王茂林，朱耿磊，趙丹丹，郝尚東

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222)

0 引 言

在熱沖擊斷裂力學(xué)的研究中，經(jīng)典熱傳導(dǎo)理論一直是作為熱傳導(dǎo)研究的絕對(duì)理論依據(jù)，被廣泛應(yīng)用于熱傳導(dǎo)的理論研究和工程需要，在經(jīng)典的傅里葉熱傳導(dǎo)理論中，默認(rèn)了熱傳播速度無(wú)限大的假設(shè)條件，即在物體內(nèi)部某一點(diǎn)發(fā)生溫度變化瞬間就能引起其他位置的溫度變化，同時(shí)，傅里葉熱傳導(dǎo)理論第一次將熱流量與溫度場(chǎng)分布聯(lián)系起來(lái)，因此傳統(tǒng)傅里葉熱傳導(dǎo)理論一度獲得國(guó)內(nèi)外學(xué)者和工程領(lǐng)域?qū)＜业拇罅χС帧?/p>

實(shí)際上，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，熱傳導(dǎo)在物體內(nèi)的傳播速度總是有限的，而并非傳統(tǒng)傅里葉理論中的熱傳播速度無(wú)限大的默認(rèn)假設(shè)，因此傳統(tǒng)的傅里葉熱傳導(dǎo)理論只適用于熱擴(kuò)散時(shí)間比較長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，以及熱擴(kuò)散時(shí)間較短的常規(guī)非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，此類問(wèn)題不涉及熱流與時(shí)間的關(guān)系[1]。而隨著時(shí)代的進(jìn)步，熱傳導(dǎo)的環(huán)境越來(lái)越極端，比如超高溫超低溫條件、飛秒級(jí)時(shí)間和納米級(jí)空間尺度、脈沖激光加熱等高頻高熱條件越來(lái)越多，而傳統(tǒng)傅里葉熱傳導(dǎo)理論因不考慮時(shí)間因素而在此類問(wèn)題的解決中會(huì)產(chǎn)生很大的誤差[2]，不能滿足精度要求，因此傳統(tǒng)傅里葉理論需要進(jìn)行修正。

為解決傅里葉熱傳導(dǎo)理論的缺陷，大量學(xué)者對(duì)非傅里葉熱傳導(dǎo)理論進(jìn)行了深入的探索。Cattaneo[3]和Vernottee[4]是第一次引入馳豫概念來(lái)建立非傅里葉熱傳導(dǎo)理論，非傅里葉熱傳導(dǎo)理論將熱傳導(dǎo)過(guò)程化，認(rèn)為介質(zhì)中的熱擴(kuò)散是需要時(shí)間的，因此引入新的材料參數(shù)熱弛豫時(shí)間，即材料中的溫度場(chǎng)在發(fā)生溫度變化時(shí)通過(guò)熱傳播再次達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間?？紤]到熱弛豫時(shí)間，非傅里葉熱傳導(dǎo)模型相比傳統(tǒng)熱傳導(dǎo)模型，由拋物線微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)闀r(shí)間和空間的雙曲微分方程，經(jīng)研究人員的探索，建立有單相滯后非傅里葉熱傳導(dǎo)模型(C-V模型)[5]、雙相滯后非傅里葉熱傳導(dǎo)模型(DPL模型)[6]以及分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)模型。

筆者將對(duì)上述非傅里葉熱傳導(dǎo)模型分別描述其物理意義，通過(guò)建立幾何模型給出了各熱傳導(dǎo)模型下溫度場(chǎng)公式，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)探討了各模型下非傅里葉溫度場(chǎng)的研究進(jìn)展，進(jìn)而結(jié)合大量文獻(xiàn)分析了非傅里葉熱傳導(dǎo)在斷裂力學(xué)中的研究成果，指出了非傅里葉斷裂力學(xué)對(duì)醫(yī)學(xué)、微電子以及航空工程等熱防護(hù)材料研究的積極作用和未來(lái)研究前景。

