楊雨詩， 安東琦， 倪卓凡， 李 銳

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連 116024)

1 引 言

角點(diǎn)支承的矩形薄板作為一種常見結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)、機(jī)械構(gòu)件和航空航天器等工程實(shí)際。板的屈曲作為典型的力學(xué)失效形式之一，在過去幾十年受到了廣泛關(guān)注，該類問題的解析求解在理論與實(shí)際中都具有重要意義。對于板的線性屈曲問題，核心是在給定的邊界條件下，通過求解高階偏微分控制方程，得到對結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要參考價(jià)值的屈曲載荷和相應(yīng)的屈曲模態(tài)。然而，由于數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，許多問題難以得到同時(shí)滿足高階偏微分方程和邊界條件的解析解?，F(xiàn)有的矩形板的屈曲解析解主要局限于兩對邊簡支的情況，即Lévy型板，而對于角點(diǎn)支承條件下的非對邊簡支的矩形板，絕大部分研究都是基于有限差分法[1]、微分求積法[2]、離散奇異卷積法[3,4]、無網(wǎng)格法[5]和廣義伽遼金法[6]等近似/數(shù)值方法，而關(guān)于解析方法和解析解的報(bào)道較少。

鐘萬勰院士[7-9]將辛數(shù)學(xué)思想引入彈性力學(xué)中，為彈性力學(xué)求解開辟了新思路，由此產(chǎn)生的辛彈性力學(xué)方法已在結(jié)構(gòu)皺褶[10]、斷裂[11]和彈性波[12]等眾多領(lǐng)域中得到了充分的應(yīng)用。在辛彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，李銳等[13-17]針對復(fù)雜板殼力學(xué)問題提出了一種新的解析方法，即辛疊加方法，獲得了若干板殼結(jié)構(gòu)彎曲、振動(dòng)和屈曲問題的新解析解。辛疊加方法的基本思想是將待解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)可由辛數(shù)學(xué)法求解的子問題的疊加。該方法的求解過程是在基于辛空間的哈密頓體系中進(jìn)行，而不是在傳統(tǒng)的基于歐幾里德空間的拉格朗日體系中進(jìn)行；解析解是通過直接的嚴(yán)格推導(dǎo)得到，不需要對解的形式做任何假定，這是經(jīng)典的半逆方法難以做到的；同時(shí)，該方法規(guī)避了單純采用辛數(shù)學(xué)方法出現(xiàn)的本征方程難以解析求解等瓶頸，在解析求解含有復(fù)雜邊界的板殼振動(dòng)和屈曲問題中具有獨(dú)特優(yōu)勢。

本文首次采用辛疊加方法解析求解四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板的屈曲問題——由于邊界條件的復(fù)雜性，此類問題是各類邊界條件下矩形薄板問題中最難求解的情況之一。給出了不同長寬比和不同載荷比情況下四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的算例，結(jié)果表明，無論是屈曲載荷還是相應(yīng)的屈曲模態(tài)，本文方法得到的結(jié)果均與精細(xì)有限元分析結(jié)果吻合很好，從而證明了本文方法以及所得解析解的正確性。

2 矩形薄板屈曲問題的Hamilton體系控制方程與本征問題

利用Hellinger-Reissner兩類變量的變分原理，并結(jié)合拉格朗日乘子法[18]，在區(qū)域Ω內(nèi)可以由變分原理(1)描述薄板的屈曲問題[19]，

(1)

通過對獨(dú)立變量w，θ，T和My進(jìn)行變分，由δΠH=0可得

(2)

式(2)可表示為

(3)

(4)

(5，6)

(7)

展開得

(8)

解得

λ1，2=±a1i,λ3，4=±a2i

(9)

由式(9)得式(6)的w(x)的本征解為

w(x)=Acos(a1x)+Bsin(a1x)+

Ccos(a2x)+Fsin(a2x)

(10)

式中A，B，C和F為常數(shù)。

3 四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的辛疊加解析解

為求解四角點(diǎn)支承四邊自由薄板的屈曲問題(原問題)，需要通過辛方法先求解出基本子問題的解析解，再通過疊加法尋求原問題的解析解。圖1為辛疊加圖解，坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于板的一角，板的長度為a，寬度為b，坐標(biāo)軸ox和oy分別與板的左邊和上邊重合，如圖1(a)所示。原問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)子問題的疊加，分別如圖1(b，c)所示，其中P為角點(diǎn)支承，F(xiàn)表示自由，S表示簡支。

圖1 辛疊加

原問題的邊界條件為在四個(gè)角點(diǎn)上滿足點(diǎn)支承條件，即

w|(0,0), (0,b),(a,0),(a,b)=0

(11)

在四條邊上，滿足自由邊界條件，即

Vy|y =0,b=0,My|y = 0,b=0

Vx|x = 0,a=0,Mx|x = 0,a=0

(12)

兩個(gè)子問題中板的初始邊界條件均為四邊簡支，滿足邊界條件：

w|y = 0,b=0,My|y = 0,b=0

w|x = 0,a=0,Mx|x = 0,a=0

(13)

