李書(shū)明，呂 穎

(中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300)

0 引言

高壓壓氣機(jī)在每一單級(jí)盤(pán)轉(zhuǎn)子裝配完成后，同一個(gè)級(jí)別的葉片由于制造誤差在質(zhì)量上會(huì)存在一定的偏差，若隨機(jī)安裝則不可避免地造成單級(jí)輪盤(pán)葉片安裝后的剩余不平衡量較大，造成高壓壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子失穩(wěn)，存在安全隱患。所謂優(yōu)化排序就是考慮葉片旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的質(zhì)量矩的大小，通過(guò)葉片安裝位置的調(diào)整，盡可能地減小安裝之后初始的剩余不平衡量，把單級(jí)葉片質(zhì)量分布的偏心或質(zhì)量矩矢量和絕對(duì)值控制在規(guī)定的許用值范圍內(nèi)。國(guó)內(nèi)工廠進(jìn)行高壓壓氣機(jī)葉片裝配時(shí)，一般采用對(duì)稱安裝法，即測(cè)量完全部葉片質(zhì)量后，按質(zhì)量對(duì)稱分布安裝，但此種安裝方法通常仍然存在較大的剩余不平衡量。窮舉法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等都先后被用于葉片安裝排序的優(yōu)化。窮舉法是尋找最優(yōu)解(精度最高)的簡(jiǎn)單算法，但運(yùn)算量隨葉片數(shù)的增加呈指數(shù)上升，在葉片數(shù)目較大時(shí)沒(méi)有實(shí)用價(jià)值。遺傳算法是一種模擬自然界物種進(jìn)化規(guī)律的算法，非常適合求解非線性問(wèn)題，但在大規(guī)模數(shù)據(jù)測(cè)試下，運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，難以保證現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際工作需要[1]。蟻群算法廣泛應(yīng)用于求解TSP問(wèn)題(Traveling Salesman Problem，旅行商問(wèn)題)、指派問(wèn)題、背包問(wèn)題等，無(wú)需編碼且計(jì)算用時(shí)相對(duì)較短，在組合優(yōu)化問(wèn)題中，蟻群算法的優(yōu)化性能要好于遺傳算法等算法。為了在運(yùn)算精度和運(yùn)算時(shí)間之間獲取一種較好的平衡，同時(shí)滿足現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用中的具體個(gè)案要求，本文擬在對(duì)葉片排序問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模之后應(yīng)用改進(jìn)的蟻群算法完成具體的優(yōu)化過(guò)程。

1 高壓壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子葉片模型

1.1 葉片質(zhì)量矩力學(xué)模型

假設(shè)有一組葉片，葉片數(shù)量為n個(gè)，在輪盤(pán)的n個(gè)榫槽位置上安裝。不同葉片在不同位置上安裝時(shí)，對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)子的不平衡量的改變及影響程度不同,因此如何對(duì)葉片排序使得總的不平衡量小于許用不平衡量本身就是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題[2]。

對(duì)于壓氣機(jī)轉(zhuǎn)子而言，葉片質(zhì)量矩的本質(zhì)就是引起轉(zhuǎn)子偏心的不平衡量，從而產(chǎn)生不平衡力和不平衡力矩。

(1)

1.2 數(shù)學(xué)模型

葉片排序的問(wèn)題屬于指派問(wèn)題，是組合優(yōu)化問(wèn)題中的特殊一類線性規(guī)劃問(wèn)題。將葉片編號(hào)i(i=1,2,3，…)分別安裝在位置p(p=1,2,3，…)上，葉片在此安裝位置上產(chǎn)生的不平衡量為矩陣Cip，Cip為i號(hào)葉片在p位置上，其質(zhì)量在x、y軸上投影分量平方和。問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是如何使得各個(gè)安裝位置上的各個(gè)不平衡量相加，使不平衡量總和達(dá)到最小值[3]。定義葉片安裝到目標(biāo)位置通過(guò)變量Xip表示：

則葉片排序問(wèn)題可以表示為以下數(shù)學(xué)模型：

(2)

其中：Z為整級(jí)不平衡質(zhì)量總和。矩陣Xip的約束條件為：

(3)

此問(wèn)題是NP(Nondeterministic Polynomial，非確定性多項(xiàng)式)問(wèn)題中的一種，用窮舉法可以找到最優(yōu)解，但在數(shù)據(jù)量較大的時(shí)候，用窮舉法所花費(fèi)的時(shí)間在工廠中是不能接受的，因此需要尋求一種相對(duì)高效且準(zhǔn)確的算法，才能滿足實(shí)際應(yīng)用的要求。

2 改進(jìn)的蟻群算法原理及實(shí)現(xiàn)

2.1 算法原理

20世紀(jì)90年代，Dorigo M[4]對(duì)蟻群集體覓食的行為進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)蟻群們能通過(guò)同伴留下的信息來(lái)找到離食物最短的路徑，后將此行為抽象為人工蟻群算法。下面以旅行商問(wèn)題TSP為例說(shuō)明算法的基本框架。

設(shè)有m個(gè)城市，q只螞蟻；啟發(fā)函數(shù)ηij=1/dij，dij為城市i到城市j的距離；τij為t時(shí)刻i和j間的信息量；△τζij為螞蟻ζ訪問(wèn)(i,j)釋放的信息量，初始時(shí)刻τij(0)=c(c為常數(shù))；Pζij(t)為螞蟻ζ由i向j的轉(zhuǎn)移概率[5]，由下式計(jì)算：

(4)

其中：tabuζ為螞蟻ζ已訪問(wèn)的城市集合；α和β為信息量和自啟發(fā)量的重要程度因子。

當(dāng)所有螞蟻完成周游，環(huán)路上的信息素按式(5)進(jìn)行全局更新：

τij(t+1)=(1-ρ)τij+△τij(t).