1 非傅里葉熱傳導(dǎo)溫度場(chǎng)研究

(1) C-V模型考慮到熱流量的產(chǎn)生和溫度梯度的建立不在同一個(gè)時(shí)刻，即考慮熱流量產(chǎn)生滯后于溫度梯度建立的時(shí)間。Mohammad[7]和GholamaliAtefi[8]等考慮熱擴(kuò)散的非傅里葉效應(yīng)，基于C-V模型，通過(guò)建立如圖2有限空心圓柱幾何模型，研究了有限空心圓柱在受到周期性熱沖擊時(shí)的非傅里葉熱響應(yīng)問(wèn)題。

圖1 有限空心圓柱[13]

應(yīng)用C-V熱傳導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，建立如式(1)非傅里葉溫度場(chǎng)控制方程：

(1)

設(shè)圓筒上下底面絕熱，初始環(huán)境溫度為θ(r,z,0)=0，從t=0時(shí)刻開(kāi)始，圓筒周圍持續(xù)承受大小為：q0(z,t)的周期性熱流熱沖擊，因此溫度場(chǎng)控制方程的初始邊界條件可以總結(jié)為公式：

(2)

(3)

(4)

由于非齊次邊界條件的存在，想要求解上述問(wèn)題，必須將溫度場(chǎng)分為穩(wěn)態(tài)解和瞬態(tài)解兩部分求解。將邊界條件式(3)替換為與時(shí)間無(wú)關(guān)的邊界條件式(5)為：

(5)

結(jié)合邊界條件式(5)利用分離變量法求解穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程(6)的解:

θ0(r,l)=0

θ0(r,0)=0

(6)

(7)

瞬態(tài)熱傳導(dǎo)控制方程，以及齊次邊界條件和變換初始條件總結(jié)如下，求解瞬態(tài)問(wèn)題的解。

(8)

(9)

(10)

(11)

對(duì)求得的穩(wěn)態(tài)解和瞬態(tài)解進(jìn)行疊加，并根據(jù)杜哈爾定理處理與時(shí)間相關(guān)的邊界條件，得到其完全解，如式(12)所示:

(12)

得到的解析解可以應(yīng)用于圓柱側(cè)表面均勻分布的諧波熱流熱沖擊問(wèn)題和高斯分布的指數(shù)衰減脈沖熱沖擊問(wèn)題，也可以應(yīng)用其他邊界條件，均能研究其熱應(yīng)力相關(guān)規(guī)律；或作為校準(zhǔn)數(shù)值解的正確性和誤差的標(biāo)準(zhǔn)。

Vedavar[9]通過(guò)有限差分法求得了C-V模型的溫度場(chǎng)的數(shù)值解；Kashhcooli[10]也利用數(shù)值分析的方法求解了C-V模型的解，并用于生物組織熱損傷評(píng)估；李金娥[11]等首先分別求解了層合板和層合圓筒的非傅里葉溫度場(chǎng)解析解，然后通過(guò)中心差分格式在空間上進(jìn)行離散，利用中心差分和向后差分在時(shí)間上進(jìn)行離散，分別得到了層合板和層合圓筒的溫度場(chǎng)數(shù)值解，通過(guò)對(duì)解析解和數(shù)值解對(duì)比分析，通過(guò)向后差分離散后得到的數(shù)值解是絕對(duì)穩(wěn)定的。胡穎華[12]等利用Laplace變換求解了一維半無(wú)限大模型的非傅里葉溫度場(chǎng)，然后利用有限元法分別給出了溫度場(chǎng)Galerkin半離散格式，利用Du Fort-Frankel差分法對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散給出全離散格式，分析了半離散格式和全離散格式的穩(wěn)定性和有效性。陳豪龍等[13]采用微分轉(zhuǎn)換法和雙重互易邊界元法相結(jié)合解決了非傅里葉熱傳導(dǎo)的瞬態(tài)問(wèn)題，首先建立非傅里葉溫度控制方程，利用微分轉(zhuǎn)換法對(duì)方程中與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)進(jìn)行半解析處理后得到新的控制方程，對(duì)新的控制方程利用相似方程法進(jìn)行線性化處理，再利用雙重互易邊界元法將邊界積分方程中的域積分轉(zhuǎn)換為邊界積分，以幾何建模給定邊界條件進(jìn)行分析驗(yàn)證，證明雙重互易邊界元法能夠消除不同時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)結(jié)果的影響，有效保證了計(jì)算精度。

