體i的適應(yīng)度值；fp為當(dāng)前種群中最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度值；u(i,p)為個(gè)體i與最優(yōu)個(gè)體的相似度指標(biāo)；a為固定常數(shù)，大量實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)a=5 時(shí)算法求解效果較好。

通過分析公式（14）知，函數(shù)u為增函數(shù)，當(dāng)兩個(gè)個(gè)體之間適應(yīng)度的差值越大時(shí)，個(gè)體之間的相似度指標(biāo)越大，兩個(gè)個(gè)體之間相似度就越低。為了更加直觀地看出相似度指標(biāo)函數(shù)圖像前陡后緩的特點(diǎn)，特地給出了函數(shù)圖像（見圖1）。

圖1 u 函數(shù)的曲線圖

由公式（14）可得到個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體之間的N（種群個(gè)數(shù)）個(gè)相似度指標(biāo)值，然后對這N個(gè)指標(biāo)值進(jìn)一步求均值來度量整個(gè)種群的相似度。種群相似度指標(biāo)s(t)的表達(dá)式如下：

其中，s(t)表示第t代的種群多樣性指標(biāo)。當(dāng)s(t)→1時(shí)，種群中個(gè)體的相似度較低，種群多樣性較好；當(dāng)s(t)→0 時(shí)，種群中個(gè)體的相似度較高，種群多樣性較差。

3.2.2 母雞個(gè)體更新方式

根據(jù)上述的種群相似度指標(biāo)，本文改進(jìn)的母雞更新公式如下：

其中，h1 和h2 為雞群中的隨機(jī)個(gè)體的編號。若s(t)＜rand，則第i只母雞選擇隨機(jī)粒子進(jìn)行隨機(jī)學(xué)習(xí)，以增加種群多樣性；若s(t)≥rand，則第i只母雞選擇最優(yōu)個(gè)體和自身所在子群的公雞個(gè)體學(xué)習(xí)，從而促使個(gè)體向最優(yōu)解靠近。

3.3 ADLCSO算法的求解步驟

自適應(yīng)動態(tài)學(xué)習(xí)改進(jìn)雞群算法（ADLCSO）的求解步驟如下所述：

（1）種群初始化。設(shè)置種群數(shù)量N，公雞個(gè)數(shù)NR，母雞個(gè)數(shù)NH，小雞個(gè)數(shù)NC，小雞媽媽的個(gè)數(shù)NM，進(jìn)化代數(shù)G，最大迭代次數(shù)tmax等相關(guān)參數(shù)。

（2）計(jì)算雞群里每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，設(shè)置整個(gè)雞群全局最優(yōu)位置，設(shè)置迭代次數(shù)t=1。

（3）根據(jù)公式（7）～（8）計(jì)算學(xué)習(xí)因子；根據(jù)公式（14）～（15）計(jì)算當(dāng)前種群相似度指標(biāo)值。

（4）若mod(t,G)=1，則根據(jù)雞群里每個(gè)粒子的適應(yīng)度值對雞群里每個(gè)個(gè)體進(jìn)行排序，建立等級制度。

（5）如果t≥K,則根據(jù)公式（10）～（11）計(jì)算方差δ(t),然后轉(zhuǎn)步驟（6）；否則轉(zhuǎn)步驟（7）。

（6）如果δ(t)＜ε，則轉(zhuǎn)步驟（8）；否則轉(zhuǎn)步驟（7）。

（7）根據(jù)公式（9）對公雞個(gè)體進(jìn)行更新。

（8）根據(jù)公式（13）對公雞進(jìn)行位置更新。

（9）然后根據(jù)公式（16）對母雞位置更新。

（10）根據(jù)公式（6）對小雞位置更新。

（11）更新雞群中的全局最優(yōu)位置，t=t+1。

（12）若滿足算法終止條件，則迭代停止，輸出最優(yōu)解；否則轉(zhuǎn)步驟（3）。

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 算法參數(shù)設(shè)置和測試函數(shù)

