楊 明

（中交第一航務(wù)工程勘察設(shè)計(jì)院有限公司，天津 300222）

引 言

波浪反射導(dǎo)致近岸結(jié)構(gòu)物靜水面的波浪荷載、樁柱的剪切力荷載增大，威脅建筑物穩(wěn)定性。將波浪視為一種信號的話，從信號分離域角度可將目前波浪反射分離的研究成果歸為頻域和時(shí)域兩類。自由波指擾動力消失后僅在重力作用下繼續(xù)傳播的波浪[1]，自由波分離方法的研究成果眾多。

早期的分離方法基于波能守恒觀點(diǎn)，利用快速傅里葉算法，計(jì)算波浪平均的整體反射系數(shù)，并分離出組成合成波的許多個(gè)（理論上應(yīng)是無限個(gè)）初相位、頻率不等的簡諧波的入射波振幅。受制于線性波理論的假設(shè)條件，該類方法對波浪平穩(wěn)性要求很高，且集中于頻域分離[2]，若要分離局部合成波信號傳播過程中時(shí)間域的波浪特征參數(shù)信息，必須借助時(shí)域分離。

1995年Frigaard等[3]采用數(shù)字濾波原理建立的時(shí)域分離方法。將波浪幅值時(shí)間序列作為數(shù)字濾波器的輸入信號，利用波浪反射后的特征值變量，即振幅響應(yīng)算子及理論相位變化值構(gòu)建傳遞函數(shù)；同年 Zhu[4]基于線性系統(tǒng)觀點(diǎn)建立了不需計(jì)算相位差和波幅值的傳遞函數(shù)法，但僅局限于規(guī)則波的分離；2002年Sun等[5]提出了希爾伯特變換解析法分離不規(guī)則波。前述方法基于線性波理論，2010年Ma[6]采用 Morlet小波構(gòu)建波面信號時(shí)間序列的解析形式，提出適用于非線性作用明顯的入反射波的分離方法。

1 傳遞函數(shù)法

圖1 傳遞函數(shù)法反射模型

1.1 分離原理

由式（3）易知，kΔx=nπ條件下存在奇異解，應(yīng)用時(shí)兩處浪高儀間距應(yīng)避開半波長整數(shù)倍[7]。

1.2 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1.2.1 傳遞函數(shù)

圖2 濾波器的復(fù)頻響應(yīng)

復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)是關(guān)于中心對稱的。圖2對應(yīng)N=64，Δf=0.1Hz條件下濾波器的復(fù)頻響應(yīng)示例。

1.2.2 濾波器系數(shù)

復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行逆離散傅里葉變換，得到的脈沖響應(yīng)函數(shù)即為有限時(shí)序的濾波器系數(shù)：

ηp-j和hj分別指代t=j?Δtfilter時(shí)刻波面高度和濾波器系數(shù)，圖3為N=64，Δf=0.1Hz時(shí)濾波器系數(shù)示例。

1.3 傳遞函數(shù)法的計(jì)算步驟

1）遵循Goda[7]兩點(diǎn)法的奇異解條件合理布置測點(diǎn)，采集波面數(shù)據(jù)；

2）明確長度N，迭代逐個(gè)計(jì)算采樣頻率的波數(shù)；

3）由式（4）確定傳遞函數(shù)H1（f）、H2（f）表達(dá)式，計(jì)算所有采樣頻率的振幅值系數(shù)C；

圖3 濾波器系數(shù)

2 希爾伯特變換解析法

2.1 解析信號的性質(zhì)

采集波浪數(shù)據(jù)通過希爾伯特變換給出解析表達(dá)，得此波浪序列的瞬時(shí)相位和瞬時(shí)模[5]。

2.2 分離原理

希爾伯特變換法分離時(shí)，采集波列信號表示為：

2.3 希爾伯特解析法的計(jì)算步驟

1）遵循Goda[7]兩點(diǎn)法的奇異解條件合理布置測點(diǎn)，采集波面數(shù)據(jù)；

2）卷積計(jì)算，對采集信號作希爾伯特變換得到η（t）解析表達(dá)式的虛部g（t）；也可對采集信號作快速傅里葉變換得到F（ω），由式（12）得解析信號的傅里葉變換表達(dá)式Z（ω），而后再作逆傅里葉變換得g（t）；

