王鵬遠(yuǎn)

急速飛奔的信息化社會(huì)

人工智能時(shí)代，技術(shù)的進(jìn)步大大縮短了未來(lái)與現(xiàn)實(shí)的距離，深刻地改變著世界。人類社會(huì)從來(lái)沒(méi)有像今天這樣變化得如此迅猛，你進(jìn)入校門(mén)或小區(qū)需要通過(guò)人臉識(shí)別，你的手機(jī)可以把語(yǔ)言自動(dòng)轉(zhuǎn)換成文字，遠(yuǎn)程醫(yī)療、機(jī)器翻譯已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)，自動(dòng)駕駛正在試行，一些傳統(tǒng)職業(yè)正在消失，而技術(shù)又催生一批新的職業(yè)。當(dāng)今時(shí)代，科技的進(jìn)步向社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域滲透，直接關(guān)系到百姓的日常生活，關(guān)系到國(guó)家的持續(xù)發(fā)展以及國(guó)家的競(jìng)爭(zhēng)力和國(guó)家安全。這些深刻的變化是僅僅發(fā)生在近幾年甚至是近幾個(gè)月的事。社會(huì)上許多人已經(jīng)感到很不適應(yīng)，跟不上急速飛奔的時(shí)代列車(chē)了。

當(dāng)前，中美之間圍繞著5G的激烈競(jìng)爭(zhēng)凸顯了這一點(diǎn)。正處在風(fēng)口浪尖的華為公司創(chuàng)始人任正非這么說(shuō)：“用物理方法來(lái)解決問(wèn)題已經(jīng)趨近飽和，要重視數(shù)學(xué)方法的突起。”“華為5G標(biāo)準(zhǔn)來(lái)源于一篇數(shù)學(xué)論文，P30手機(jī)的照相機(jī)功能依賴于數(shù)學(xué)，如今華為每三個(gè)月?lián)Q一代，主要是數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)?！?/p>

任正非為什么如此鐘情于數(shù)學(xué)呢？在2020年3月北大副校長(zhǎng)、中科院院士張平文的一次題為“應(yīng)用數(shù)學(xué)的春天來(lái)了”的報(bào)告中談到了華為：在華為的發(fā)展歷史過(guò)程中，真正使得華為領(lǐng)先的因素中，數(shù)學(xué)起到很大作用。作為一個(gè)例子，張?jiān)菏空劦搅?G的基站部署時(shí)要求把4G、3G甚至2G的基站利用起來(lái)以節(jié)省開(kāi)支，這里用了一個(gè)叫Single RAN的算法。這個(gè)算法原創(chuàng)于華為在俄羅斯的一個(gè)數(shù)學(xué)所，一個(gè)俄羅斯的數(shù)學(xué)家在這方面有一套原創(chuàng)的算法，使得華為部署基站時(shí)既能省錢(qián)，又能走在世界的前面。這個(gè)例子生動(dòng)說(shuō)明了當(dāng)今數(shù)學(xué)的重要性，難怪任正非對(duì)數(shù)學(xué)如此鐘情。當(dāng)我們意識(shí)到數(shù)學(xué)面臨嚴(yán)峻挑戰(zhàn)的同時(shí)看到了數(shù)學(xué)發(fā)展的難得機(jī)遇，看到了數(shù)學(xué)的春天，企業(yè)創(chuàng)新的需求極大驅(qū)動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。

下面的報(bào)道是觸目驚心的，說(shuō)明了當(dāng)前我們?nèi)斯ぶ悄苋瞬诺膮T乏程度。

“截至2017年3月，全球人工智能行業(yè)從業(yè)人員達(dá)到190多萬(wàn)人。其中，美國(guó)有85萬(wàn)多人，高居榜首，中國(guó)僅有5萬(wàn)多人，排在第七位，落后于印度、英國(guó)和加拿大，與澳大利亞和法國(guó)相當(dāng)?！焙苊黠@，這么大的人才缺口不可能倚仗國(guó)外的引進(jìn)，只能靠我們自己培養(yǎng)。眾所周知，教育是為未來(lái)儲(chǔ)備人才的，數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此重要，可見(jiàn)數(shù)學(xué)教育責(zé)任重大。我們需要深思：當(dāng)前我們也有像任正非那樣的緊迫感嗎？我們的數(shù)學(xué)教育為數(shù)學(xué)的春天做好變革的準(zhǔn)備了嗎？