本文通過12 個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)對本文改進(jìn)算法（ADLCSO）進(jìn)行測試。為了保證比較的公平及合理性，令所有算法的種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為1 000，獨(dú)立運(yùn)行30 次，所共有參數(shù)保持一致。各算法的參數(shù)設(shè)置見表1。在12 個(gè)測試函數(shù)中，f1～f4為單峰函數(shù)，f5～f11為多峰函數(shù)，f12為固定維數(shù)的多峰函數(shù)。函數(shù)理論最優(yōu)值都為0，12個(gè)基準(zhǔn)測試函數(shù)表達(dá)式如下：

（1）Sphere函數(shù)

（2）BentCigar函數(shù)

（3）Discus函數(shù)

（4）High Conditioned Elliptic函數(shù)：

表1 三種算法的參數(shù)設(shè)置

（5）Ackley函數(shù)

（6）Griewank函數(shù)

（7）Rastrigin函數(shù)

（8）Powell函數(shù)

（9）Alpine函數(shù)

（10）Quartic函數(shù)

（11）Zakharov函數(shù)

（12）Bukin函數(shù)

4.2 兩種改進(jìn)策略的有效性分析

為了驗(yàn)證反向覓食機(jī)制和種群相似度指標(biāo)的可行性和有效性，本文利用上述12 個(gè)函數(shù)對ADLCSO-I 算法和ADLCSO-II 算法進(jìn)行測試。這里ADLCSO-I 算法是在CSO算法中只引入基于反向覓食機(jī)制的公雞位置更新策略；ADLCSO-II 算法是在CSO 算法中只引入基于種群相似度指標(biāo)的母雞位置更新策略。ADLCSO-I算法和ADLCSO-II算法中的參數(shù)設(shè)置同表1中ADLCSO算法的參數(shù)設(shè)置相同。表2為對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖2為3種不同策略對單峰函數(shù)f1和多峰函數(shù)f7的收斂圖。

圖2 部分測試函數(shù)的收斂圖

由表2 和圖2 可以看出，使用兩種改進(jìn)策略的ADLCSO算法的尋優(yōu)精度、收斂速度和尋優(yōu)穩(wěn)定性都要優(yōu)于使用單一改進(jìn)策略的ADLCSO-I算法和ADLCSO-II算法，ADLCSO-I 算法在大多函數(shù)優(yōu)化上的表現(xiàn)優(yōu)于ADLCSO-II 算法。單獨(dú)使用反向覓食機(jī)制和種群相似度對標(biāo)準(zhǔn)雞群算法性能的改進(jìn)雖然有一定的效果但效果有限，組合的改進(jìn)策略可以更加有效地提高算法的尋優(yōu)性能。

4.3 學(xué)習(xí)因子的有效性分析

本文在公雞個(gè)體位置的更新公式中加入了非線性遞減的學(xué)習(xí)因子，為了驗(yàn)證該策略的優(yōu)越性，利用上述前9個(gè)測試函數(shù)對ADLCSO-I和ADLCSO-Iw進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比。這里ADLCSO-Iw算法是把ADLCSO-I算法中的學(xué)習(xí)因子替換成文獻(xiàn)[17]中的常數(shù)因子(w=0.5)。表3為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖3表示兩種算法尋優(yōu)收斂曲線圖。

表2 不同改進(jìn)策略下ADLCSO算法的測試結(jié)果

由表3中數(shù)據(jù)可以看出，對于函數(shù)f1～f4和f8～f9來說，ADLCSO-I 算法的求解精度要優(yōu)于ADLCSO-Iw 算法。對于函數(shù)f5～f7，兩種學(xué)習(xí)因子求得的結(jié)果相同，但從圖3 上可以看出，ADLCSO-I 算法比 ADLCSO-Iw 算法的收斂速度有明顯的提高。綜上分析，無論是求解單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，非線性遞減的學(xué)習(xí)因子總體上都要優(yōu)于常數(shù)學(xué)習(xí)因子。

