李海潮，馬 博，張 升,2，盛岱超

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長沙 410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南，長沙 410075；3. 悉尼科技大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院，澳大利亞，悉尼 NSW 2007)

不同于正常固結(jié)重塑土，超固結(jié)重塑土應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有應(yīng)變硬化和軟化特征，并且伴隨著剪縮和剪脹現(xiàn)象的發(fā)生。修正劍橋(modified Camclay, MCC)模型[1]在描述其力學(xué)特性時存在明顯不足，具體表現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，MCC 模型的剪脹方程假定土體的剪脹因子僅與當(dāng)前剪切應(yīng)力比有關(guān)，無法考慮溫度和超固結(jié)比等外部加載因素對土體剪脹特性的影響[2 ? 5]。Gao 等[6]在其所建立邊界面模型中深入的探究了黏土的應(yīng)力歷史對其剪脹特性和應(yīng)力-應(yīng)變特性的影響。值得注意的是，即使對于正常固結(jié)重塑土，MCC 模型的剪脹方程在描述其剪脹特性時依然存在不足。Wang 和Yin[7]針對自然軟土的試驗(yàn)結(jié)果表明，在材料發(fā)生剪縮破壞的過程中，MCC 模型預(yù)測的剪縮量要明顯小于試驗(yàn)值。杜修力等[8]基于統(tǒng)一非線性強(qiáng)度理論建立了適用于正常固結(jié)重塑土的剪脹方程。殷杰[9]通過引入結(jié)構(gòu)屈服應(yīng)力參數(shù)建立了適用于結(jié)構(gòu)性軟黏土的修正劍橋模型。

其次，MCC 模型采用相關(guān)聯(lián)的流動法則，并且基于非線性能量耗散方程假定土體具有橢圓形屈服面。然而試驗(yàn)結(jié)果表明，巖土材料的屈服面具有更為復(fù)雜的幾何形狀[2, 10]。Lagioia 等[11]討論了屈服面幾何形狀對模型計算結(jié)果的影響；Collins和Kelly[12]則基于現(xiàn)代熱力學(xué)理論給出了適用于巖土材料的雙參數(shù)屈服函數(shù)。此外，剪切過程中巖土材料塑性流動方向并不始終垂直于其物理屈服面[13 ? 14]。Sun 等[15 ? 18]指出可以對屈服函數(shù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分得到分?jǐn)?shù)階塑性流動法則，進(jìn)而在不引入塑性勢函數(shù)的情況下統(tǒng)一的描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的塑性流動法則。在此基礎(chǔ)上，孫逸飛和沈楊[19]建立了適用于粗粒料的靜動力邊界面模型，成功地模擬了粗粒料在靜動力加載條件下的應(yīng)力-應(yīng)變行為和循環(huán)荷載下的長期變形。Lu 等[20]則基于該方法在 β應(yīng)力空間建立了適用于正常固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階修正劍橋模型。

MCC 模型在描述黏土在超固結(jié)狀態(tài)時的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)時同樣存在明顯不足，模型計算得到的剪切強(qiáng)度明顯偏大，且應(yīng)力-應(yīng)變曲線為一條不光滑的曲線[21]。為了克服該不足，Dafalias 等[22 ? 23]和Hashiguchi 等[24 ? 26]分別提出了邊界面和下加載面的力學(xué)概念。其中，下加載面模型假定在任意加載時刻，材料當(dāng)前的應(yīng)力點(diǎn)始終位于下加載面上并發(fā)生彈塑性體積變形[27?31]；邊界面模型則假定當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)位于邊界面內(nèi)，并且采用某種映射準(zhǔn)則計算得到其塑性流動方向和塑性模量[32 ? 36]。

本文首先將Caputo 微分方法應(yīng)用于MCC 模型的屈服函數(shù)，從而得到一個新的分?jǐn)?shù)階剪脹方程用于考慮超固結(jié)比對黏土剪脹特性的影響。在此基礎(chǔ)上可以建立適用于黏土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型，該模型所采用的分?jǐn)?shù)階塑性流動法則能夠統(tǒng)一的描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的流動法則。相比較MCC 模型，本文模型僅額外地引入了一個與土體剪脹特性相關(guān)的模型參數(shù)，同時能夠?qū)Τ探Y(jié)黏土的應(yīng)變軟化和剪脹特性進(jìn)行合理的描述。

1 應(yīng)力誘導(dǎo)分?jǐn)?shù)階剪脹方程

1.1 分?jǐn)?shù)階微分定義

孫逸飛和沈楊[19]指出分?jǐn)?shù)階微分具有長程記憶性，適用于描述路徑和記憶依賴性行為。后文將根據(jù)分?jǐn)?shù)階微分推導(dǎo)出一個新的應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程，并由此建立一個適用于超固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。

