楊晉寧　曹雅莉

摘要：懸臂梁式壓電俘能系統(tǒng)的輸出電壓和功率與壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸、外界激振頻率等都有著密切的聯(lián)系。同時(shí)，線性壓電振子當(dāng)與環(huán)境振動(dòng)激勵(lì)產(chǎn)生共振時(shí)才能獲得最大的輸出功率，而其固有頻率又與壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸等參數(shù)有關(guān)。因此，為了在實(shí)際應(yīng)用中提高俘能效率，就需要研究這些參數(shù)對(duì)懸臂梁式壓電俘能系統(tǒng)性能的影響規(guī)律。現(xiàn)針對(duì)懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了相關(guān)的理論分析，并通過(guò)COMSOL Multiphysics有限元軟件，對(duì)系統(tǒng)輸出電壓和功率受外界激振頻率、負(fù)載、外激勵(lì)加速度的影響規(guī)律進(jìn)行了仿真分析，從而為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)，降低系統(tǒng)固有頻率提供了參考。

關(guān)鍵詞：壓電振子;固有頻率;激振頻率;負(fù)載;仿真

0 引言

自然界中的能源多種多樣，其中振動(dòng)能是一種取之不盡、用之不竭的“綠色能源”，它不像其他能源那樣隨時(shí)受到時(shí)間、地域、環(huán)境等因素的限制。若能將其轉(zhuǎn)化為電能，有助于解決微電子器件需長(zhǎng)期、實(shí)時(shí)持續(xù)的能源供給問(wèn)題。實(shí)際上，利用自然界中的振動(dòng)給微型發(fā)電裝置提供動(dòng)力，可以源源不斷地將振動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槲C(jī)電系統(tǒng)所需要的電能。由于利用正壓電效應(yīng)原理在環(huán)境中收集到的振動(dòng)能具有較高的能量密度、清潔環(huán)保、高輸出電壓和功率以及易于實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)微型集成化等優(yōu)點(diǎn)，因而近年來(lái)備受關(guān)注[1]。在理論研究中，一般將壓電式懸臂梁作為壓電式振動(dòng)俘能系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)的等效體，利用線性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行建模與分析，故常將它稱之為線性懸臂梁式壓電振子。

本文為了進(jìn)一步提高能量轉(zhuǎn)換效率，在對(duì)懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)和尺寸進(jìn)行理論分析的基礎(chǔ)上，利用COMSOL Multiphysics軟件，將外界激振頻率等參數(shù)對(duì)輸出電壓和功率的影響進(jìn)行仿真分析，為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)提供理論參考。

1 壓電能量收集器的理論分析

1.1? ? 基本結(jié)構(gòu)和原理

能量收集器中最典型的結(jié)構(gòu)是懸臂梁式，其具有諸多優(yōu)點(diǎn)。為進(jìn)一步提高能量轉(zhuǎn)換效率，使壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率、外界激振頻率和負(fù)載三者之間有效匹配起來(lái)，本文采用基于正壓電效應(yīng)原理下的矩形懸臂梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)的中間層是用銅材料制成的金屬基體，在基體的上下方各粘有一層很薄的PZT-5H壓電陶瓷，利用串聯(lián)連接的輸出方式，構(gòu)成雙晶壓電振子，Z軸為極化方向。壓電振子的左端固定，另一端放置一個(gè)材料為45鋼的質(zhì)量塊，用于降低壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率，以便收集外界低頻環(huán)境中的振動(dòng)能量。

在外界振動(dòng)源的激勵(lì)下，將會(huì)激發(fā)壓電振子進(jìn)行振動(dòng)而發(fā)生彎曲變形，使上下兩片PZT-5H壓電陶瓷分別受到拉伸和壓縮作用，結(jié)合正壓電效應(yīng)原理此時(shí)可對(duì)外輸出電壓。該結(jié)構(gòu)采用激勵(lì)方向與極化方向相垂直的d31振動(dòng)模式，使其共振頻率更低，更易與外界環(huán)境產(chǎn)生共振。懸臂梁式壓電結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表1所示。

1.2? ? 固有頻率

根據(jù)文獻(xiàn)[2-3]提出的分布式參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型，在忽略質(zhì)量慣性矩和剪切變形影響的前提下，可將線性懸臂梁式壓電振子等效為一個(gè)Euler-Bernoulli梁，然后利用Euler-Bernoulli方程對(duì)其機(jī)電耦合行為進(jìn)行建模。通過(guò)理論推導(dǎo)，得到計(jì)算各階固有頻率的公式[4]：