4.4 與標(biāo)準(zhǔn)算法實(shí)驗(yàn)對比

本文通過求解上述12 個(gè)測試函數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)雞群算法（CSO）、標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法（PSO）和本文改進(jìn)算法（ADLCSO）的性能進(jìn)行比較。各算法參數(shù)設(shè)置見表1。表4 記錄了3 種算法求解的結(jié)果，圖4 表示在30 維問題上3種算法的收斂曲線圖。

圖3 ADLCSO-I算法和ADLCSO-Iw算法求解部分測試函數(shù)的收斂圖

4.4.1 尋優(yōu)精度分析

從表4中可以看出，對于大部分測試函數(shù)，ADLCSO算法得到的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都為0，這說明ADLCSO算法的求解精度和穩(wěn)定性比其他兩種算法更高。

對于多峰函數(shù)f5、f9和f10，CSO 算法和 PSO 算法的尋優(yōu)精度明顯不如ADLCSO 算法，并且隨著維數(shù)的增加，CSO 算法和PSO 算法的尋優(yōu)效果有所下降，但ADLCSO 算法在高維上依舊能收斂到較高精度。對于多峰函數(shù)f6和f7，在10 維和30 維問題上CSO 算法和ADLCSO 算法的求解結(jié)果都達(dá)到了0，PSO 算法求解結(jié)果較差；但是在100 維的問題上時(shí)，CSO 算法和PSO 算法都出現(xiàn)陷入局部極值，ADLCSO算法卻依舊能收斂到最優(yōu)解。對于函數(shù)f11，CSO算法和PSO算法陷入局部極值，但ADLCSO算法在求解100維問題時(shí)求解精度達(dá)到了2.175 8E-205。以上分析說明在求解高維問題時(shí)，CSO算法和PSO算法都容易陷入局部極值，但ADLCSO算法依舊能收斂到較高精度，甚至對于大部分函數(shù)能求解到理論最優(yōu)值。

4.4.2 收斂速度分析

由圖4 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，ADLCSO算法的收斂曲線下降很快，且在求解大部分函數(shù)時(shí)都能快速收斂到理論最優(yōu)解。

為了對比ADLCSO 算法在求解不同維數(shù)上的性能，本文給出了ADLCSO 算法在不同維數(shù)下的收斂圖（圖5）。從圖5 的收斂曲線可以得到，即使在求解高維問題時(shí)，ADLCSO算法的收斂速度仍然很快。

表4 三種算法的性能測試結(jié)果

綜合以上分析，與CSO 算法和PSO 算法相比，ADLCSO算法在穩(wěn)定性、求解精度與收斂速度上均有顯著提高。

4.5 與其他改進(jìn)雞群算法的比較

將本文所提出的ADLCSO算法與PRCSO[17]、ICSO[18]、ICCSO[19]、DMCSO[20]和 GCSO[23]進(jìn)行對比，對比數(shù)據(jù)見表5。5種改進(jìn)雞群算法的參數(shù)設(shè)置和數(shù)據(jù)均來自于對應(yīng)的參考文獻(xiàn)。在表5 中，D為算法求解的問題維數(shù)，T為算法最大迭代次數(shù)。

由表5可以看出，ADLCSO算法的求解結(jié)果整體上優(yōu)于其他5種對比算法。

維數(shù)為30，算法迭代次數(shù)為500 時(shí)，ADLCSO 算法的尋優(yōu)效果明顯優(yōu)于ICSO 算法。對于函數(shù)f6和f7，ADLCSO 算法和ICSO 算法的求解結(jié)果都為0，但是由圖4的收斂曲線可知，在求解函數(shù)f6和f7時(shí)，ADLCSO算法在迭代40次左右就收斂了，而從文獻(xiàn)[18]中可以看出ICSO算法在迭代300次左右才收斂。