數(shù)學(xué)，人工智能的基石

何謂人工智能（Artificial intelligence）？我國(guó)《人工智能標(biāo)準(zhǔn)化白皮書(shū)（2018年）》中給出了人工智能的定義：“人工智能是利用數(shù)字計(jì)算機(jī)或者由數(shù)字計(jì)算機(jī)控制的機(jī)器，模擬、延伸和擴(kuò)展人類的智能，感知環(huán)境、獲取知識(shí)并使用知識(shí)獲得最佳結(jié)果的理論、方法、技術(shù)和應(yīng)用系統(tǒng)?！焙?jiǎn)單地說(shuō)，就是希望計(jì)算機(jī)能夠像人類一樣完成更多的智能工作，其表現(xiàn)形式包括會(huì)看（圖像識(shí)別、文章識(shí)別）;會(huì)聽(tīng)（語(yǔ)音識(shí)別、機(jī)器翻譯）;會(huì)說(shuō)（語(yǔ)音合成、人機(jī)對(duì)話）;會(huì)動(dòng)（機(jī)器人、無(wú)人機(jī)）;會(huì)寫(xiě)作（創(chuàng)作詩(shī)歌和小說(shuō)）;會(huì)思考（人機(jī)對(duì)弈、定理證明、精準(zhǔn)醫(yī)療），會(huì)學(xué)習(xí)等。

在2019年中國(guó)人工智能大會(huì)上，中科院院士、西安交通大學(xué)教授徐宗本在題為“AI與數(shù)學(xué)：融通共進(jìn)”的主題報(bào)告上講道：數(shù)學(xué)家眼里的人工智能當(dāng)下主要指機(jī)器學(xué)習(xí)，人工智能的基石是數(shù)學(xué)，沒(méi)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)的支持，人工智能很難行穩(wěn)至遠(yuǎn)。機(jī)器學(xué)習(xí)是把這種智能形式化為數(shù)學(xué)公式，轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)可以操作的算法和軟件。進(jìn)一步說(shuō)，人工智能實(shí)際上是一個(gè)將數(shù)學(xué)、算法理論和工程實(shí)踐緊密結(jié)合的領(lǐng)域。將其扒開(kāi)來(lái)看，就是算法，也就是數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)等各種數(shù)學(xué)理論的體現(xiàn)。

機(jī)器學(xué)習(xí)（Machine Learning）是這樣定義的：“如果一個(gè)程序可以在任務(wù)T上，隨著經(jīng)驗(yàn)E的增加，效果P也可以隨之增加，則稱這個(gè)程序可以從經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)”。以垃圾郵件分類問(wèn)題為例，“一個(gè)程序”指的是機(jī)器學(xué)習(xí)算法，比如邏輯回歸算法;“任務(wù)T”是指區(qū)分垃圾郵件的任務(wù);“經(jīng)驗(yàn)E”為已經(jīng)區(qū)分過(guò)是否為垃圾郵件的歷史郵件，在監(jiān)督式機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題中，這也被稱之為訓(xùn)練數(shù)據(jù);“效果P”為機(jī)器學(xué)習(xí)算法在區(qū)分是否為垃圾郵件任務(wù)上的正確率。同時(shí)，這里的“程序”和傳統(tǒng)的程序有著很大的區(qū)別。傳統(tǒng)的程序根據(jù)給定規(guī)則處理數(shù)據(jù)，從而獲得期望結(jié)果;這里的“程序”則是根據(jù)給定數(shù)據(jù)以及目標(biāo)結(jié)果獲得兩者之間的關(guān)系規(guī)則，進(jìn)而可將學(xué)習(xí)得到的規(guī)則應(yīng)用于新的數(shù)據(jù)中。