式中，E為壓電振子的彈性模量;ρ為壓電振子的等效密度;l為壓電振子的長(zhǎng)度;w為壓電振子的寬度;h為壓電振子的厚度（h=he+2hp）。

由（1）式可看出，壓電振子的fi與E、w和h之間呈正比關(guān)系，與ρ和l之間呈反比關(guān)系。當(dāng)壓電振子的一端放置質(zhì)量塊時(shí)，相當(dāng)于增加了ρ的大小，從而起到降低fi的作用。

2 有限元分析

在COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)仿真軟件中，按照表1所示數(shù)據(jù)對(duì)懸臂梁式雙晶壓電振子進(jìn)行三維建模，如圖2所示。通過(guò)求解，可以得到壓電振子的表面應(yīng)力云圖，如圖3所示，σmax位于壓電振子根部，為使壓電振子產(chǎn)生更多的電能，壓電片應(yīng)粘貼于此處[5]。

2.1? ? 模態(tài)分析

對(duì)于線性懸臂梁式壓電振子而言，其固有頻率只有與外界環(huán)境產(chǎn)生共振時(shí)，才能輸出最大電能。利用模態(tài)分析不僅能夠求解出懸臂梁式壓電振子的各階振型及固有頻率，還可以仿真其尺寸參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，最終為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)提供理論依據(jù)[6]。懸臂梁式雙晶壓電振子的前四階振型模態(tài)圖及固有頻率值，分別如圖4和表2所示。

從圖4中可看出，除了一階振型模態(tài)圖外，其余三階振型模態(tài)圖都是非正常的。對(duì)于懸臂梁式壓電振子而言，一階振型下應(yīng)變最大，輸出的電能也最多，因此在實(shí)際研究中為了建模分析方便，通常只考慮一階振型下的固有頻率值。

2.1.1? ? 振子長(zhǎng)度對(duì)其一階固有頻率的影響

如表1中，除l外，其余幾何參數(shù)均不變，使l在30～50 mm按步長(zhǎng)為5變化取值，通過(guò)仿真求解可得到相對(duì)應(yīng)的f1值分別為196.4 Hz、148.5 Hz、116.74 Hz、94.476 Hz、78.214 Hz?？梢钥闯?，隨著l的不斷增大，f1（一階固有頻率）逐漸減小，二者呈反比關(guān)系。這就意味著，增大l可以有效降低f1，但l的增大必須要在一定的范圍之內(nèi)，否則會(huì)增大能量收集器的幾何尺寸，與其微小集成化的特點(diǎn)相違背。該仿真求解結(jié)論與本文前面對(duì)公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

2.1.2? ? 振子寬度對(duì)其一階固有頻率的影響

如表1中，除w外，其余幾何參數(shù)均不變，使w在10～30 mm按步長(zhǎng)為5變化取值，通過(guò)仿真求解可得到相對(duì)應(yīng)的f1值分別為77.387 Hz、77.829 Hz、78.214 Hz、78.543 Hz、78.823 Hz?？梢钥闯觯琭1隨w數(shù)值的增大而緩慢增大，雖增大幅度很小，但二者仍呈正比關(guān)系。總體而言，該仿真求解結(jié)論與本文前面對(duì)公式（1）的理論分析結(jié)論相一致，但是壓電振子一階固有頻率受其寬度的影響并不大，基本可忽略不計(jì)。

2.1.3? ? 振子壓電片厚度對(duì)其一階固有頻率的影響

如表1中，除hp外，其余幾何參數(shù)均不變，使hp在0.1～0.5 mm按步長(zhǎng)為0.1變化取值，通過(guò)仿真求解可得到相對(duì)應(yīng)的f1值分別為49.94 Hz、78.214 Hz、109.49 Hz、142.43 Hz、176.37 Hz?？梢钥闯?，f1隨hp數(shù)值的增大而增大，二者呈正比關(guān)系，該仿真求解結(jié)論與本文前面對(duì)公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

2.1.4? ? 振子質(zhì)量塊質(zhì)量對(duì)其一階固有頻率的影響

如表1中，按照單晶壓電振子不帶質(zhì)量塊、單晶壓電振子帶質(zhì)量塊、雙晶壓電振子不帶質(zhì)量塊、雙晶壓電振子帶質(zhì)量塊4個(gè)方面，通過(guò)仿真求解得到相對(duì)應(yīng)的f1值分別為98.993 Hz、56.453 Hz、142.09 Hz、78.214 Hz?？梢钥闯觯徽撌菃尉弘娬褡舆€是雙晶壓電振子，自由端帶質(zhì)量塊都會(huì)降低其一階固有頻率，該仿真求解結(jié)論與本文前面對(duì)公式（1）的理論分析結(jié)論相一致。