(2) DPL模型認(rèn)為溫度梯度也存在滯后問(wèn)題，不僅考慮熱流量產(chǎn)生滯后于溫度梯度建立的時(shí)間τq，同時(shí)考慮溫度梯度滯后時(shí)間為τT，建立如圖2所示模型示意圖，薄膜厚度為L(zhǎng)，左表面受到熱源T(0,t)=f(t)，薄膜右表面絕熱，圖2問(wèn)題的雙相滯后非傅里葉模型為：

圖2 模型示意圖[14]

q(r,t+τq)=-k▽T(r,t+τT)

(13)

Liu[15]等通過(guò)拉普拉斯變換求得了DPL模型的解；Xu[16]等通過(guò)有限差分法得到了DPL模型的解，用于生物組織傳熱研究。許光映[17]等利用DPL模型建立控制方程，運(yùn)用拉普拉斯變換求解了非傅里葉解析解，并與經(jīng)典生物組織邊界條件下的解析解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典傅里葉邊界條件下不符合能量守恒，而且高估了生物組織抗熱損傷能力，而非傅里葉邊界條件下所得結(jié)果符合實(shí)際。張永[18]等基于DPL模型，以蒙特卡洛法模擬激光熱源，建立皮膚組織熱傳導(dǎo)模型，研究在激光照射熱沖擊下皮膚組織的溫度場(chǎng)變化，討論熱弛豫參數(shù)τT和τq的變化對(duì)皮膚組織溫度變化的影響，發(fā)現(xiàn)與經(jīng)典生物組織傳熱相比，溫升降低且峰值滯后，峰值滯后程度受馳豫參數(shù)τq影響，這對(duì)皮膚疾病的激光熱療法具有重要參考價(jià)值。

(3) 分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)理論適用于特殊聚合材料和非正常擴(kuò)散的熱傳導(dǎo)過(guò)程，傳統(tǒng)熱傳導(dǎo)定律和非傅里葉定律都無(wú)法準(zhǔn)確地描述其熱傳導(dǎo)規(guī)律，經(jīng)過(guò)相關(guān)學(xué)者的不斷研究，將分?jǐn)?shù)階微積分理論引入熱彈性理論中，彌補(bǔ)整數(shù)階微分方程的不足，主要建立有以下三種分?jǐn)?shù)階模型：

Youssef型分?jǐn)?shù)階模型：

(14)

Sherief型分?jǐn)?shù)階模型：

(15)

Ezzat型分?jǐn)?shù)階模型：

(16)

馬永斌[19]基于分?jǐn)?shù)階廣義熱彈性理論，建立分?jǐn)?shù)階多場(chǎng)耦合力學(xué)模型，研究了二維電磁熱彈性場(chǎng)耦合問(wèn)題；基于分?jǐn)?shù)階熱彈理論研究了功能梯度壓電桿的瞬態(tài)響應(yīng)和移動(dòng)熱源熱沖擊下壓電桿的動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律；基于分?jǐn)?shù)階熱彈性理論下材料特性隨溫度變化的壓電熱彈問(wèn)題；基于分?jǐn)?shù)階熱彈性理論研究了無(wú)限大球腔體的熱沖擊動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。曹柳嬋[20]基于Youssef型分?jǐn)?shù)階理論研究了移動(dòng)熱源熱沖擊下壓電桿的動(dòng)態(tài)響應(yīng)規(guī)律，和材料特性隨溫度的壓電動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。