3）確定采集信號的解析形式后由式（15）可得入反射波的解析表達(dá)，該復(fù)數(shù)域函數(shù)的實(shí)部即為入反射波浪的時(shí)域波面信號。

3 Morlet小波變換解析法

小波變換（wavelet transform，WT）是基于短時(shí)傅里葉變換拓展出的一種時(shí)頻分析方法，其時(shí)頻窗口函數(shù)具備可調(diào)性，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)信號頻域和時(shí)域信息的局部化分析。

Morlet小波在海浪譜分析中應(yīng)用廣泛，利用Morlet小波變換構(gòu)造信號的解析形式可表示信號的頻譜包絡(luò)以及瞬時(shí)相位。

時(shí)間序列信號xn（t）的連續(xù)小波變換可表示為：

式中：WT（s,t）是小波變換系數(shù)；s是尺度因子，表示與頻率有關(guān)的伸縮；n′是時(shí)間平移因子；ψ*的星標(biāo)代表共軛，ψ是基本小波ψ0的無量綱化：

小波變換的窗口函數(shù)是在“n′-s”域的二維尺度平面，其尺度和平移參數(shù)可自適應(yīng)性調(diào)節(jié)，在高頻部分具有較好的時(shí)間分辨率特性，在低頻部分具有較好的頻率分辨率特性。

連續(xù)小波變換式（17）直觀便于理解，但實(shí)際計(jì)算時(shí)為簡化計(jì)算根據(jù)卷積定理參照下式進(jìn)行：

Morlet小波的傅里葉變換表示為：

這里s0=2Δt表示最小尺度；J表示最大尺度，尺度參數(shù)δj與分辨率成反比，Morlet基本小波中取0.5。

小波變換的逆變換：

解析信號xA（t）的實(shí)部為時(shí)間序列x（t），重構(gòu)因子Cδ：

Ma[6]利用Morlet小波變換分離頻率成分復(fù)雜的不規(guī)則波：借助其局部分析特性，逐個(gè)獲取波浪中各尺度組成波的解析信號，給出各個(gè)頻率（尺度）下組成波的入反射波時(shí)間序列其解析表達(dá)，再進(jìn)行Morlet小波逆變換，即得入反射波的時(shí)域波面信號。

4 結(jié) 語

本文結(jié)合Frigaad[2]傳遞函數(shù)法以及Sun[5]和Ma[6]兩種解析法進(jìn)行對比研究。二維自由波的時(shí)域分離流程示意參見圖4。

1）Frigaad傳遞函數(shù)法基于線性系統(tǒng)理論，考慮數(shù)字濾波前后僅僅相位和幅值改變，頻率不變。波浪反射過程與之類似，增加計(jì)算頻率范圍，其與輸入信號頻率存在重疊的部分就越多，有助于提高精度。

2）希爾伯特解析法不需計(jì)算相位差和波高，應(yīng)用于不規(guī)則波時(shí)，首先作傅里葉變換需借助Fourier變換給出各分頻波的初相位和波高，逐個(gè)就分頻波分離計(jì)算，再將結(jié)果線性疊加即得不規(guī)則波反射系數(shù)。

3）Morlet小波變換解析法的貢獻(xiàn)在于解決了非平穩(wěn)波浪入反射波的分離。

4）借鑒頻域分離方法[2]，基于波浪淺水變形理論以及多普勒色散關(guān)系，所有時(shí)域方法也可相應(yīng)拓展到斜坡地形以及水流存在條件時(shí)二維自由波的入反射波分離。

圖4 自由波時(shí)域分離流程