1.2 分?jǐn)?shù)階塑性流動法則

圖1 分?jǐn)?shù)階流動法則示意圖Fig. 1 Schematic plot of fractional flow rule

1.3 正常固結(jié)屈服面和相似因子

為了表述超固結(jié)重塑土的應(yīng)變軟化和剪脹特性，本文引入了下加載面的力學(xué)概念。如圖2 所示，表征超固結(jié)狀態(tài)的當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)A(p,q)位于下加載面上，而參考應(yīng)力點(diǎn)B(pˉ,qˉ)則位于正常固結(jié)屈服面上。為了動態(tài)地描述在p?q平面中下加載面和正常固結(jié)屈服面兩者之間相對位置的演變關(guān)系，基于徑向映射法則定義了相似因子R：

圖2 下加載面示意圖Fig. 2 Schematic plot of sub-loading surface

R與超固結(jié)比OCR具有相似的物理意義，在單調(diào)加載過程中，隨著土體超固結(jié)特性的減弱，R的值逐漸增大，當(dāng)R=1 時，下加載面與正常固結(jié)屈服面最終重合，此時土體處于正常固結(jié)狀態(tài)。

1.4 分?jǐn)?shù)階剪脹方程

MCC 剪脹方程無法反映溫度和超固結(jié)性等外部加載因素對土體剪脹特性的影響，同時對于超固結(jié)重塑土，該剪脹方程預(yù)測的剪脹量要明顯大于實(shí)測值。為此，聯(lián)合式(5)、式(9)，本文基于Caputo 分?jǐn)?shù)階微分給出了一個新的剪脹方程：

圖3 給出了剪脹因子d隨剪應(yīng)力比 η和相似因子R的變化規(guī)律。可以看出，在相同的應(yīng)力水平下，d隨著R的增大而逐漸增大，即黏土的剪脹量會隨著超固結(jié)性的破壞而逐漸增大，與試驗(yàn)結(jié)果保持一致。

圖3 剪脹因子d 隨剪應(yīng)力比 η和相似因子R 變化規(guī)律Fig. 3 Evolution of dilatancy ratio d with shear stress ratio η and similarity ratio R

2 分?jǐn)?shù)階下加載面模型

基于本文提出的應(yīng)力誘導(dǎo)分?jǐn)?shù)階剪脹方程，通過給定一個合理的下加載面硬化法則，可以直接建立適用于黏土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。

2.1 下加載面和硬化法則

根據(jù)Hashiguchi 等[24 ? 26]的研究成果，本文假定下加載面與正常固結(jié)屈服面具有相似的幾何形狀，則下加載面屈服函數(shù)f可以表示為：

2.2 模型實(shí)現(xiàn)

2.3 參數(shù)試驗(yàn)

這里主要探究參數(shù)m的取值對模型計算結(jié)果的影響。首先將數(shù)值試樣各向同性固結(jié)至800 kPa，然后卸載至100 kPa，從而形成OCR=8 的超固結(jié)試樣。在此基礎(chǔ)上分別選取不同的m的取值開展三軸壓縮排水和不排水?dāng)?shù)值試驗(yàn)，模型參數(shù)如表1 所示。

表1 模型參數(shù)敏感性試驗(yàn)材料參數(shù)Table 1 Parameters used in model sensitive analysis

模型參數(shù)m對超固結(jié)重塑土的三軸壓縮排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎憬Y(jié)果的影響如圖4 所示。根據(jù)圖4(a)，該試樣的峰值強(qiáng)度隨著m值的增大而減小，體應(yīng)變的剪脹量則逐漸增大。圖4(b)給出了不同m值對材料剪脹曲線的影響，可以看出，隨著m值的增大，該試樣的剪脹應(yīng)力比Md逐漸減小，而m不會對材料的臨界狀態(tài)剪應(yīng)力比產(chǎn)生影響。

模型參數(shù)m對超固結(jié)重塑土的三軸壓縮不排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎憬Y(jié)果的影響如圖5 所示。根據(jù)圖5(a)，該試樣的不排水抗剪強(qiáng)度隨著m值的增大而減小，隨著m值的進(jìn)一步增大，材料的不排水抗剪強(qiáng)度甚至?xí)∮谄渑R界強(qiáng)度，該現(xiàn)象與密實(shí)砂土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變化特點(diǎn)具有某種相似性[22]。圖5(b)給出了m對該試樣的應(yīng)力路徑的影響。

3 模型驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所建立的分?jǐn)?shù)階下加載面模型的適用性，采用該模型分別對Black Kaolin黏土[39]和Fujinomori 黏土[29]的三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬，重點(diǎn)探究土體超固結(jié)性對其剪脹特性的影響，模型參數(shù)如表2 所示。

圖4 參數(shù)m 三軸壓縮排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎憬Y(jié)果的影響Fig. 4 Effect of parameter m on drained triaxial test model predictions

圖5 參數(shù)m 三軸壓縮不排水試驗(yàn)?zāi)Ｐ陀嬎憬Y(jié)果的影響Fig. 5 Effect of parameter m on undrained triaxial test model predictions

