趙甜甜 李 鋒

（江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院 鎮(zhèn)江 212003）

1 引言

光柵投影測(cè)量是三維測(cè)量方法的一個(gè)重要分支，因其具有非接觸、低成本和高精度等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在光學(xué)三維測(cè)量領(lǐng)域［1～3］。由此方法得到的相位是立體匹配的一個(gè)特征［4］，結(jié)合系統(tǒng)標(biāo)定參數(shù)，再根據(jù)三角法進(jìn)行計(jì)算就可以得到被測(cè)物體三維信息。該方法的關(guān)鍵問題之一就是如何正確地獲取待測(cè)物體的相位。目前最常用的測(cè)量相位的方法就是相移法，該方法具有較高的測(cè)量精度，但是相位被包裹在一個(gè)周期內(nèi)，在整個(gè)測(cè)量空間呈鋸齒狀分布，必需將包裹相位展開。目前，相位解包裹技術(shù)主要有兩種［5～6］，一是空間解包裹技術(shù)，二是多頻解包裹技術(shù)。

空間相位解包裹只需要一幅包裹相位圖，但是只有在理想情況下（被測(cè)物體輪廓簡(jiǎn)單，信噪比足夠高）才能正確地獲得絕對(duì)相位圖。多頻相位解包裹是假設(shè)在時(shí)間一致的條件下，通過向被測(cè)物體表面投影一系列不同的光柵條紋，然后對(duì)相機(jī)拍攝到的編碼圖案解包裹確定絕對(duì)相位值。其典型的方法有小數(shù)重合法、時(shí)間解包裹法、外差法和基于中國(guó)剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）的方法。因解包裹相位的實(shí)質(zhì)為求解編碼點(diǎn)的像素坐標(biāo)對(duì)不同頻率的包裹相位和頻率構(gòu)成的同余方程組的問題。而中國(guó)剩余定理根據(jù)系列模數(shù)和對(duì)應(yīng)的剩余，采用簡(jiǎn)單的運(yùn)算獲得被除數(shù)，是求解同余方程組的有效方法，且可以實(shí)現(xiàn)最大范圍解包裹，計(jì)算效率高。因而，基于中國(guó)剩余定理解包裹相位的方法吸引了國(guó)內(nèi)與國(guó)外專家的普遍關(guān)注與研究。

Cushov［7］等初次將中國(guó)剩余定理應(yīng)用于光學(xué)干涉儀相位輪廓測(cè)量，計(jì)算絕對(duì)相位存在偏差。Takeda［8］等 對(duì)Gerohbery-Saxton 算 法 做 出 了 改 進(jìn)，提出了自適應(yīng)高度偏移聯(lián)合誤差校正查找表修正較大偏差的方法。Zhong［9］等采用比值為無理數(shù)的兩個(gè)頻率在一定范疇內(nèi)獲得所有折疊整數(shù)的同余結(jié)果，并保留誤差值，根據(jù)閾值進(jìn)行選擇符合條件的折疊整數(shù)作為最優(yōu)結(jié)果。Towers［10］等假設(shè)在相位誤差存在上、下限的條件下，遍歷搜索絕對(duì)相位誤差，根據(jù)測(cè)量范圍約束確定最優(yōu)結(jié)果。Xia［11］等提出了健壯中國(guó)剩余定理，但是該方法需要進(jìn)行二維搜索，增大了計(jì)算成本。Wang［12］等在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將該定理從整數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域，可以進(jìn)行封閉式求解。張旭［13］等通過分析亮度噪聲對(duì)包裹相位的影響，提出了選頻準(zhǔn)則。文獻(xiàn)［14］提出了基于CRT 選頻準(zhǔn)則的微相位測(cè)量輪廓術(shù)。于曉洋［15］等提出了一種CRT 工程化求解方法。但是存在抗干擾能力差，測(cè)量誤差比較大的缺點(diǎn)。而且測(cè)量范圍只適用于?；ベ|(zhì)和模存在最大公約數(shù)不為1 的情況，并沒有對(duì)模非互質(zhì)又不存在公約數(shù)的情況進(jìn)行求解和分析。