深度學(xué)習(xí)（Deep Learning）是機(jī)器學(xué)習(xí)最新發(fā)展的一個(gè)分支，實(shí)踐中基本上可以認(rèn)為深度學(xué)習(xí)就是深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代名詞。它除了可以學(xué)習(xí)特征和任務(wù)之間的關(guān)聯(lián)外，還能自動(dòng)從數(shù)據(jù)中提取更加復(fù)雜的特征，學(xué)習(xí)更加復(fù)雜的特征表達(dá)。當(dāng)然，深度學(xué)習(xí)背后需要更多的數(shù)學(xué)支持。

以精準(zhǔn)診療為例，這是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)精彩例子。它是一種將個(gè)人基因、環(huán)境及生活習(xí)慣差異考慮在內(nèi)的疾病預(yù)防與處置的新方法，用于精準(zhǔn)診斷、精準(zhǔn)治療和有效預(yù)防上。

從精準(zhǔn)醫(yī)療的生命科學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)和臨床醫(yī)學(xué)三個(gè)維度，可以看到數(shù)據(jù)與計(jì)算技術(shù)的重要性。在智能診療的應(yīng)用中，IBM Watson是目前最成熟的案例，它可以在17秒內(nèi)閱讀3469本醫(yī)學(xué)著作、248000篇論文、69種治療方案、61540次試驗(yàn)數(shù)據(jù)、106000份臨床報(bào)告。Watson實(shí)質(zhì)上是融合了自然語(yǔ)言處理、認(rèn)知技術(shù)、自動(dòng)推理、機(jī)器學(xué)習(xí)、信息檢索等技術(shù)，并給予假設(shè)認(rèn)知和大規(guī)模的證據(jù)搜集、分析、評(píng)價(jià)的人工智能系統(tǒng)。據(jù)報(bào)道國(guó)內(nèi)在這個(gè)領(lǐng)域的進(jìn)展也在突飛猛進(jìn)，以國(guó)內(nèi)對(duì)外展現(xiàn)的CT肺結(jié)節(jié)智能檢測(cè)引擎為例，對(duì)30名患者產(chǎn)生的近9000張CT影像進(jìn)行智能檢測(cè)和識(shí)別，只需要30分鐘即可閱完，準(zhǔn)確率達(dá)到90%以上。

汽車(chē)的自動(dòng)駕駛是深度學(xué)習(xí)的又一個(gè)例子，其中涉及環(huán)境感知技術(shù)、導(dǎo)航定位技術(shù)和決策規(guī)劃技術(shù)。環(huán)境感知技術(shù)負(fù)責(zé)觀察路面環(huán)境，將圖像快速傳入計(jì)算機(jī)，決策規(guī)劃技術(shù)相當(dāng)于駕駛員的大腦，根據(jù)環(huán)境感知系統(tǒng)和導(dǎo)航定位系統(tǒng)提供的信息，及時(shí)給出主動(dòng)駕駛的行為決策和路徑規(guī)劃。這一切也都離不開(kāi)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型和快速計(jì)算的算法支持。

信息化環(huán)境下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育

下面談?wù)剬?duì)信息化環(huán)境下的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的一些想法。這里談幾件事：一是重視基礎(chǔ)，二是算法思想的滲透，三是應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。

前面談到“人工智能的基石是數(shù)學(xué)”，無(wú)論是機(jī)器學(xué)習(xí)還是深度學(xué)習(xí)都需要數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)支撐，當(dāng)然許多內(nèi)容（如微積分、微分方程、最優(yōu)化、貝葉斯公式）是大學(xué)才學(xué)到的，但中學(xué)數(shù)學(xué)無(wú)疑應(yīng)該為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，例如函數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)。

