高 強，吳艷紅，欒金擇，李京霖

（航天科工空間工程發(fā)展有限公司，北京100854）

0 引言

在飛行器研制過程中，常通過正弦掃頻振動試驗來考核飛行器結(jié)構(gòu)在低頻段的性能[1]，亦可根據(jù)振動試驗的結(jié)構(gòu)響應數(shù)據(jù)得到結(jié)構(gòu)主模態(tài)信息（共振頻率、放大系數(shù)等）[2-3]并進行有限元模型修正。

在正弦掃頻振動中，激勵頻率隨時間變化，因此正弦掃頻振動為非穩(wěn)態(tài)振動，結(jié)構(gòu)響應與穩(wěn)態(tài)振動響應間存在差異，具體表現(xiàn)為：峰值減小，正向掃頻激勵下峰值頻率右移（逆向掃頻激勵下峰值頻率左移）、共振峰形狀扭曲，且掃頻速率越高，上述特征越明顯[4-8]。因此直接使用正弦掃頻振動試驗數(shù)據(jù)進行有限元模型修正會引入新的誤差。文獻[4-8]對正弦掃頻激勵下的掃頻響應特性進行了分析，但未得出明確的掃頻響應特性與掃頻速率間關(guān)系式，且未對多自由度系統(tǒng)的掃頻特性進行研究。

本文使用數(shù)值積分方法研究單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵下的響應特性，推導了一個量綱為1的掃頻參數(shù)η，得到了結(jié)構(gòu)的響應特性與η的關(guān)系式；在掃頻參數(shù)η相同，其他參數(shù)不同的情況下，系統(tǒng)響應特性一致。最后通過簡易衛(wèi)星模型證明，上述關(guān)系式亦可適用于多自由度系統(tǒng)在低階模態(tài)處的掃頻響應分析。

1 正弦掃頻激勵下的響應求解

1.1 單自由度系統(tǒng)

圖1 單自由度系統(tǒng)Fig.1 Single-DOFsystem

當系統(tǒng)受到圓頻率為ω的位移激勵uj時，系統(tǒng)的動力學方程為

式中ui為系統(tǒng)的絕對位移。ui與uj的關(guān)系為

1.2 線性掃頻激勵和對數(shù)掃頻激勵

線性掃頻和對數(shù)掃頻是實際應用中常用的正弦掃頻方式。在線性掃頻中，基礎(chǔ)激勵的頻率變化率為Rlinear，Hz/m in；在對數(shù)掃頻中，基礎(chǔ)激勵的頻率變化率為Rexp，oct/m in。正向掃頻（由低到高掃頻，下同）時，頻率變化率為正數(shù)；逆向掃頻（由高到低掃頻，下同）時，頻率變化率為負數(shù)。設(shè)掃頻信號的初始頻率為fstart，則線性掃頻和對數(shù)掃頻的頻率分別為：

1.3 求解正弦掃頻激勵下系統(tǒng)的響應

將uj的表達式（式(7)或式(8)）代入系統(tǒng)的動力學方程（式(1)），即可求解得到系統(tǒng)響應ui。由于uj為非簡諧振動，所以上述方程很難得到理論解。Cronin[9]使用泰勒級數(shù)、傅里葉展開、固定相位法和“鞍點”法等多種方法，推導了正弦掃頻激勵下單自由度系統(tǒng)響應的近似公式。但該近似公式只適用于阻尼比很?。ㄐ∮?.01）、掃頻速率很慢的情況，不適合進行系統(tǒng)振動響應特性研究。

本文使用Duhamel 數(shù)值積分方法求解單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵下的響應。為消除初始狀態(tài)對共振峰處響應的影響，仿真時定義掃頻初始頻率fstart=f0/4（正向掃頻）或fstart=4f0（逆向掃頻）。

針對f0=20 Hz、?0=0.02的單自由度系統(tǒng)，分別進行正向（Rexp=2 oct/m in、4 oct/m in）、逆向（Rexp=-2 oct/min、-4 oct/m in）掃頻激勵下的系統(tǒng)響應計算，結(jié)果如圖2和圖3所示。圖2為正向掃頻（Rexp=4 oct/min）時，系統(tǒng)響應與激勵頻率（頻率隨時間變化）的關(guān)系；圖3為不同掃頻速率下的非穩(wěn)態(tài)振動與穩(wěn)態(tài)振動（Rexp=0）下系統(tǒng)響應的對比。