先以圖1(b)表示的子問題(1)為例進(jìn)行求解。對于x=0和x=a邊簡支的矩形薄板，其在該兩邊的邊界條件要求：

w(x)|x = 0,a=w″(x)|x = 0,a=0

(14)

將式(10)代入式(14)，板發(fā)生屈曲要求常數(shù)A,B,C和F不全為0，即要求式(14)方程組存在非零解，因此要求上述方程組的系數(shù)矩陣行列式為0，即可得

sin(aa1)sin(aa2)=0

(15)

其根為

a1,2=±m(xù)π/a

(16)

式中m=1,2,3,…。于是可以解得本征值為

(17)

本征向量為

(18)

(19)

式中Cm i(m=1,2,3,…;i=1,2,3,4)為待定常數(shù)，可以根據(jù)y方向的邊界條件確定。原問題拆分成子問題后，需在子問題(1)的y方向強(qiáng)加位移，對應(yīng)的邊界條件為

(20)

將式(19)代入式(20)，即可確定子問題(1)的模態(tài)位移表達(dá)式為

(21)

對于圖1(c)表示的子問題(2)，求解過程與子問題(1)類似，對應(yīng)的板的模態(tài)位移為

(22)

通過上述推導(dǎo)，得到了兩個(gè)子問題的模態(tài)位移解，其他各物理量，如彎矩和轉(zhuǎn)角等都可以相應(yīng)地導(dǎo)出。待定參數(shù)Em,Fm,Gn和Hn需根據(jù)子問題的疊加與原問題的等價(jià)性確定。根據(jù)四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板的邊界條件，要求四個(gè)角點(diǎn)上的位移為0，子問題疊加后，無論待定參數(shù)Em,Fm,Gn和Hn取何值，角點(diǎn)位移為0的條件均已滿足；要求沿y=0,y=b,x=0和x=a四條自由邊，均滿足彎矩和等效剪力為0。子問題疊加后，彎矩為0的條件已經(jīng)滿足，只需再滿足等效剪力邊界條件即可。

(23)

(24)

(25)

(26)

式(23～26)為無窮聯(lián)立方程，實(shí)際取有限項(xiàng)，如取m=1,2,3,…,nt,n=1,2,3,…,nt。板發(fā)生屈曲要求待定系數(shù)Em,Fm,Gn和Hn不全為0，即要求式(23～26)組成的聯(lián)立方程存在非零解，因此要求上述方程組的系數(shù)矩陣行列式為0，從而給出關(guān)于屈曲載荷的方程，求解即得到屈曲載荷解。確定屈曲載荷后，即可得到上述方程組的非零解，一并代回式(21,22)并求和，即得到對應(yīng)的屈曲模態(tài)。

4 算 例

表1和表2給出了四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板屈曲載荷的收斂性結(jié)果。結(jié)果表明，對于當(dāng)前問題，只需取nt=35,即可使所有計(jì)算結(jié)果均收斂到五位有效數(shù)字的精度，因此在實(shí)際計(jì)算中取nt=35。表3和表4分別給出了長寬比為1和2的四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板的屈曲載荷，其中載荷比從0至5取整數(shù)，泊松比取0.3。通過與精細(xì)有限元分析(采用ABAQUS軟件中S4R單元，單元尺寸0.005a)獲得的收斂結(jié)果對比可見，所有當(dāng)前結(jié)果均與有限元結(jié)果吻合得很好。表5給出了b/a=1,Nx/Ny=1時(shí)四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板的前十階屈曲模態(tài)，對比發(fā)現(xiàn)，辛疊加方法也能精確求出屈曲模態(tài)。上述算例充分證實(shí)了本文求解方法的正確性和所得解析結(jié)果的精確性。

表1 b/a=1,Nx/Ny=0時(shí)板的前十階屈曲載荷收斂性結(jié)果Tab.1 Convergence study for the first ten buckling the plates under Nx/Ny=0,with b/a=1

表2 b/a=2,Nx/Ny=5時(shí)板的前十階屈曲載荷收斂性結(jié)果Tab.2 Convergence study for the first ten buckling the plates under Nx/Ny=5,with b/a=2

表3 b/a=1時(shí)不同Nx/Ny下板的前十階屈曲載荷Tab.3 First ten buckling the plates under different Nx/Ny,with b/a=1

表4 b/a=2時(shí)不同Nx/Ny下板的前十階屈曲載荷Tab.4 First ten buckling the plates under different Nx/Ny,with b/a=2

表5 b/a=1,Nx/Ny=1時(shí)板的前十階屈曲模態(tài)Tab.5 First ten buckling mode shapes of the plates under Nx/Ny=1 and b/a=1

5 結(jié) 論

本文采用辛疊加方法得到了單向和雙向面內(nèi)載荷作用下,四角點(diǎn)支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的新解析解。給出了不同長寬比和不同載荷比情況下板的屈曲載荷和屈曲模態(tài)的綜合結(jié)果，可為其他各類近似/數(shù)值方法提供對比和檢驗(yàn)的基準(zhǔn)。由于辛疊加方法對解的形式不做任何假定，自始至終都是嚴(yán)格的解析推導(dǎo)，因此有望進(jìn)一步推廣，得到更多復(fù)雜板殼問題的新解析解。