2 非傅里葉熱傳導(dǎo)在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用

張彥博等[21]通過(guò)建立單相延遲非傅里葉熱傳導(dǎo)模型，利用NewMark算法求解二階微分方程，計(jì)算了在非傅里葉熱沖擊下裂紋空心圓筒的溫度場(chǎng)、位移場(chǎng)以及應(yīng)力強(qiáng)度因子的數(shù)值解，研究了應(yīng)力強(qiáng)度因子在熱流、裂紋長(zhǎng)度、以及不同相位延遲下的變化，證明了所建立的非傅里葉熱傳導(dǎo)模型的準(zhǔn)確性，并編寫了在此裂紋結(jié)構(gòu)下的非傅里葉熱沖擊的程序進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，為裂紋空心圓筒結(jié)構(gòu)的研究和設(shè)計(jì)提供了重要參考。

為了解決現(xiàn)代高新技術(shù)中的熱響應(yīng)問(wèn)題，郭松林[22]對(duì)現(xiàn)代工程中常見(jiàn)的板、夾芯板、涂層，以及圓柱等結(jié)構(gòu)采用雙相延遲非傅里葉熱傳導(dǎo)模型進(jìn)行斷裂力學(xué)分析，建立圓柱、板和多層結(jié)構(gòu)無(wú)限大的幾何模型，應(yīng)用積分變換方法和奇異積分方程求解了在超高溫、超低溫和微尺度等極端環(huán)境熱沖擊斷裂問(wèn)題，分析了在熱流和溫度梯度雙相延遲，以及結(jié)構(gòu)幾何特性下的熱彈性響應(yīng)和裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。在不考慮二階熱流影響的情況下，當(dāng)溫度梯度延遲時(shí)間高于熱流延遲時(shí)間，此非傅里葉理論下應(yīng)力強(qiáng)度因子比經(jīng)典模型下的應(yīng)力強(qiáng)度因子更小，反之，溫度梯度延遲時(shí)間低于熱流延遲，應(yīng)力強(qiáng)度因子比經(jīng)典模型下更大；在考慮二階熱流延遲的影響下，應(yīng)力強(qiáng)度因子只隨溫度梯度延遲的時(shí)間變大而變大；以涂層或夾芯板中各組分材料相應(yīng)的物理參數(shù)的比值，分析涂層或夾芯板結(jié)構(gòu)各組分的比例差異對(duì)結(jié)構(gòu)的熱彈性響應(yīng)以及裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，當(dāng)涂層結(jié)構(gòu)參數(shù)差異因子Ψ1>1或者Ψ2>2時(shí)，裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子危險(xiǎn)度相比均勻無(wú)裂紋涂層增加近30%，而夾芯板中圓幣形裂紋尖端的I型應(yīng)力強(qiáng)度因子峰值隨夾芯板結(jié)構(gòu)參數(shù)差異因子Ψ1增大而增大，II型應(yīng)力強(qiáng)度因子保持穩(wěn)定；在考慮慣性的情況下，建立圓幣形裂紋模型，以熱波速度和彈性波速度的比值作為慣性項(xiàng)，研究了在非傅里葉效應(yīng)和慣性效應(yīng)共同影響下，應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況，質(zhì)量慣性能顯著增強(qiáng)應(yīng)力強(qiáng)度因子在受到熱沖擊后的波動(dòng)性；建立壓電片在考慮質(zhì)量慣性影響下的熱-電-彈性幾何模型，上下裂紋面在收到對(duì)稱熱流的情況下，質(zhì)量慣性也會(huì)顯著增強(qiáng)裂紋尖端電位移強(qiáng)度因子的波動(dòng)性和峰值；作者通過(guò)大量數(shù)據(jù)計(jì)算認(rèn)為，非傅里葉效應(yīng)只存在于極端環(huán)境中，隨著時(shí)間尺度和材料結(jié)構(gòu)的幾何空間尺度的不斷增大，非傅里葉效應(yīng)很快衰減，當(dāng)熱作用持續(xù)時(shí)間比延遲時(shí)間高1個(gè)數(shù)量級(jí)以上，或材料的幾何尺寸比熱擴(kuò)散特征長(zhǎng)度大2個(gè)數(shù)量級(jí)以上時(shí)，非傅里葉效應(yīng)可以忽略不計(jì)。同樣，基于雙相滯后熱傳導(dǎo)模型下，郭松林[23]等利用線彈性理論，求解了表面含裂紋平板的熱應(yīng)力強(qiáng)度因子，發(fā)現(xiàn)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子隨溫度梯度和熱通量滯后的時(shí)間增大而增大，證明了在極短時(shí)間尺度下，非傅里葉效應(yīng)的顯著影響；并且發(fā)現(xiàn)單相滯后模型和經(jīng)典熱傳導(dǎo)模型都高估了薄板表面斷裂性能，雙相滯后熱傳導(dǎo)模型下裂紋擴(kuò)展更快，并且裂紋擴(kuò)展的臨界值隨溫度梯度滯后的時(shí)間增大而增大。