維數(shù)為 100，迭代次數(shù)為1 000 時(shí)，ADLCSO 算法求解的結(jié)果整體上優(yōu)于DMCSO 算法和GCSO 算法。對于函數(shù)f5，ADLCSO算法的求解的平均值稍差于GCSO算法；但是ADLCSO 算法得到的標(biāo)準(zhǔn)差卻為0，在求解穩(wěn)定性上ADLCSO算法明顯優(yōu)于GCSO算法。

以上分析說明，與以上5 種相關(guān)改進(jìn)算法相比，ADLCSO算法的求解性能最好。

4.6 ADLCSO算法的時(shí)間復(fù)雜度分析

在標(biāo)準(zhǔn)雞群算法CSO 中，假設(shè)解空間的維數(shù)為n，種群大小為N，各參數(shù)的初始設(shè)置、生成一個(gè)均勻隨機(jī)數(shù)、求目標(biāo)函數(shù)值、將所有個(gè)體的適應(yīng)值排序并得到當(dāng)代最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度值的時(shí)間分別為t1、t2、f(n)、t3，則算法初始化階段的時(shí)間復(fù)雜度為：

圖4 3種算法求解測試函數(shù)的收斂圖

圖5 ADLCSO算法在不同維數(shù)下的部分測試函數(shù)收斂圖

表5 不同改進(jìn)算法的對比實(shí)驗(yàn)結(jié)果

進(jìn)入迭代后，在雞群個(gè)體位置更新階段，假設(shè)：迭代次數(shù)為m，公雞個(gè)數(shù)為N1，母雞個(gè)數(shù)為N2，小雞個(gè)數(shù)為N3，新產(chǎn)生個(gè)體的適應(yīng)度計(jì)算時(shí)間為f(n)；公雞個(gè)體每一維進(jìn)行位置更新的時(shí)間為t4；母雞個(gè)體每一維進(jìn)行位置更新的時(shí)間為t5；個(gè)體每一維進(jìn)行位置更新的時(shí)間為t6；新舊個(gè)體適應(yīng)值比較互換的時(shí)間為t7；每一次更新種群等級制度的時(shí)間為t8；則雞群個(gè)體位置更新階段的時(shí)間復(fù)雜度函數(shù)為：

綜上所述，標(biāo)準(zhǔn)雞群算法的時(shí)間復(fù)雜度為：

ADLCSO 算法在標(biāo)準(zhǔn)雞群算法的基礎(chǔ)上增加了公雞位置更新中的學(xué)習(xí)因子、方差和母雞位置更新中的相似度指標(biāo)。假設(shè)：計(jì)算一次迭代的學(xué)習(xí)因子的時(shí)間為t9，計(jì)算一次迭代的方差的時(shí)間為t10，計(jì)算當(dāng)前個(gè)體與最優(yōu)個(gè)體的相似度指標(biāo)的時(shí)間為t11，則計(jì)算學(xué)習(xí)因子、方差和相似度指標(biāo)的時(shí)間復(fù)雜度為：

從而ADLCSO算法的時(shí)間復(fù)雜度為：

由此可知，本文算法ADLCSO 和標(biāo)準(zhǔn)雞群算法CSO的時(shí)間復(fù)雜度依舊在同一個(gè)數(shù)量級。

5 總結(jié)

本文在雞群算法的基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)動態(tài)學(xué)習(xí)雞群優(yōu)化算法，在算法中引入反向覓食機(jī)制和種群相似度指標(biāo)，分別對公雞和母雞的位置更新公式進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整，并在公雞位置更新公式中加入非線性遞減學(xué)習(xí)因子。反向覓食機(jī)制增強(qiáng)了種群跳出局部極值的能力，提高了算法的收斂速度和求解精度；非線性遞減學(xué)習(xí)因子的引入較好地平衡了算法全局探索和局部開發(fā)能力，增強(qiáng)了算法的穩(wěn)定性；通過種群相似度指標(biāo)對母雞的位置進(jìn)行自適應(yīng)更新，抑制了種群多樣性的衰減，提高了算法的求解精度。最后，通過對12 個(gè)經(jīng)典測試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了ADLCSO算法的優(yōu)越性。