張 輝， 王兆強(qiáng)， 王 靜

(火箭軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，陜西 西安 710025)

0 引言

重積分是多元函數(shù)積分學(xué)的重要內(nèi)容，如何正確計(jì)算二重積分是需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題。 而在二重積分的計(jì)算以及應(yīng)用中，常常需面對(duì)一個(gè)至關(guān)重要的概念：面積元素。 為使學(xué)生能夠深刻理解面積元素，下面將對(duì)二重積分面積元素和曲面的面積元素進(jìn)行再研究，并給出兩類(lèi)面積元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后得到基于元素法的兩類(lèi)面積元素的表達(dá)形式，并輔以典型例題供參考學(xué)習(xí)，使初學(xué)者靈活使用，達(dá)到事半功倍、舉一反三的效果。

為了確保二重積分的存在性，假設(shè)被積函數(shù)均是連續(xù)或分塊連續(xù)。

1 二重積分面積元素的再研究

可見(jiàn)，面積元素dσ是與平面坐標(biāo)系的選取密切相關(guān)的。 許多學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)系中面積元素的表達(dá)式ρdρdθ理解較為困難，甚至有些學(xué)者[2]認(rèn)為把ρdρdθ作為極坐標(biāo)系中的面積元素的說(shuō)法不太嚴(yán)格，而筆者認(rèn)為教材中關(guān)于面積元素的表述是正確的，本質(zhì)上就有dσ=dxdy=ρdρdθ。

究竟是什么原因呢？事實(shí)上，教材中采用了兩種方法介紹直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中面積元素之間的關(guān)系。第一種方法是從二重積分的定義出發(fā)，利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系之間的內(nèi)在聯(lián)系得到二重積分所對(duì)應(yīng)的特定和式的極限在極坐標(biāo)系中的形式。一般對(duì)直角坐標(biāo)系中面積元素為dxdy較好理解，但對(duì)極坐標(biāo)系中面積元素為ρdρdθ很難理解，不應(yīng)該是dρdθ嗎？

筆者認(rèn)為產(chǎn)生這樣錯(cuò)誤想法的主要原因是沒(méi)有理解直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的本質(zhì)聯(lián)系。對(duì)于平面xOy直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系的確定是以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox軸正向作為極軸OA的。給定平面OA極坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系的確定是以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OA軸作為橫軸Ox的正向，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2得到縱軸Oy的正向。同時(shí)，積分區(qū)域D在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中的形狀是不發(fā)生改變的。

我們?cè)賮?lái)分析其面積元素的內(nèi)在聯(lián)系。從元素法的角度來(lái)看，如圖1所示，Δσ面積近似等于兩邊長(zhǎng)分別為dρ和ρdθ的矩形的面積ρdρdθ，故將ρdρdθ作為極坐標(biāo)系中面積元素的表達(dá)式。這說(shuō)明了極坐標(biāo)中面積元素恰好為ρdρdθ，上述問(wèn)題得以較好解決。

圖1 極坐標(biāo)系中的面積元素Fig.1 Area element in polar coordinate system

第一種方法是將點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(ρ,θ)看成是同一平面上的同一個(gè)點(diǎn)，只是采用不同的坐標(biāo)而已，而換元法是將直角坐標(biāo)平面ρOθ上的點(diǎn)(ρ,θ)變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)平面xOy上的點(diǎn)(x,y)，將直角坐標(biāo)平面ρOθ上閉區(qū)域D′變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)平面xOy上的閉區(qū)域D，如圖2所示。

圖2 換元法中積分區(qū)域的轉(zhuǎn)換Fig.2 Conversion of integral regions in conversion method

圖3 換元法中面積元素的轉(zhuǎn)換Fig.3 Conversion of area elements in conversion method

考察一個(gè)具體例子進(jìn)行說(shuō)明，對(duì)于半徑為a(a>0)的平面圓面D={(x,y)|x2+y2≤a2}，在極坐標(biāo)系中可以表達(dá)為D={(ρ,θ)|0≤ρ≤a，0≤θ≤2π}，其本質(zhì)上仍然刻畫(huà)的是該圓面，而在換元法中對(duì)應(yīng)平面直角ρOθ坐標(biāo)系中的區(qū)域?yàn)榫匦斡?，如圖4所示。

圖4 換元法中的矩形域Fig.4 Rectangular domain in exchange method

對(duì)于極坐標(biāo)變換的逆變換

或

由換元法可得

圖5 換元法中面積元素的轉(zhuǎn)換Fig.5 Conversion of area elements in conversion method

由換元法得，

圖6 積分區(qū)域的變換Fig.6 Transform of integral region

同理，對(duì)于球面坐標(biāo)變換情形也是成立的。

2 曲面面積元素的再研究

在二重積分及其應(yīng)用中，常常會(huì)遇到兩類(lèi)面積元素，一是二重積分的面積元素dσ，二是計(jì)算曲面面積時(shí)曲面的面積元素dA。筆者在第一部分詳細(xì)介紹了面積元素dσ不同類(lèi)型的表達(dá)式及其內(nèi)在聯(lián)系。而對(duì)于曲面的面積元素dA，與曲面S方程的給定形式有關(guān)。下面分3種情形討論。

則有

進(jìn)而

同理

代入可得

由第一部分分析可得，

同理

dydz=|yuzv-yvzu|dudv，dzdx=|zuxv-yvxu|dudv，

情形3，若曲面S方程由方程F(x,y,z)=0所確定的二元隱函數(shù)z=f(x,y)給定，由隱函數(shù)存在定理知，

即有

則

3 曲面的面積元素的再研究

圖7 旋轉(zhuǎn)曲面的面積元素Fig.7 Area elements of rotating surfaces

4 結(jié)束語(yǔ)

如何把握不同類(lèi)型面積元素的本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，這是初學(xué)者對(duì)于重積分首先要面對(duì)的問(wèn)題。要從簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的一元函數(shù)積分學(xué)過(guò)渡到對(duì)復(fù)雜、抽象的多元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)中確有難度，但是似乎越難的學(xué)科就越具有其獨(dú)特的魅力，使你不斷地花心思去學(xué)它、理解它、體會(huì)它，從而真正感到它的內(nèi)在美。