圖2 正向掃頻（R exp=4 oct/m in）時系統(tǒng)響應與頻率關(guān)系Fig.2 Response of positive exponential sweep excitation(R exp=4 oct/min)

圖3 非穩(wěn)態(tài)與穩(wěn)態(tài)振動下的系統(tǒng)響應對比Fig.3 The difference between transient response and steady response at several sweep rates

由圖3可知，在正向和逆向掃頻激勵下，系統(tǒng)響應峰值減小，且共振峰形狀扭曲，半功率帶寬增大；正向掃頻下，峰值頻率增加（右移），大于共振頻率fmax；逆向掃頻下，峰值頻率減?。ㄗ笠疲∮诠舱耦l率fmax；掃頻速率越高，上述特征越明顯。另外，在圖2中，在響應峰值之后，又出現(xiàn)了一個小的峰值，這是由“拍”振動引起的。此處振動由兩部分疊加而成，一部分是系統(tǒng)以共振峰處的振動狀態(tài)為初始條件作有阻尼自由振動，另一部分是系統(tǒng)在該“拍”振動頻率處作受迫振動，兩部分振動的頻率相近，疊加形成了“拍”振動現(xiàn)象。

2 掃頻速率對系統(tǒng)響應影響的定量分析

2.1 共振響應特性

對于f0=20 Hz、?0=0.05的單自由度系統(tǒng)，其靜止初始條件下的共振響應曲線如圖4(a)所示。由圖可知，系統(tǒng)的響應Amp(t)是隨著時間逐漸增大的，經(jīng)過大約15個循環(huán)之后才達到穩(wěn)態(tài)最大值A(chǔ)mpmax（≈10）。若系統(tǒng)不是從靜止狀態(tài)開始（不失一般性，可假定系統(tǒng)初始速度為0，但初始位移與激勵的位移幅值之比為αAmpmax，其中α∈(-1,1)），則系統(tǒng)的響應為

令α=-0.8，系統(tǒng)的共振響應曲線如圖4(b)所示。由圖可知，系統(tǒng)經(jīng)過大約9個循環(huán)之后即可達到穩(wěn)態(tài)響應。文獻[10]指出，系統(tǒng)阻尼比?0越小，則響應趨于穩(wěn)定所需的循環(huán)周數(shù)就越多。因此在正弦掃頻振動中，由于激勵頻率隨時間變化，掃頻激勵在系統(tǒng)共振頻率處停留的時間很短、循環(huán)次數(shù)較少，以致系統(tǒng)響應峰值達不到穩(wěn)態(tài)最大值A(chǔ)mpmax。

圖4 靜止和非靜止初始條件下的系統(tǒng)共振響應曲線Fig.4 Resonance response curve under static (a)and nonstatic(b)initial conditions

2.2 量綱為1的掃頻參數(shù)

由式(11)可知，當激勵頻率等于系統(tǒng)共振頻率時，系統(tǒng)響應Amp(t)的值與?0ωt有關(guān)。將?0ωt改寫為

圖5 共振頻帶Fig.5 Resonance bandw idth

對于任何一種既定的正弦掃頻模式，β0是確定的，但式(13)中的Δf未定，因此Nr和η無法確定。為此，在系統(tǒng)阻尼比?0較小的情況下，可令圖5中的f1和f2分別為系統(tǒng)半功率帶寬的上、下限，則有：

式(15)適用的前提條件是系統(tǒng)阻尼?0較小、半功率帶寬Δf與品質(zhì)因子Q的關(guān)系式Δf=?0/Q成立、掃頻函數(shù)f(t)在半功率帶寬內(nèi)單調(diào)遞增（或遞減）且β0≠0。式(16)中的Nr為系統(tǒng)在半功率帶寬內(nèi)的循環(huán)次數(shù)。此時，對于既定的系統(tǒng)和掃頻模式，掃頻參數(shù)η便可確定。

