許曉玲

(閩江學院數(shù)學與數(shù)據(jù)科學學院，福建 福州 350108)

0 引言

和實對稱矩陣一樣，(復)Hermite陣是應用非常廣泛的一類結構矩陣。實對稱矩陣和Hermite陣有許多共同的地方，但多數(shù)人似乎通常只習慣于討論對稱陣而忽視了對Hermite陣的討論[1-12]. 事實上，從計算的角度來說，這兩類矩陣最不同的地方是：復Hermite陣通常要涉及到復數(shù)的運算，而實對稱矩陣則不需要。具體到特征值問題來說，眾所周知，Hermite陣酉相似于實對角陣，即復Hermite陣的特征值都是實的，但特征向量卻肯定是復的。由于復運算的工作量通常是實運算的4倍，因此如何減少計算Hermite陣特征對的復運算量，顯然是一個有意義的、值得研究的問題。1965年，著名的數(shù)值分析專家Wilkinson把一個N階復Hermite陣特征對的計算問題轉(zhuǎn)化為一個2N階實對稱陣特征對的計算問題，開辟了一條通過變換方式將它的特征值問題轉(zhuǎn)化為實對稱矩陣的特征值問題的處理之路[6]。具體來說，假定A=B+iC是一個N階Hermite陣，其中B與C是N階實矩陣，i是一個虛數(shù)單位，那么容易證明：B是實對稱陣，C是實反對稱陣，2N階實對稱陣

(1)

的每個特征值都是偶數(shù)重的，是A的特征值。這樣就可以通過充分利用已有的實對稱矩陣特征值的有效算法求出M的特征值，從而求出復Hermite陣A的特征值。但是由于轉(zhuǎn)化后得到的矩陣階數(shù)翻倍，因此能否針對這樣的2N階實對稱矩陣的特征值問題設計出快速有效的算法，成為這種復轉(zhuǎn)實的轉(zhuǎn)換是否有意義的關鍵。

受文獻[13]想法的啟發(fā)，本文討論一種比Wilkinson給出的更有效的復轉(zhuǎn)實的轉(zhuǎn)化方式：研究有哪些特殊類型或形狀的N階復Hermite陣的特征值問題只需要通過簡單的酉相似變換可轉(zhuǎn)化為N階(而不是2N階)的實對稱陣特征值問題來處理。包括三對角的和箭形的矩陣，很容易通過酉相似變換到與復Hermite矩陣同形狀的實對稱陣，這樣它的特征對就很容易通過酉相似變換后得到的同形的實對稱陣的特征對計算得到。

1 三對角和箭形Hermite矩陣與同形實對稱陣的相似

定理1復n階Hermite三對角矩陣

(2)

酉相似于實n階對稱三對角陣

(3)

證明構造酉矩陣

P=diag(p0,p1,…,pn-1)

(4)

至于特征向量的計算，有

推論2只要|bi|=|ci|,i=1,2,…,n-1，那么兩n階三對角矩陣(不論是復Hermite矩陣還是實的對稱陣)。

都是(酉)相似的。

這個推論說明，兩個同階的、對角相等的三對角矩陣，不論是復的Hermite矩陣還是實的對稱陣，只要它們相應的次對角元的模(絕對值)相等，它們就是相似的。

定理1還有一個很有趣的推論。

推論3實對稱矩陣

與實對稱三對角矩陣

下面討論另一形狀的矩陣——箭形矩陣，得到完全類似于三對角Hermite矩陣的結果。

定理2復n階箭形Hermite矩陣

(5)

酉相似于實n階箭形實對稱矩陣

(6)

證明與定理1的證明類似，構造酉矩陣

F=diag(f0,f1,…,fn-1)

(7)

其中，

下面兩個推論的證明類似推論1、推論2的證明。

推論5只要|di|=|ei|,i=1,2,……,n。那么，兩n階箭形矩陣(不論是復Hermite陣，還是實對稱陣)

都是(酉)相似的。

2 推廣與討論

很容易驗證上節(jié)有關三對角和箭形Hermite矩陣的結果可推廣到諸如下面形狀的矩陣

但是，下面一個簡單的例子說明并不是所有的復Hermite矩陣都會酉相似于一個實對稱陣。

例如：3階的復Hermite矩陣

事實上，A的3個近似特征值為-1.955 5，0.335 6，7.619 9，而對應的同型實對稱矩陣