因此，為了解決上述現(xiàn)有關(guān)于中國(guó)剩余定理解包裹存在的問題，本文提出了一種改進(jìn)的中國(guó)剩余定理工程化求解方法。首先，本文采用標(biāo)準(zhǔn)四步相移的方法獲取包裹相位，降低了包裹相位中存在的誤差，提高了測(cè)量精度。其次，通過采用合并方程組的思想求解同余方程組，此方法既能計(jì)算模非互質(zhì)又不存在公約數(shù)的情況，又能計(jì)算?；ベ|(zhì)和模存在最大公約數(shù)非互質(zhì)的情況，擴(kuò)大了中國(guó)剩余定理解包裹的應(yīng)用范圍，同時(shí)提高了測(cè)量速度，增強(qiáng)了抗干擾能力。

2 基于改進(jìn)的CRT相位求解

本文采用標(biāo)準(zhǔn)四步相移作為獲取包裹相位的方法，其波動(dòng)范圍為［0，2 π］，需要進(jìn)行相位解包裹。從標(biāo)準(zhǔn)四步相移計(jì)算包裹相位的計(jì)算公式中，可以看出其具有消除背景光照和常數(shù)項(xiàng)影響的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)投影儀的非線性起到抑制作用，減小了系統(tǒng)誤差，具有測(cè)量精度高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。

2.1 中國(guó)剩余定理原理

設(shè)np、ri、pi為整數(shù)，i=1，2，…，k ；令ri為np對(duì)模數(shù)pi取余后的余數(shù)。當(dāng)各pi之間不一定互質(zhì)時(shí)，采用合并方程的思想進(jìn)行求解同余方程組。設(shè)k1、k2、…、ki為整數(shù)，滿足：

首先，合并公式np=r1+k1p1，np=r2+k2p2整理化簡(jiǎn)得：

顯然，要想有解，必須gcd(p1，p2)|(r2-r1)。令gcd(p1，p2)=d ，r2-r1=C ，則有

依次類推迭代下去，最終求得k 個(gè)方程的最小正數(shù)解np為r%p。

實(shí)際求解絕對(duì)相位時(shí)，包裹相位和絕對(duì)坐標(biāo)值都不是整數(shù)，而是實(shí)數(shù)。因此需要將CRT應(yīng)用范圍從整數(shù)域擴(kuò)充到實(shí)數(shù)域。首先，對(duì)輸入的模數(shù)pi即編碼周期進(jìn)行分析，設(shè)最大公約數(shù)為d ，當(dāng)pi兩兩互質(zhì)時(shí)，d=1；當(dāng)pi存在最大公約數(shù)不為1 時(shí)，d= gcd (pi，pj)≠1(1 ≤i≠j≤k) ；排除上述兩種情況，d=1。其次，設(shè)ri、np為實(shí)數(shù)，ri為余數(shù)即包裹相位，np為絕對(duì)坐標(biāo)值。ri可以分解為riod+ric，其中rio為整數(shù)、0 ≤ric＜d。在理想情況下，即ri沒有誤差，所有的ri都是相等的，則riod也是相等的，ric相等，記為rac。有：

式中：rounddown()代表向下取整。最后，將rio代入式（1）替換余數(shù)ri，通過合并方程的方式求解出整數(shù)解np，與riod對(duì)應(yīng)的整數(shù)解為npd。因?yàn)閞i比riod大了rac，令rc=rac/d，0 ≤rc＜1。所以中國(guó)剩余定理的實(shí)數(shù)解為

通過式（1）～（9），將CRT 應(yīng)用范圍推廣到對(duì)模數(shù)沒有任何要求的情況，并且在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)對(duì)同余方程組進(jìn)行求解。

2.2 小數(shù)差判據(jù)

