郭翔鷹,孫向洋,朱雨男

(北京工業(yè)大學機械工程學院，機械結構非線性振動與強度北京市重點實驗室，北京 100124)

0 引 言

聲子晶體，是指由兩種或者兩種以上不同力學性能的材料構成的周期結構功能材料。此類材料存在聲子帶隙[1-3]，某些特定范圍頻率的彈性波無法在其中傳播。聲子帶隙的存在使得聲子晶體結構具有廣闊的應用前景，例如用于隔振減振、隔聲降噪、制作聲波濾波器、隔振器、波導裝置等[4-9]。

國內外學者也對聲子晶體結構進行了大量研究，主要集中在研究彈性波在聲子晶體結構中的傳播情況。例如，Sorokin 等[10]研究了自由平面波在無限長聲子晶體結構中的傳播。Romeo等[11-12]通過傳遞矩陣方法研究了一般三耦合聲子晶體結構的自由波傳播模式，討論了當耦合參數(shù)趨于消失時波傳播特性的演變。李建寶等[13]利用有限元法研究了微腔結構對二維聲子晶體能帶結構的影響。Huang等[14]研究了復雜聲子晶體結構中波傳播及其在智能結構半主動控制和健康監(jiān)測中的應用。Shan等[15]研究了多孔聲子晶體結構中彈性波的傳播。黃海龍等[16]采用時域有限差分(FDTD)方法計算了鋁梯度聲子晶體結構復合木材的電磁波吸收特性。張昭等[17]采用平面波展開法研究了薄板型聲子晶體的帶隙及其減振特性。

對于聲子晶體結構，重要的研究內容之一是其能帶結構的計算，目前已經(jīng)發(fā)展出了很多種計算方法，例如轉遞矩陣法、平面波展開法、時域有限差分方法、多重散射法、有限元法等[18-21]。這些方法各有利弊，傳遞矩陣法適用于一維聲子晶體的研究[22]，對于二維和三維較為復雜的模型則不太適用；平面波展開法思路清晰，計算效率高，可以用來計算二維聲子晶體的能帶結構[23]；時域有限差分方法可計算較為復雜的模型[24]，但其計算量較大；多重散射法理論推導較為復雜，且只能用于簡單的圓柱及球形散射體單元結構的聲子晶體[25]；有限元法不但能直接計算聲子晶體的能帶結構[26]，也可快速計算其傳遞損失。綜上所述，本文采用平面波展開法和有限元法相結合計算二維正方晶格固/固型聲子晶體的能帶結構與傳遞損失，并對于在能帶結構中出現(xiàn)的特殊現(xiàn)象進行分析。

1 模型介紹

由于晶體的周期性，對于理想的無限周期的聲子晶體只需要研究一個單胞即可[23]，如圖1(a)所示，這個二維正方晶格單胞由圓形散射體和正方形基體組成，材料分別為鎢和硅橡膠，晶格常數(shù)為a，散射體半徑為r, 散射體的填充率為f=πr2/a2。利用有限元軟件Comsol中的平面應變單元進行網(wǎng)格劃分。然后根據(jù)Bloch定理，在單胞的上下左右四個邊界分別應用Bloch周期性邊界條件如圖1(b)，其邊界位移滿足ui(x+a,y+a)=ui(x,y)e-i(kxa+kya)(i=x,y)，其中u為位移，k為波矢。當波矢沿著第一布里淵區(qū)的邊界取值時，即沿著Γ-X-M-Γ方向掃描如圖1(c)，通過求解本征值問題，得到結構的特征頻率，進而得到聲子晶體能帶圖。

圖1 (a)單胞示意圖;(b)邊界條件關系;(c)第一布里淵區(qū)Fig.1 (a)A cell diagram;(b)a boundary condition relationship;(c)the first Brillouin region

圖2 用于計算傳遞損失的包含10行單元的有限結構Fig.2 A finite structure containing 10-line elements for calculating transfer losses