因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以通過(guò)增大l、減小hp，同時(shí)在壓電振子一端放置質(zhì)量塊并加大質(zhì)量塊質(zhì)量的方法來(lái)降低壓電振子的一階固有頻率，使懸臂梁壓電振子與振動(dòng)激勵(lì)源之間產(chǎn)生共振，從而可以收集到環(huán)境中的低頻振動(dòng)能量，這種方法非常適用于那些低頻小幅的振動(dòng)環(huán)境。

2.2? ? 頻率響應(yīng)分析

由于外界環(huán)境的振動(dòng)頻率一般處于0～200 Hz，因此在有限元仿真時(shí)對(duì)頻率范圍進(jìn)行設(shè)定，通過(guò)掃頻的方法使其在60～80 Hz內(nèi)進(jìn)行取值，步長(zhǎng)為1。同時(shí)對(duì)壓電振子施加一數(shù)值為1的正弦外激勵(lì)加速度，求解后可得到輸出電壓和功率對(duì)頻率的響應(yīng)曲線，如圖5所示。從圖5中可知，在壓電振子的一階固有頻率處具有最大輸出電壓和最大輸出功率。這是由于當(dāng)壓電振子的一階固有頻率與環(huán)境外加的加速度頻率接近或一致時(shí)，壓電振子將會(huì)產(chǎn)生共振，此時(shí)壓電振子在外激勵(lì)作用下發(fā)生最大的彎曲變形，根據(jù)正壓電效應(yīng)原理，將產(chǎn)生最大的輸出電壓和輸出功率。

2.3? ? 負(fù)載對(duì)輸出電壓和功率的影響

由前面的分析可知，本文中壓電振子的共振頻率就是其一階固有頻率78 Hz，因此將頻率設(shè)定在78 Hz，仿真求解此壓電振子在共振條件下負(fù)載對(duì)輸出電壓和功率的影響關(guān)系。將負(fù)載電阻值在102～105 Ω之間掃描取值，步長(zhǎng)為0.25，求解得到負(fù)載對(duì)輸出電壓和功率的影響曲線，如圖6所示。

由圖6可看出，輸出功率隨負(fù)載電阻的增大而迅速增大，在負(fù)載電阻為1.78 kΩ時(shí)輸出功率達(dá)到最大值5.18 MW，根據(jù)電路理論的推導(dǎo)可以知道，只有當(dāng)外接電阻與壓電振子內(nèi)電阻相等或接近時(shí)，負(fù)載才能獲得最大電能，因此壓電振子內(nèi)電阻為1.78 kΩ。但當(dāng)負(fù)載電阻繼續(xù)增大時(shí)，外部電路電流將會(huì)變得很小，因此輸出功率將迅速減小。隨著外接負(fù)載電阻阻值的增大，輸出電壓也在增大，當(dāng)阻值增大到某一數(shù)值時(shí)，輸出電壓將保持不變，此時(shí)的電壓值為7.87 V。

2.4? ? 加速度對(duì)輸出電壓和功率的影響

將頻率繼續(xù)設(shè)定在78 Hz，仿真求解此壓電振子在共振的條件下外激勵(lì)加速度對(duì)輸出電壓和功率的影響。將加速度在0.25g～2g掃描取值，步長(zhǎng)為0.25，求解得到加速度對(duì)輸出電壓和功率的影響曲線，如圖7所示。

在圖7中可看出，隨著加速度的增大，輸出電壓和功率均增大，加速度對(duì)于輸出電壓和功率的影響都呈正比關(guān)系。但是加速度與輸出功率關(guān)系近似于一個(gè)二次函數(shù)，而加速度與輸出電壓的關(guān)系則為線性，可見加速度對(duì)于輸出功率的影響要大于對(duì)輸出電壓的影響，輸出功率與輸出電壓呈二次方關(guān)系。

3 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)線性懸臂梁式壓電振子的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)進(jìn)行了理論分析，得出了相關(guān)結(jié)論，并通過(guò)有限元軟件進(jìn)行建模、仿真和分析，研究了壓電振子的長(zhǎng)度、寬度、厚度以及自由端質(zhì)量塊對(duì)于其一階固有頻率的影響規(guī)律，驗(yàn)證了理論分析的正確性，并對(duì)外界激振頻率、負(fù)載、外激勵(lì)加速度對(duì)輸出電壓和功率的影響進(jìn)行了仿真分析，使壓電結(jié)構(gòu)的固有頻率、外界激振頻率和負(fù)載三者之間可以有效匹配，為優(yōu)化懸臂梁式壓電振子結(jié)構(gòu)，調(diào)整系統(tǒng)固有頻率提供了理論依據(jù)。

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收稿日期：2020-04-10

作者簡(jiǎn)介：楊晉寧（1984—），男，山西鄉(xiāng)寧人，碩士，講師，研究方向：先進(jìn)制造技術(shù)。