線性掃頻和對數(shù)掃頻下，η的表達式分別為：

應用MatLab軟件對線性和對數(shù)掃頻下系統(tǒng)的響應特性進行仿真計算。假定系統(tǒng)在掃頻激勵下的響應最大值為Alinear-max和Aexp-max；η相同但其他參數(shù)不同的情況下，Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax的對比結(jié)果詳見表1。由表1可知，在掃頻參數(shù)η相同、其他參數(shù)不同的情況下，線性和對數(shù)掃頻的響應幅值（Alinear-max/Ampmax和Aexp-max/Ampmax）基本是一致的；正向掃頻和逆向掃頻的響應幅值有微小差異，逆向掃頻的結(jié)果比正向掃頻的大1%～2%；對于正向?qū)?shù)掃頻，當Q值（即Rexp/f0的值）相同時，系統(tǒng)響應幅值完全一致；當Q值較小、掃頻速率較大（Q=5、Rexp/f0=8）時，響應幅值略有偏差，這是由于?0=0.1時式(4)的近似關(guān)系存在誤差，且掃頻速率遠大于系統(tǒng)頻率時，系統(tǒng)響應曲線較稀疏，曲線包絡不能準確得到系統(tǒng)響應的最大值，如圖6所示。

表1 掃頻參數(shù)η 相同時的線性掃頻和對數(shù)掃頻對比Table 1 Comparison of several responses for sameη(exponential and linear)

圖6 掃頻速率遠大于系統(tǒng)頻率時的系統(tǒng)響應曲線Fig.6 Response curve for very large sweep rate

2.3 掃頻參數(shù)η 對系統(tǒng)響應的影響分析

由2.2節(jié)可知，在掃頻參數(shù)η相同的情況下系統(tǒng)的響應特性基本一致，但當Rlinear/f02 或Rexp/f0變化時結(jié)果略有差別，因此本文仿真計算了Rlinear/f02或Rexp/f0變化對系統(tǒng)響應的影響。Rlinear/f02（或Rexp/f0）取值為0.001～10時，Q分別取值5、10、25、50、100，且正向和逆向掃頻都進行仿真；同時，計算了η在0.1～1000間變化對系統(tǒng)響應的影響。文獻[4]的研究中令η值在0.1～1000間變化，Rexp/f0恒定為0.1，只改變Q的值。這是不夠全面的，因為Rexp/f0的變化對結(jié)果有一定影響。因此本文分別將Rexp/f0的取值固定為0.05、0.1、0.5、1、2、5、10（Rlinear/f02 的取值固定為0.01、0.1、0.5、1、2、5、10），通過改變Q的值，使η取值在0.1～1000間變化，然后進行正向和逆向掃頻仿真。

圖7、圖8為系統(tǒng)響應與穩(wěn)態(tài)響應的對比關(guān)系：圖7為響應峰值與穩(wěn)態(tài)峰值之比；圖8為掃頻響應的峰值頻率的誤差，該誤差用正則化誤差QΔf/fmax表示，其中Δf=|fexp-fmax|或|flinear-fmax|，fexp和flinear分別為對數(shù)掃頻和線性掃頻時的峰值對應頻率。由圖7、圖8可知：隨著掃頻參數(shù)η增大，系統(tǒng)響應峰值減小、峰值頻率偏差增大，且系統(tǒng)Q值越大，受影響越明顯；正向掃頻和逆向掃頻的結(jié)果差異可以忽略；當引入掃頻參數(shù)η后，誤差曲線基本合為一條曲線；由圖7(b)可知，Rlinear/f02或Rexp/f0取不同值對結(jié)果的影響基本可忽略，4種掃頻類型共28條曲線幾乎重疊。

圖7 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數(shù)η對系統(tǒng)響應峰值的影響Fig.7 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the amplitude

圖8 R linear/f02 或R exp/f0 及掃頻參數(shù)η對共振頻率的影響Fig.8 The influence of R linear/f02(or R exp/f0)and ηon the resonance frequency