2 平面波展開法簡介

平面波展開法是聲子晶體研究中最常用的方法之一，能夠用于不同維數(shù)聲子晶體的彈性波帶隙計算，并且其概念清晰，計算量小。它的基本思想是利用聲子晶體結構的周期性，將聲子晶體的材料參數(shù)和結構參數(shù)按照傅里葉級數(shù)展開，再在倒格矢空間進行平面波疊加，通過求解近似值，從而得到其能帶結構。由于聲子晶體的結構周期性，拉梅常數(shù)λ和μ以及密度ρ都是空間r=(x,y)的周期函數(shù)，拉梅常數(shù)與楊氏模量E和剪切模量G之間的關系為

(1)

各參數(shù)均可按照傅里葉級數(shù)展開。為敘述方便，統(tǒng)一使用h來表示這三個參量

(2)

式中，G為倒格矢，進一步的通過在倒格矢空間進行平面波疊加，選取鎢和硅橡膠聲子晶體的結構函數(shù)，結合Bloch定理，求出此類周期結構的本征方程如下：

(3)

(4)

方程式(3,4)為無限階復數(shù)矩陣的特征值問題，其中G′取遍整個倒格矢空間，ω為周期性結構的角頻率，k為波矢量。下面基于得到的本征方程式進行Matlab編程，選取441個平面波波數(shù)，通過求解近似值，從而得到鎢-硅橡膠聲子晶體的能帶結構。

3 結果與討論

3.1 能帶結構計算

取單胞結構的散射體半徑為4 mm，晶格常數(shù)為10 mm。材料參數(shù)如下表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

計算得出二維鎢-硅橡膠聲子晶體的單胞能帶結果如圖3所示。從計算的結果可得，平面波展開法計算的第一完全帶隙范圍為382～997 Hz，帶寬為：615 Hz，其中心頻率為689.5 Hz。同時，利用有限元法計算得出上述模型的第一完全帶隙范圍為396.9～1 009.4 Hz，帶寬為：639.5 Hz，其中心頻率為703.15 Hz，因此兩種方法計算得出的結果基本吻合，驗證了本文采用平面波展開法計算結果的正確性。

圖3 二維鎢-硅橡膠周期性結構能帶圖Fig.3 Two-dimensional energy band diagram of periodic structure of tungsten-silicone rubber

從圖3得出的帶隙頻率范圍發(fā)現(xiàn)，由硅橡膠-鎢組成的正方晶格的聲子晶體在第一布里淵區(qū)存在多條不完全帶隙，同時在中低頻的范圍能出現(xiàn)聲子禁帶，對工程上的中低頻隔振器的設計有一定的理論指導作用。并且在布里淵區(qū)邊界XM方向，第六條和第七條能帶相交，并且形成了一個兩重簡并的狄拉克點。同時在XM方向之外，其他方向都是以禁帶的方式存在。為了清楚的看出狄拉克點的存在，局部放大陰影部分，可看出無論是平面波展開法還是有限元法都存在狄拉克點，只是位置稍有不同。

為了進一步分析在能帶結構中出現(xiàn)狄拉克點的原因，圖4中計算了二維鎢-硅橡膠聲子晶體在狄拉克點頻率下的雙重簡并態(tài)的本征場圖，圖4(a)表示的是偶極子態(tài)，圖4(b)表示的是四極子態(tài)，而偶極子態(tài)和四極子態(tài)都是雙重簡并態(tài)，因此本征場顯示的結果與能帶圖是吻合的，這種雙重簡并導致了狄拉克點的出現(xiàn)。

圖4 結構的本征態(tài)壓力場Fig.4 Eigenstate pressure field of structure

前面已經(jīng)得出二維鎢-硅橡膠聲子晶體的單胞能帶結構，為了驗證對于有限個單胞組合的超胞結構是否具有同樣的聲子禁帶，應用了如圖2所示的含10個單胞的鎢-硅橡膠聲子晶體超胞模型，用于其傳遞譜的計算，得出該結構的傳遞損失如圖5所示，a區(qū)域為禁帶，此禁帶范圍為475～1 000 Hz，帶寬為525 Hz，中心頻率為737.5 Hz，與之前得到的單胞能帶計算結果基本吻合。證明對于二維鎢-硅橡膠聲子晶體，其單胞與超胞的禁帶范圍是一致的，對于單胞的研究情況可以推廣到超胞結構，這對于簡化計算過程極為有利。