實(shí)際工程中，設(shè)ri為包裹相位，其存在誤差不相同，需要考慮CRT求解的準(zhǔn)確性問題。

定義包裹相位ri的誤差為|，如果，則rio會(huì)偏離原位置，只要不全部相等，必然會(huì)導(dǎo)致np求解失敗。因此，，是求解正確的前提。設(shè)變換后的包裹相位誤差和包裹相位分別為，即：r?i的整數(shù)部分為bio，小數(shù)部分為bi，則

根據(jù)ei和rc的不同情況，r?i=bio+bi有三種情況：1）當(dāng)0 ≤ei+rc＜1 時(shí)，bio=rio，bc=ei+rc；2）當(dāng)1 ≤ei+rc＜2 時(shí)，bio=rio+1 ，bi=ei+rc-1 ；3）當(dāng)-1 ＜ei+rc＜0 時(shí)，bio=rio-1，bi=ei+rc+1。分析每種情況，bi都是(ei+rc)和整數(shù)的和，則包裹相位小數(shù)部分之差?bij=bi-bj(1 ≤i≠j≤k)為包裹相位誤差之差(ei-ej)與整數(shù)的和，所以?bij可以描繪出包裹相位誤差之間的差異。bi、bj與分別對(duì)應(yīng)，且分別有三種情況，所以?bij=bi-bj有九種組合：（1）和都屬于1），?bij=ei-ej；（2）和都屬于2），?bij=ei-ej；（3）和都屬于3），?bij=ei-ej；（4）屬于1），屬于（2），?bij=ei-ej-1 ；（5）屬 于1），屬 于3），?bij=ei-ej-1 ；（6）屬 于2），屬 于1），?bij=ei-ej-1 ；（7）屬 于 2），屬 于 3），?bij=ei-ej-2 ；（8）屬 于3），屬 于1），?bij=ei-ej+1 ；（9）屬 于3），屬 于2），?bij=ei-ej+2。

第一類情況I，包含組合（1）、（2）和（3），為

第二類情況II，包含組合（4）、（5）、（6）和（8），為

第三類情況III，包含組合（7）和（9），為

可以看出-2γ＜1-2γ＜2-2γ、2γ＜1+2γ＜2+2γ，通過限定γ使式（17）成立。

這樣可以通過| ?bij|來區(qū) 分I、II 和III，求得γ＜0.25 ，即 |ei|＜0.25 。又 因 為0 ≤bi＜1 ，所 以0 ≤| ?bij|＜1，而2-2γ＞1，所以Z 類情況不存在。即：

根據(jù)式（10）可得，當(dāng)編碼周期存在最大公約數(shù)d時(shí)，包裹相位誤差限定為。

2.3 取整方式

根據(jù)式（18），可以看出實(shí)數(shù)解的誤差為(Ei+Ej)/2，小于誤差 |Ei|和 |Ej|之間的最大值。同理，對(duì)其余兩種情況進(jìn)行分析也是滿足上述結(jié)論的。

i 帶入求得第i個(gè)模數(shù)pi的實(shí)數(shù)解==(np+1)d+ (rc+ei-1)d=npd+(rc+ei)d，同理，+=npd+(rc+ej)d。在根據(jù)式（18）獲得最終實(shí)數(shù)解=()/2 =npd+rcd+(Ei+Ej)/2，誤差仍然為(Ei+Ej)/2。同理，求解其余三種情況，得到如下結(jié)論：當(dāng)0.5 ＜1，對(duì)包裹相位進(jìn)行四舍五入取整，可以正確求取實(shí)數(shù)解，不存在求解失敗的現(xiàn)象，其誤差為(Ei+Ej)/2。

當(dāng)存在k個(gè)模數(shù)時(shí)：首先判斷所有小數(shù)部分的差值，如果所有的最大值小于 0.5 ，則 對(duì) 所 有r?i進(jìn) 行 向 下 取 整，即rounddown(r?i)，將其作為余數(shù)測(cè)量值整數(shù)按照前面所述的過程進(jìn)行計(jì)算，得到的實(shí)數(shù)解誤差為如果所有的最大值大于0.5，則對(duì)所有進(jìn)行四舍五入取整，即round(r?i)，獲得的實(shí)數(shù)解誤差仍然為

