江 柳，李向有，劉靖雯

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

最優(yōu)性條件是數(shù)學(xué)規(guī)劃中重要的研究?jī)?nèi)容，自從Hanson在1981年定義了不變凸函數(shù)后[1],許多學(xué)者推廣了不變凸函數(shù)，并用來(lái)研究不同的規(guī)劃問(wèn)題，得到很多重要結(jié)論。如文獻(xiàn)[2-7]利用不同的不變凸函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性充分條件和對(duì)偶條件。G不變凸函數(shù)[8]是不變凸函數(shù)的一種推廣。ANTCZAK T[9-11]隨后用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)可微規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性條件、對(duì)偶性條件和鞍點(diǎn)理論，得到了許多重要結(jié)論。KANG Y M[12]和HO J K[13]把G不變凸函數(shù)推廣到非可微情形，定義了非可微G不變凸函數(shù)，并且研究了相應(yīng)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。近來(lái)，ANTCZAK T[14]進(jìn)一步把非可微G不變凸函數(shù)推廣到向量情形，定義了非可微(G-V)不變凸函數(shù),并用這類函數(shù)研究了多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性條件,得到相關(guān)結(jié)論。

本文推廣了上述G不變凸函數(shù)，得出了(G-V)不變擬凸函數(shù)、(G-V)不變偽凸函數(shù)，并在該推廣下得到了其多目標(biāo)規(guī)劃的幾個(gè)最優(yōu)性充分條件。

1 基本定義

稱實(shí)值函數(shù)f:Rn→R是局部Lipschitz[15]的,若對(duì)任意x∈R,存在一個(gè)正數(shù)k和x的鄰域N(x)對(duì)任意y,z∈N(x),使得:

‖f(y)-f(z)‖≤k‖y-z‖。

若函數(shù)f為局部Lipschitz的,那么函數(shù)f:X→R在點(diǎn)x處沿方向d的Clarke廣義方向?qū)?shù)和Clarke廣義梯度[15]分別定義為:

?f(x)={ξ∈Rn:f0(x;d)≥ξΤd,?d∈Rn}。

下面的不等式在全文中成立,對(duì)于?x,y∈Rn,

xy?xiyi;x≤y?xiyi,但x≠y;

x

設(shè)X?Rn,u∈X,令f=(f1,…,fk):X→Rk,fi(i=1,…,k)是定義在X上的局部Lipschitz函數(shù),令I(lǐng)fi(x)(i=1,…,k)表示fi的值, ANTCZAK T在文獻(xiàn)[14]中定義了非可微(G-V)不變凸函數(shù),受此啟發(fā)，我們把非可微(G-V)不變凸函數(shù)進(jìn)一步推廣，定義(G-V)不變擬凸函數(shù)和(G-V)不變偽凸函數(shù)。

2 最優(yōu)性條件

考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(VP)：

(VP) minf(x)=(f1(x),…,fk(x)),

s.t.g(x)≦0,

x∈X?Rn。

這里，fi:Rn→R(i=1,…,k),g:Rn→Rm，均為局部Lipschitz的實(shí)值函數(shù)。

(I) ?λ=(λ1,λ2，…，λk)>0,μ=(μ1,μ2，…，μm)≧0,使得定理1的(a)(b)成立；

由Gfi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴(yán)格單調(diào)遞增實(shí)值函數(shù)，得:

所以?λ=(λ1,λ2，…，λk)>0，使得:

(1)

(2)

由(1)式和(2)式相加，可得:

(I)?λ=(λ1,λ2，…，λk)>0,μ=(μ1,μ2，…，μm)≧0,使得定理1的(a)(b)成立;

由Gfi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴(yán)格單調(diào)遞增實(shí)值函數(shù)，得:

所以?λ=(λ1,λ2，…，λk)>0，使得:

(3)

(4)

由(3)式和(4)式可得:

(5)

要使(5)式成立，必有某個(gè)j∈{1，…，m},使得:

(I) ?λ=(λ1,λ2，…，λk)>0,μ=(μ1,μ2，…，μm)≧0,使得定理1的(a)(b)成立。

由Gfi:Ifi(x)→R,i=1,…,k是嚴(yán)格單調(diào)遞增實(shí)值函數(shù)，得:

則?λ=(λ1,λ2，…，λk)，使得:

(6)

由x∈D及定理1中條件(b)，得:

(7)

(6)式與(7)式相加，得:

可得：

3 小結(jié)

本文在G不變凸函數(shù)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，定義了(G-V)不變擬凸函數(shù)、(G-V)不變偽凸函數(shù),并用這類函數(shù)研究多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件，得到了幾個(gè)最優(yōu)性充分條件。由于篇幅問(wèn)題，本文只是研究了涉及此類函數(shù)的最優(yōu)性條件，后續(xù)還可以利用這類新定義函數(shù)，研究多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的對(duì)偶性問(wèn)題、鞍點(diǎn)問(wèn)題，還可以給出此類函數(shù)的實(shí)例并討論與其他G不變凸函數(shù)的關(guān)系。