蔡華遠(yuǎn) 程玉林

【摘要】已知數(shù)列的遞推公式，求其通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高考中常見的五類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】遞推關(guān)系?通項(xiàng)公式

【中圖分類號】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）30-233-01

類型一an+1=an+f（n） 型數(shù)列

【典型例題】1.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an=an-1+n+3n（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【詳解示范】解：由an-an-1=n+3n（n≥2），∴a2-a1=2+32，a3-a2=3+33，a4-a3=4+34，…，an-an-1=n+3n，以上（n-1）個等式左右兩邊分別相加，得an-a1=2+3+4+…+n+32+33+34+…3n= ?????+? ?????=? ????+? （3n-1-1）=? ??+ ?+ ?- ?（n≥2）

又∵ a1=1，∴an=???+ ?+ ?- ?（n≥2）

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時也符合上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=???+ ?+ ?- ?.

【解后反思】形如an+1=an+f（n），將其轉(zhuǎn)化為an+1-an=f（n），這是廣義的等差數(shù)列，利用累加法求解，即利用恒等式an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）求通項(xiàng)公式。

【技能提升】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an=an-1+

（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

類型二 an+1=an·f（n）型數(shù)列

【典型例題】2.在數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=2nan-1（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

【詳解示范】 解：∵an=2nan-1（n≥2），∴ ??=2n（n≥2），∴? ??=2n-1， ??=2n-2，…，?=22，以上（n-1）個式子左右兩邊分別相乘，得 ?=2n·2n-1·2n-2……22=22+3+....+n=2

=2????，∴an=2????（n≥2）.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)n=1時，a1=1也符合上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2 ???.

【解后反思】形如an+1=an·f（n），將其轉(zhuǎn)化為??=f（n），這是廣義的等比數(shù)列，利用累乘法求解，即利用恒等式an=a1·?·?……? ?求通項(xiàng)公式。

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=1，an= ??·an-1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

類型三 an+1=ban+d型數(shù)列

【典型例題】3.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且2an+1=3an+5，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【詳解示范】解：∵2an+1=3an+5，∴2（an+1+5）=3（a+5）.由a1=1，且2an+1=3an+5，知an>0，∴an+5≠0，???= ?，

∴數(shù)列{an+5}是首項(xiàng)為6，公比為 ?的等比數(shù)列，

∴an+5=6·（ ?）n-1，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=6·（ ?）n-1-5.

【解后反思】形如an+1=ban+d﹙其中b，d為常數(shù)，b（b-1）≠0﹚的數(shù)列，常用構(gòu)造法.其基本思路是：構(gòu)造an+1+x=b（an+x）﹙其中x=??﹚，則{an+x}是公比為b的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出an.

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=4an+9n-3，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

類型四 an+1=pan+qn型數(shù)列

【典型例題】4.已知數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1=3an+2·3n+1求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【詳解示范】解：將an+1=3an+2·3n+1兩邊同除以3n+1，得 ??=??+2，∴數(shù)列{?}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴? ?=1+（n-1）×2=2n-1，∴an=（2n-1）·3n.

【解后反思】形如an+1=pan+qn﹙其中p，q均為常數(shù)，且pq（p-1）（q-1）≠0﹚，一般在兩邊同除以qn+1，得? ??=?·?+? ，引入輔助數(shù)列{bn}﹙其中bn= ?﹚，得：bn+1=?bn+?，這樣就轉(zhuǎn)化為an+1=ban+d模型了。

【技能提升】在數(shù)列{an}中，a1=?，an+1=5an+3n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

類型五 an+1= ???型數(shù)列

【典型例題】5.已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，且an+1=

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【詳解示范】解：∵an+1= ??，a1=1，∴an≠0.

將an+1= ??兩邊取倒數(shù)，得? ?= ??，即? ?= ?+ ?，∴ {?}是以1為首項(xiàng)，

以? ?為公差的等差數(shù)列，

∴ ?=1+（n-1）·?=? ??，

∴an=???.

【解后反思】形如an+1=???﹙p，q，r是常數(shù)﹚的數(shù)列，將其變形為 ??= ?· ?+ ?.

若p=r，則{ ?}是等差數(shù)列，且公差為?，可用公式求通項(xiàng);

若p≠r，則再采用an+1=ban+d模型求解.

【技能提升】已知數(shù)列{an}中，a1= ?，an+1=???，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng) an= ????.

結(jié)束語：本文選取了高考中常見的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的五種典型例題，并詳細(xì)總結(jié)出了每一種模型的解題套路，五類典型例題都各配備一道題型相似的技能提升訓(xùn)練題。

期望通過本文的學(xué)習(xí)，學(xué)生們可以熟練掌握由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的這五種常見模型，在考試中遇到這類題目時能夠利用模型規(guī)范化快速準(zhǔn)確求解。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉毅然 路麗梅.提分寶典[M].上海交通大學(xué)出版社，2019（28）：32-33.