總結(jié)上述分析，使用改進(jìn)的CRT進(jìn)行準(zhǔn)確求解的條件為：當(dāng)包裹相位測(cè)量誤差＜d/4 時(shí)，即＜0.25，如果所有的最大值小于0.5，則所有的rio=rounddown(?)，如果所有中最大值大于0.5，則所有的rio=round(r?i)。將取整結(jié)果帶入式（1），合并方程組進(jìn)行求取整數(shù)解np，根據(jù)式（9）、（18）得到實(shí)數(shù)解，其誤差為

2.4 改進(jìn)CRT算法步驟

本文改進(jìn)的CRT 工程化算法可以分為以下幾步。

步驟1：計(jì)算所有變換后包裹相位? 之間的小數(shù)部分之差。步驟2：當(dāng)所有中的最大值小于0.5 時(shí)，將所有包裹相位?向下取整；當(dāng)所有中的最大值大于0.5 時(shí)，對(duì)所有的包裹相位? 采用四舍五入的方式進(jìn)行取整。

步驟3：將包裹相位的取整結(jié)果帶入式（1），采用合并方程組的思想，求取絕對(duì)坐標(biāo)整數(shù)解。

步驟4：令rc為包裹相位與其取整結(jié)果之差，根據(jù)式（10）求解獲得第i個(gè)模數(shù)pi的實(shí)數(shù)解。

步驟5：利用式（18）解得同余方程組的實(shí)數(shù)解，即編碼圖案絕對(duì)坐標(biāo)值。

本文CRT 求解算法既可以求解模數(shù)非互質(zhì)的情況，也可以求解互質(zhì)的情況，具有解析求解、運(yùn)算簡(jiǎn)單、求解快的優(yōu)點(diǎn)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真分析

為了驗(yàn)證本文方法的可行性，選取三個(gè)周期T1=13，T2=15，T3=18，最大展開范圍為1170pix?el。在Matlab2017a 中采用標(biāo)準(zhǔn)四步余弦相移的方法產(chǎn)生條紋圖形，大小為1024pixel×768pixel，并在上面分別添加高斯分布隨機(jī)噪聲，計(jì)算得到三個(gè)不同周期下的包裹相位a1，a2，a3。根據(jù)包裹相位ai和周期Ti，采用本文方法獲取編碼圖案絕對(duì)坐標(biāo)。

表1 不同方差高斯隨機(jī)噪聲下的相位解包裹結(jié)果

表1 為對(duì)條紋圖形歸一化后，分別加入不同方差的高斯隨機(jī)噪聲誤差，與未加入噪聲誤差的條紋圖形求取編碼圖案絕對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行比較。為進(jìn)一步證明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效性，本文對(duì)無噪聲的條紋圖形進(jìn)行30 次求解取其平均值帶入計(jì)算，同樣對(duì)加入不同方差的隨機(jī)噪聲得到的條紋圖形進(jìn)行30 次求解取平均值。從表1 中可以看出，在隨機(jī)噪聲方差不大于0.25 時(shí)，最大相位誤差不大于12.75%，平均相對(duì)誤差最大為0.08%，從而看出使用本文方法求解出絕對(duì)坐標(biāo)值的精確度較高，抗干擾能力強(qiáng)，驗(yàn)證了本文方法在求解周期即不互質(zhì)也不存在最大公約數(shù)不為1 情況下的可行性。但當(dāng)隨機(jī)噪聲方差大于0.25時(shí)，求解平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差急劇增大，求解得到的絕對(duì)坐標(biāo)值精確度大幅降低，出現(xiàn)絕對(duì)坐標(biāo)值的跳變。當(dāng)隨機(jī)高斯噪聲方差為0.25 時(shí)，對(duì)模擬包裹相位進(jìn)行求解，其結(jié)果如圖1（a）為求解得到的絕對(duì)坐標(biāo)面型圖，（b）為選取第600 行的絕對(duì)坐標(biāo)圖。從圖1 中可以看出，存在較大隨機(jī)噪聲時(shí)，使用本文方法依然能精確地對(duì)包裹相位進(jìn)行展開。從理論上驗(yàn)證了本文方法在求解非互質(zhì)周期且最大公約數(shù)不為1的可行性。