擬合曲線見圖7(b)。

圖8(b)中的28 條曲線基本一致，當η超過100時，出現(xiàn)一定偏差，正則化頻率誤差QΔf/fmax與η的關(guān)系為

3 多自由度系統(tǒng)的掃頻響應驗證

文獻[11]對受到線性掃頻激勵的兩自由度系統(tǒng)的響應進行了分析，得出“掃頻速率越慢，系統(tǒng)響應越趨于穩(wěn)定響應”的結(jié)論，但對響應的誤差無定量估算。我們對如圖9所示的簡化衛(wèi)星模型進行對數(shù)正弦掃頻激勵，討論掃頻速率對多自由度結(jié)構(gòu)響應的影響。該簡化模型尺寸為1m×1m×2 m，橫向一階頻率16.4 Hz。在橫向1g的穩(wěn)態(tài)激勵下，頂點最大響應為18.5g（阻尼比取0.03）。對結(jié)構(gòu)底部施加1g的正弦掃頻激勵，掃頻速率分別為4 oct/min、8 oct/m in、16 oct/m in 時，系統(tǒng)響應峰值和峰值頻率如表2所示，表中單自由度模型結(jié)果是將掃頻參數(shù)η代入式(19)、式(20)計算得到的。由表2可知，隨掃頻速率增大，結(jié)構(gòu)響應峰值降低，峰值頻率增大；當掃頻速率為8 oct/m in 時，掃頻響應峰值與穩(wěn)態(tài)響應的相差達11%；單自由度模型的計算結(jié)果與多自由度模型有微小差異，這是由于模態(tài)疊加時，高階模態(tài)對此處的響應也有一定貢獻?？傮w來看，當多自由度系統(tǒng)模態(tài)稀疏且相鄰模態(tài)之間影響較小時，擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8基本適用于多自由度系統(tǒng)低階模態(tài)處的掃頻響應分析。

圖9 簡化衛(wèi)星模型Fig.9 Simplified FEM model of a satellite

表2 多自由度系統(tǒng)的掃頻響應Table2 Responses of a multi-DOFsystem under sine-sweep excitations

4 結(jié)論

本文使用數(shù)值方法，研究了單自由度系統(tǒng)在正弦掃頻激勵下的響應特性；通過單自由度系統(tǒng)的共振響應特性，推導了量綱為1的掃頻參數(shù)η；計算結(jié)果表明，參數(shù)η對單自由度系統(tǒng)的掃頻響應起決定性影響；通過計算得到了掃頻響應峰值、峰值頻率與參數(shù)η的關(guān)系曲線及擬合公式；最后使用簡化衛(wèi)星模型，驗證了參數(shù)η基本適用于多自由度系統(tǒng)的掃頻響應分析。

研究得出結(jié)論如下：

1）在正弦掃頻激勵下，系統(tǒng)最大響應減小、正向掃頻峰值頻率增大（逆向掃頻峰值頻率減?。?，且掃頻速率越高，影響越明顯。

2）線性掃頻和對數(shù)掃頻激勵下，系統(tǒng)響應基本一致；正向掃頻和逆向掃頻激勵下，系統(tǒng)響應有微小差異，最大幅值相差1%～2%。

3）在掃頻參數(shù)η相同，其他參數(shù)不同的情況下，系統(tǒng)響應特性基本一致。

4）對于復雜衛(wèi)星結(jié)構(gòu)（多自由度系統(tǒng)），在低階模態(tài)處、相鄰模態(tài)之間影響較小時，本文基于單自由度系統(tǒng)得到的擬合公式（式(19)、式(20)）以及圖7、圖8可用于預示其掃頻響應特性。

另外，工程試驗人員在正弦振動試驗前，可參考本文研究結(jié)果，根據(jù)試驗要求或者需要特定考核的頻段，設(shè)置合理的掃頻速率，既保證掃頻時間不會太長，又可使試驗結(jié)果達到預期的精度；亦可在正弦振動試驗后，根據(jù)上述公式或圖表，對試驗得到的響應特性數(shù)據(jù)進行一定的修正。對于頻帶較寬的掃頻試驗，建議針對不同頻段分別設(shè)置不同的掃頻參數(shù)，在保證試驗精度的同時節(jié)省試驗時間。例如，對于Q=10、f0=30 Hz 的模態(tài)，Rexp/f0=0.1，即Rexp=3 oct/m in 時，掃頻響應的誤差不足3%；對于Q=10、f0=200Hz 的模態(tài)，Rexp=20 oct/m in 時亦可達到相同的精度。