以函數(shù)概念為例，可以加入計(jì)算機(jī)編程中的函數(shù)。

傳統(tǒng)教材是通過(guò)實(shí)例引入變量與函數(shù)的，如汽車(chē)行駛的時(shí)間與路程的關(guān)系，電影院售出電影票的票價(jià)張數(shù)與票房收入的關(guān)系等。課本要求學(xué)生通過(guò)填表和列式，思考的共同問(wèn)題是：能否通過(guò)一個(gè)含有x的式子表示y？繼而對(duì)其數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象和概括，抽象出兩個(gè)變量互相聯(lián)系，當(dāng)其中一個(gè)變量取定一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)另一個(gè)變量唯一確定的數(shù)值，從集合與對(duì)應(yīng)的角度來(lái)解讀函數(shù)概念。

函數(shù)概念可以用圖1表達(dá)：輸入集合A中的元素x，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f的作用，輸出集合B中唯一確定的y。于是x可以是一個(gè)數(shù)，y 是對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)，f是某一個(gè)表示兩者關(guān)系的含x 解析式;在數(shù)字化的環(huán)境下，這個(gè)圖示還可以解讀為x是一個(gè)數(shù)，y 是對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)，f是某一個(gè)程序。

更一般地，還可以理解為：x是一個(gè)圖片，f是某種算法，輸出的是某一個(gè)語(yǔ)句。

過(guò)去給學(xué)生介紹分段函數(shù)顯得生硬，現(xiàn)在可以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型的背景下介紹，如圖2所示。一方面增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另外還擴(kuò)大了學(xué)生的視野，感受到函數(shù)在人工智能方面的應(yīng)用。

關(guān)于算法，吳文俊院士有很好的闡述：“數(shù)學(xué)發(fā)展有兩種思想：一種是公理化思想，另外一種是機(jī)械化思想。前者源于希臘，后者則貫穿整個(gè)中國(guó)古代數(shù)學(xué)，這兩種思想對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展都曾起過(guò)重大的作用。我們的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是算法化的，中國(guó)算法形式的數(shù)學(xué)更適合于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)。要讓數(shù)學(xué)教育適應(yīng)數(shù)字化社會(huì)，在注重邏輯推理能力的訓(xùn)練同時(shí)，還應(yīng)該重視算法的滲透。在課程改革過(guò)程中，“算法”曾一度進(jìn)入高中數(shù)學(xué)，但后來(lái)又去掉了。我們認(rèn)為還是可以把“算法”滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中的，在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的同時(shí)感悟算法的思想。下面舉一例：“抻面中的數(shù)學(xué)”。

面包師把1尺長(zhǎng)的生面條拉長(zhǎng)成2尺，從中點(diǎn)切斷，然后把右半段左移重合到左半段上，原來(lái)在生面條上距左端點(diǎn)的一粒黑芝麻移動(dòng)到何處是唯一確定的。問(wèn)：經(jīng)過(guò)若干次抻面后黑芝麻落在何處？

首先建立抻面的數(shù)學(xué)模型，抻面的動(dòng)作包括如下變換：拉伸和平移，設(shè)黑芝麻移動(dòng)后位于距離左端點(diǎn)處，則這個(gè)變換可用分段函數(shù)表示：

運(yùn)行這個(gè)程序，將發(fā)現(xiàn)一個(gè)很有趣的現(xiàn)象。芝麻粒的初始位置的微小變動(dòng)將引起絕然不同的后果：芝麻?；蜃詈笠频阶蠖?，或最后移到右端，或周期性的在幾個(gè)點(diǎn)之間反復(fù)跳躍，或雜亂無(wú)章的運(yùn)動(dòng)。

可滲透算法的例子很多。如這次新冠肺炎疫情初期，有的學(xué)校引導(dǎo)學(xué)生建立新冠肺炎的傳染病模型，導(dǎo)出斐波那契數(shù)列，并編制小程序?qū)ξ磥?lái)疫情作出預(yù)測(cè)，取得很好的效果。這證明恰當(dāng)?shù)匕选敖！焙汀八惴ā比谌胫袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是可行的。

如何創(chuàng)設(shè)信息社會(huì)的數(shù)學(xué)教育，抓住機(jī)遇以應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)，是值得深入研究的課題。本文拋出一些不成熟的想法與同行探討，敬請(qǐng)指正。

作者單位：北京大學(xué)附屬中學(xué)