圖5 超胞結構的傳遞損失Fig.5 Transfer loss of supercellular structure

為了能夠更加直觀呈現(xiàn)頻率與波矢之間的關系，圖6計算了二維鎢-硅橡膠聲子晶體的第一能帶三維圖及其二維云圖，得到在高對稱點的位置，波矢的頻率為0，而在XM方向上波矢則存在較大的頻率。

圖6 第一能帶三維圖(a)及其二維云圖(b)Fig.6 Three-dimensional map(a) of the first energy band and its two-dimensional cloud map(b)

進一步研究在不同的模態(tài)下二維正方晶格鎢-硅橡膠聲子晶體結構的變形趨勢，圖7(a)和圖7(b)分別計算單胞的模態(tài)A總位移變化趨勢圖和模態(tài)B的總位移變化趨勢圖(對應于圖3中的模態(tài)A和模態(tài)B)，發(fā)現(xiàn)模態(tài)A主要發(fā)生扭轉變形，模態(tài)B主要發(fā)生剪切變形。從云圖的計算得出對于模態(tài)A，其單胞的中心位置與四個邊角位置變形較小，而散射體與基體的連接處變形較大。對于模態(tài)B，其單胞的四個邊角位置變形較大，而散射體整體的變形較為均勻。因此，對于扭轉變形而言，散射體與基體相連接處為應力集中區(qū)，而剪切變形對散射體的影響則不明顯，因此工程應用中散射體與基體的連接部位則需要加固設計。

圖7 總位移的變化云圖Fig.7 Change of total displacement nephogram

3.2 材料參數(shù)對帶隙的影響

對于聲子晶體結構而言，其材料參數(shù)對聲子帶隙的影響非常重要，所以下面選取了10種不同的散射體材料(表2給出了各種材料的參數(shù))研究二組元聲子晶體結構中材料參數(shù)對其帶隙特性的影響，包括散射體與基體的密度比、楊氏模量比對第一完全帶隙的影響，以及兩者之間的關系。

圖8研究了不同密度比對二維正方晶格固/固型聲子晶體的第一完全帶隙的影響情況，從圖8可以看出，隨著密度比(散射體密度與基體密度的比值)的增大，第一完全帶隙的起始頻率逐漸增加，但是截止頻率變化較小，帶寬逐漸減小。對于工程上的低頻隔振結構來講，通過選取合適的材料，使得材料間的密度比減小，可獲得較低的隔振頻率以及較大的隔振帶寬。圖9顯示了二維固/固型聲子晶體的第一完全帶隙與楊氏模量比(散射體的楊氏模量與基體的楊氏模量的比值)沒有明確的關系，隨著楊氏模量比的增大，第一完全帶隙有增有減，不呈現(xiàn)出特定的規(guī)律。通過密度比與楊氏模量比對第一完全帶隙的影響分析，得出：密度是影響帶隙特性的決定性因素之一，調整兩組分材料的密度比能改變二維固/固型聲子晶體的帶隙特性。

表2 不同散射體材料的各項參數(shù)Table 2 Various parameters of different scatterer materials

圖8 第一完全帶隙與密度比的關系Fig.8 Relationship between the first complete band gap and density ratio

圖9 第一完全帶隙與楊氏模量比的關系Fig.9 Relationship between the first complete band gap and Young’s modulus ratio

4 結 論

本文計算了二維正方晶格鎢-硅橡膠聲子晶體的能帶結構，并對其中出現(xiàn)的特殊現(xiàn)象進行分析，研究了出現(xiàn)狄拉克點的原因，同時分析了材料參數(shù)對該能帶的影響情況。綜合以上研究，得出以下結論：

(1)由鎢-硅橡膠組成的聲子晶體結構在中低頻的范圍能出現(xiàn)聲子禁帶。

(2)散射體與基體相連接處容易出現(xiàn)應力集中現(xiàn)象，工程應用中散射體與基體的連接部位需加固設計。

(3)隨著密度比的增大，二維鎢-硅橡膠聲子晶體的第一完全帶隙的起始頻率逐漸增加，但是截止頻率變化較小，帶寬逐漸減小，通過調整材料的密度比將顯著地改變聲子晶體結構的帶隙特性。同時，第一完全帶隙與楊氏模量比沒有明確的關系。