于軍[24]等利用向后差分格式和杜哈梅-諾依曼線性熱應(yīng)力理論求解了層合材料的溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)有限元模型，求解了熱沖擊下裂紋尖端附近應(yīng)力場(chǎng)分布規(guī)律，利用應(yīng)力外推法求解了裂紋尖端非傅里葉應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線，分析了裂紋尺寸、材料厚度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，對(duì)層合材料的熱防護(hù)研究提供了有力的參考。王麗影[25]等利用拉普拉斯變換和數(shù)值反演的方法，求解了一維半無(wú)限長(zhǎng)平板的非傅里葉溫度場(chǎng)、熱應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)力強(qiáng)度因子。通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果和MATLAB圖像的分析，發(fā)現(xiàn)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子隨在瞬態(tài)熱沖擊下隨時(shí)間先增大后減小，當(dāng)熱沖擊時(shí)間足夠大時(shí)，非傅里葉效應(yīng)的影響可以忽略；通過(guò)對(duì)熱沖擊阻力的計(jì)算和分析，當(dāng)平板厚度較小，經(jīng)典傅里葉模型得到的熱沖擊阻力會(huì)嚴(yán)重偏離，相比采用雙參數(shù)熱傳導(dǎo)模型會(huì)更加準(zhǔn)確，對(duì)極小厚度平板的熱沖擊斷裂研究提供了重要參考。李金娥[25]等研究了在熱沖擊下固體平板的非傅里葉斷裂性能，分析了弛豫時(shí)間、裂紋長(zhǎng)度和材料厚度對(duì)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，通過(guò)比較非傅里葉熱沖擊下和經(jīng)典熱沖擊下熱應(yīng)力強(qiáng)度因子，發(fā)現(xiàn)固體平板厚度越小，非傅里葉效應(yīng)越明顯；通過(guò)計(jì)算非傅里葉熱沖擊下的溫度場(chǎng)、熱應(yīng)力強(qiáng)度因子和熱沖擊阻力，分析與經(jīng)典熱沖擊下的熱沖擊阻力的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典熱傳導(dǎo)模型下高估熱沖擊阻力的大小，證明了考慮非傅里葉效應(yīng)的必要性。

Zhang和Li[27]基于分?jǐn)?shù)階廣義熱傳導(dǎo)理論，研究了內(nèi)表面含周向裂紋的有限空心圓柱的瞬態(tài)熱響應(yīng)問(wèn)題，求解了外表面絕熱的情況下，內(nèi)表面受到熱沖擊時(shí)有限空心圓柱的溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力解析解，并通過(guò)拉普拉斯變換得到溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力數(shù)值結(jié)果，分析了分?jǐn)?shù)階、熱流相位滯后和裂紋幾何形狀對(duì)瞬態(tài)溫度場(chǎng)、熱應(yīng)力和應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，并且將應(yīng)用分?jǐn)?shù)階微積分的非傅里葉熱傳導(dǎo)理論與經(jīng)典熱傳導(dǎo)理論和雙曲熱傳導(dǎo)理論進(jìn)行了比較，證明分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)理論的準(zhǔn)確性。Zhang和Li[28]基于分?jǐn)?shù)階熱傳導(dǎo)理論，利用拉普拉斯變換和正弦變換，求解了平板上下表面受到熱沖擊時(shí)的溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力解析解，在利用權(quán)函數(shù)法對(duì)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，分析了分?jǐn)?shù)階數(shù)對(duì)熱應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，發(fā)現(xiàn)亞擴(kuò)散下溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力強(qiáng)度以及應(yīng)力強(qiáng)度因子與傳統(tǒng)熱傳導(dǎo)理論結(jié)果接近，而超擴(kuò)散下，溫度場(chǎng)和應(yīng)力強(qiáng)度因子呈現(xiàn)波浪狀變化，并分析了受到冷熱沖擊時(shí)最危險(xiǎn)情況下的裂紋位置和長(zhǎng)度。