圖6 給出了Black Kaolin 黏土的三軸壓縮排水試驗(yàn)結(jié)果和模型計算結(jié)果，其中，Black Kaolin 黏土的加載圍壓分別為100 kPa、200 kPa、400 kPa和800 kPa，且OCR分別為8、4、2 和1。在不同的圍壓下，Black Kaolin 黏土的初始孔隙比e0分別為1.09、1.06、0.94 和0.91。根據(jù)圖6(a)和圖6(b)，模型計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有良好的相關(guān)性。當(dāng)OCR=8 時，由于應(yīng)力歷史的影響，Black Kaolin黏土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化特點(diǎn)；在加載的初始階段，土體的孔隙比e逐漸減小，產(chǎn)生剪縮變形，隨著剪切破壞的進(jìn)一步發(fā)生，e開始反向增加并伴隨著剪脹現(xiàn)象的發(fā)生。Black Kaolin 黏土在不同圍壓下的剪脹曲線如圖6(c)所示，可以看出土體的剪脹應(yīng)力比Md隨著OCR的增大而增大，同時在OCR=4，8 的情況下，土體會發(fā)生明顯的剪脹變形。進(jìn)一步，圖7 給出了本文模型對Fujinomori 黏土的平均主應(yīng)力一定的三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果的模擬結(jié)果，其中，F(xiàn)ujinomori 黏土的平均主應(yīng)力分別為98 kPa、196 kPa、196 kPa 和196 kPa，且OCR分別為8、4、2 和1。在不同的圍壓下，F(xiàn)ujinomori 黏土的初始孔隙比e0分別為0.727、0.713、0.76 和0.81。根據(jù)圖7(a)和圖7(b)，可以看出本文模型能夠較好的描述Fujinomori 黏土的應(yīng)力-應(yīng)變和體積變形特點(diǎn)。當(dāng)OCR=8 時，本文模型計算得到的峰值強(qiáng)度所對應(yīng)的軸向應(yīng)變明顯偏大，存在20%左右的誤差，此時計算得到的體應(yīng)變剪脹量也相應(yīng)偏大。值得注意的是，相比常規(guī)的三軸壓縮不排水試驗(yàn)，在平均主應(yīng)力一定的情況下，模型計算得到剪脹曲線呈現(xiàn)出完全不同的變化特點(diǎn)。如圖7(c)所示，在加載的初始階段，剪脹因子d會逐漸增大，在達(dá)到峰值后反向減小，當(dāng)OCR大于1 時，d會減小至負(fù)值，此時土體發(fā)生剪脹破壞，隨著OCR的增大，該趨勢將更加明顯。

表2 模型參數(shù)敏感性試驗(yàn)材料參數(shù)Table 2 Parameters used in model sensitive analysis

圖6 Black Kaolin 黏土試驗(yàn)結(jié)果與模型計算結(jié)果對比Fig. 6 Comparison between experimental data and model predictions of Black Kaolin clay

圖7 Fujinomori 黏土試驗(yàn)結(jié)果與模型計算結(jié)果對比Fig. 7 Comparison between experimental data and model predictions of Fujinomori clay

從上述分析可以看出，本文建立的模型能夠合理地反映超固結(jié)重塑土的應(yīng)變軟化和剪脹特性，進(jìn)而對土體應(yīng)力-應(yīng)變和體積變形特點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確的描述。此外，本文模型的計算結(jié)果表明，超固結(jié)性會對土體的剪脹特性產(chǎn)生影響。

4 結(jié)論

本文基于Caputo 微分方法提出了分?jǐn)?shù)階應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程以考慮超固結(jié)性對土體剪脹特性的影響，在此基礎(chǔ)上引入了下加載面的力學(xué)概念，從而建立了適用于超固結(jié)重塑土的分?jǐn)?shù)階下加載面模型。通過將模型計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析，初步驗(yàn)證了該模型的合理性，主要結(jié)論有：

(1)基于 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分方法，可以在不引入塑性勢函數(shù)的情況下得到一個新的分?jǐn)?shù)階塑性流動法則，該流動法則能夠合理地描述塑性流動方向與土體屈服面之間的非正交性，進(jìn)而統(tǒng)一地描述相關(guān)聯(lián)和非相關(guān)聯(lián)的塑性流動法則。

(2)基于分?jǐn)?shù)階塑性流動法則，可以給出適用于黏土的分?jǐn)?shù)階應(yīng)力誘導(dǎo)剪脹方程。由于分?jǐn)?shù)階數(shù)是關(guān)于表征超固結(jié)程度的相似因子的函數(shù)，因此本文提出的剪脹方程能夠考慮超固結(jié)性對黏土剪脹特性的影響。

(3)通過引入下加載面的力學(xué)概念并且給出相應(yīng)的硬化法則，本文所建立的分?jǐn)?shù)階下加載面模型能夠準(zhǔn)確地描述超固結(jié)黏土的應(yīng)變軟化和剪脹特性。相比較 MCC 模型，本文模型僅額外地引入了一個與土體剪脹特性有關(guān)的材料參數(shù)。