(5)

其中：△τij為信息素增量；ρ為信息素?fù)]發(fā)因子。

在蟻周系統(tǒng)的模型中：

(6)

其中：Q為信息素強(qiáng)度常數(shù)；Lζ為第ζ只螞蟻完成一次循環(huán)過(guò)程所經(jīng)過(guò)的總路徑長(zhǎng)度。最后計(jì)算每只螞蟻?zhàn)哌^(guò)的路徑長(zhǎng)度，保存最短路徑。

葉片優(yōu)化指派問(wèn)題的本質(zhì)就是葉片和安裝位置的配對(duì)，通過(guò)將安裝位置的序號(hào)固定，將找到最小值變?yōu)檎业阶顑?yōu)安裝序號(hào)的問(wèn)題。這里將矩陣Cij看成是蟻群算法從城市i到城市j間的距離，就可以將TSP問(wèn)題轉(zhuǎn)化成指派問(wèn)題。

2.2 算法改進(jìn)

改進(jìn)的蟻群算法是按葉片的位置序號(hào)從小到大來(lái)確定列坐標(biāo)，改變傳統(tǒng)蟻群算法編碼方式[6]，將原始蟻群算法的城市之間的距離改為效率矩陣Cij，再讓螞蟻能做到逐列搜索，并按照行坐標(biāo)(葉片的編號(hào))找到解。先隨機(jī)給定螞蟻第一列的一個(gè)行坐標(biāo)作為初始解，并將此解納入禁忌表，再搜索第二列得到下個(gè)行標(biāo)，直到搜索完所有列，得到帶有行標(biāo)的一個(gè)序列，也就找到了一個(gè)解。改進(jìn)蟻群算法流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)蟻群算法流程圖

2.3 算法仿真及結(jié)果分析

前文已經(jīng)介紹了高壓壓氣機(jī)的葉片單級(jí)的平衡原理，通常只對(duì)葉片進(jìn)行質(zhì)量的測(cè)量。工廠在葉片的選配上，會(huì)將質(zhì)量差值較大的幾片葉片排除，選取質(zhì)量相近的葉片進(jìn)行配平。以某航空發(fā)動(dòng)機(jī)公司的V2500第4級(jí)葉片38個(gè)質(zhì)量數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證算法的可行性，工廠裝配方案見(jiàn)表1，工廠葉片裝配示意圖見(jiàn)圖2。

表1 V2500第4級(jí)葉片廠商裝配順序

圖2 工廠葉片裝配示意圖

圖2中，經(jīng)廠商軟件計(jì)算后得到的許用靜不平衡質(zhì)量為0.500 g，剩余不平衡質(zhì)量為0.480 g，不平衡量所在位置在圖中黑色箭頭所標(biāo)的位置上，角度為174°(規(guī)定十二點(diǎn)鐘方向?yàn)?°)。

針對(duì)表1中所列出的算例數(shù)據(jù)，通過(guò)使用MATLAB R2016b對(duì)改進(jìn)的蟻群算法編程并進(jìn)行模擬仿真，將計(jì)算的結(jié)果和工廠中所得數(shù)據(jù)的最優(yōu)解進(jìn)行了比較。算法的起始參數(shù)設(shè)置為種群大小popsize=38，α=1，β=5，ρ=0.1，Q=1。

不同的迭代次數(shù)計(jì)算后收斂性與計(jì)算用時(shí)不同，收斂性決定了計(jì)算結(jié)果為最優(yōu)解的可能性。經(jīng)檢驗(yàn)迭代次數(shù)為300時(shí)算法可穩(wěn)定收斂。取迭代次數(shù)為300計(jì)算最優(yōu)解結(jié)果，計(jì)算平均用時(shí)為5.78 s，如圖3所示。

圖3 迭代300次的仿真結(jié)果

根據(jù)廠商提供的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了20次仿真優(yōu)化計(jì)算，得到剩余不平衡質(zhì)量解的分布，如表2所示。

表2 改進(jìn)的蟻群算法20次計(jì)算結(jié)果

實(shí)驗(yàn)最優(yōu)解結(jié)果為0.008 9 g，不平衡質(zhì)量存在的角度為40.439°，不平衡質(zhì)量?jī)H為廠商裝配方案的1.85%。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得知，此優(yōu)化方案結(jié)果明顯優(yōu)于發(fā)動(dòng)機(jī)廠商所提供的裝配方案，且計(jì)算速度較快。優(yōu)化計(jì)算后的最優(yōu)裝配方案如表3所示。

表3 V2500第4級(jí)葉片改進(jìn)蟻群算法裝配順序

3 結(jié)論

利用改進(jìn)的蟻群算法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)高壓壓氣機(jī)的轉(zhuǎn)子葉片進(jìn)行單級(jí)質(zhì)量矩的優(yōu)化排序，可以看出改進(jìn)的蟻群算法能夠很好地應(yīng)用于質(zhì)量?jī)?yōu)化排序問(wèn)題上。使用改進(jìn)的蟻群算法進(jìn)行排序計(jì)算用時(shí)短，因此可以方便地應(yīng)用于工廠的安裝中。同時(shí)，算法計(jì)算的優(yōu)化排序策略可以為廠商在安裝葉片的時(shí)候，提供一種使得轉(zhuǎn)子更為穩(wěn)定的方案。通過(guò)改進(jìn)的蟻群算法優(yōu)化后的V2500壓氣機(jī)葉片，剩余不平衡量減少了98.15%，不平衡量大大減少。