3 展 望

目前，非傅里葉熱傳導(dǎo)問(wèn)題作為熱彈性力學(xué)一大研究熱點(diǎn)，經(jīng)過(guò)相關(guān)研究人員的不斷探索，已經(jīng)取得了巨大的進(jìn)展，建立結(jié)構(gòu)材料模型和溫度控制方程，進(jìn)行溫度場(chǎng)和應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解過(guò)程一直是研究的重點(diǎn)，在高新微電子、航空航天、醫(yī)療領(lǐng)域中熱傳導(dǎo)的應(yīng)用遠(yuǎn)比理論研究要復(fù)雜得多，非傅里葉熱傳導(dǎo)的相關(guān)研究須更加深入。未來(lái)科技的發(fā)展更加進(jìn)步，而超低溫超高溫，納米級(jí)空間和飛秒級(jí)時(shí)間尺度，脈沖超頻加熱等熱傳導(dǎo)環(huán)境將更加復(fù)雜，非傅里葉效應(yīng)會(huì)更加顯著。而在高新科技和航空航天領(lǐng)域中，研究材料的非傅里葉熱傳導(dǎo)性質(zhì)永遠(yuǎn)是研究重點(diǎn)，壓電壓磁材料作為一種新型的智能材料，因其具有的電、磁、力的耦合特性，大力促進(jìn)了智能制造技術(shù)的發(fā)展。而由于壓電壓磁材料其固有的脆性，工作環(huán)境的極端性，以及其制造加工工藝的缺陷等問(wèn)題，熱傳導(dǎo)的非傅里葉效應(yīng)顯著，嚴(yán)重制約著相關(guān)技術(shù)的發(fā)展，因此，研究壓電壓磁材料的非傅里葉斷裂性質(zhì)，探究磁-電-彈性和非傅里葉效應(yīng)對(duì)熱傳導(dǎo)的共同影響，功能梯度壓電壓磁材料的動(dòng)靜力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題等等將成為未來(lái)研究的重點(diǎn)。

綜上所述，文中基于非傅里葉熱傳導(dǎo)理論，總結(jié)了國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者對(duì)非傅里葉斷裂力學(xué)的研究進(jìn)展，闡述了非傅里葉效應(yīng)的產(chǎn)生原因，探究了在熱沖擊的研究中，非傅里葉熱傳導(dǎo)理論的完善過(guò)程，簡(jiǎn)述了幾種非傅里葉溫度場(chǎng)模型及其物理意義，通過(guò)大量文獻(xiàn)說(shuō)明了各非傅里葉模型解的研究進(jìn)展和應(yīng)用成果，分析了非傅里葉熱沖擊下的各種材料和結(jié)構(gòu)的溫度分布和裂紋擴(kuò)展規(guī)律，這對(duì)非傅里葉熱傳導(dǎo)理論研究和斷裂力學(xué)研究的深入，以及對(duì)醫(yī)學(xué)、微電子、航天技術(shù)等工程領(lǐng)域的應(yīng)用有著重大的價(jià)值，對(duì)工程領(lǐng)域中的熱防護(hù)材料和結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用有著重要的參考價(jià)值。