圖1 相位展開結(jié)果

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性，構(gòu)建了一套由EPSONEB-C760X 投影儀（分辨率為1024pixel×76 8pixel）、單個(gè)AVT相機(jī)Manta G-125（分辨率為1292pixel×964pixel）和一臺(tái)個(gè)人電腦組成的結(jié)構(gòu)光測(cè)量系統(tǒng)（Windows7，Matlab2017a），如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)光測(cè)量系統(tǒng)

采用搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，向標(biāo)準(zhǔn)白板投射周期為13、15、18 的光柵圖像，采用本文算法得到絕對(duì)相位，從而對(duì)該平面進(jìn)行三維重建，重構(gòu)出來的平面表面光滑，點(diǎn)云分布均勻。對(duì)其進(jìn)行平面擬合，得到結(jié)果的最大絕對(duì)偏差為1.96mm，平均絕對(duì)偏差為0.546mm。

圖3 鼠標(biāo)及其相位展開結(jié)果

對(duì)圖3（a）中的鼠標(biāo)進(jìn)行測(cè)量。本文算法與多頻外差法、基于CRT的三步梯形相移法［16］進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在相同環(huán)境下，直接對(duì)獲取的產(chǎn)生畸變的條紋圖案進(jìn)行求解包裹相位。圖3（b）、（c）、（d）分別為采用三種方法獲得的絕對(duì)相位圖。圖3 表明，多頻外差法和基于CRT 的三步梯形相移法抗噪聲能力差，解析得到的絕對(duì)相位圖上出現(xiàn)明顯的噪點(diǎn)，輪廓不清晰，且對(duì)系統(tǒng)的非線性抑制能力弱。而本文方法求解出來的絕對(duì)相位，表面光滑，物體輪廓清晰，除去由物體陰影部分產(chǎn)生的誤差，表面沒有噪點(diǎn)。本文方法明顯優(yōu)于圖3 中其他方法，具有抗干擾能力強(qiáng)，求解精度高的優(yōu)點(diǎn)。圖4 為使用本文方法得到的三維測(cè)量結(jié)果。

圖4 鼠標(biāo)測(cè)量結(jié)果

表2 給出了本文方法與多頻外差法、基于CRT的三步梯形相移法相位解包裹所用的平均時(shí)間，可以看出本文方法在測(cè)量時(shí)間上也是優(yōu)于其他方法的。

表2 不同方法的相位解包裹時(shí)間

4 結(jié)語

現(xiàn)有的基于CRT 相位解包裹方法對(duì)輸入的包裹相位誤差非常敏感，且不能對(duì)非互質(zhì)頻率的包裹相位進(jìn)行求解。由于對(duì)包裹相位誤差敏感，本文采用標(biāo)準(zhǔn)四步相移法獲取包裹相位，減小了系統(tǒng)誤差，增加了抗干擾能力。通過包裹相位測(cè)量值的小數(shù)差選擇取整方式，并在計(jì)算整數(shù)解時(shí)采用合并方程組的思想。本方法無需限定輸入頻率，從而擴(kuò)展了中國(guó)剩余定理解包裹相位應(yīng)用范圍。仿真和實(shí)驗(yàn)以及對(duì)比分析結(jié)果表明，本文方法運(yùn)算簡(jiǎn)單，求解速度快，同時(shí)抗干擾能力強(qiáng)，求解精確度高。但是該方法限定了包裹相位測(cè)量誤差，對(duì)包裹相位誤差大時(shí)要采用其他措施